高三数学-2018年杭州市第一次高考科目教学质量检测数

2018年杭州市第一次高考科目教学质量检测
数学试题卷（文理合卷）
本卷满分150分，考试时间120分钟. 参考公式
如果事件，A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A ，B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）；
如果事件在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k
n n P P C k P --=)1()(.
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只
有一项是符合题目要求的. 1．在数列1,1,}{2
11-==+n n n a a a a 中则此数列的前4项之和为 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．－2 2．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是
（ ）
A ．]1,(--∞
B ．),3[+∞
C ．]3,1[-
D ．),3[]1,(+∞⋃--∞
3．（理科）随机变量ξ的等可能取值为1，2，3，……,n ，如果P(ξ<4)=0.3，那么n 的值为 （ ）
A ．3
B ．4
C ．10
D ．12
（文科）对总数为N 的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为
4
1，则N 的值为
（ ）
A ．120
B ．200
C ．150
D ．100
4．若函数)(,)0,4
()4sin()(x f P x y x f y 则对称的图象关于点的图象和π
π
+
==的表达式是
（ ）
A ．)4
cos(π
+
x
B ．)4
cos(π
--x
C ．)4
cos(π
+
-x
D ．)4
cos(π
-
x
5．设n
b a )(-的展开式中，二项式系数的和为256，则此二项展开式中系数最小的项是（ ）
A ．第5项
B ．第4、5两项
C ．第5、6两项
D ．第4、6两项
6．已知i , j 为互相垂直的单位向量，b a j i b j i a 与且,,2+=-=的夹角为锐角，则实数λ
的取值范围是 （ ） A ．),21(+∞
B ．)2
1,2()2,(-⋃--∞
C ．),3
2()32,2(+∞⋃- D ．)21,(-∞
7．已知}|{},2
|{,,0a x ab x N b
a x
b x M R U b a <<=+<<==>>集合全集， N M P ab x b x P ,,},|{则≤<=满足的关系是
（ ）
A ．N M P ⋃=
B ．N M P ⋂=
C ．)(N C M P U ⋂=
D ．N M C P U ⋂=)(
8．（理科）某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科
考试成绩的直方图如右图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），则由如图曲线可得下列说法中正确的一个是（ ） A ．甲科总体的标准差最小 B ．丙科总体的平均数最小 C ．乙科总体的标准差及平均数都居中 D ．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
（文科）从湖中打一网鱼，共M 条，做上记号再放回湖中，数天后再打一网鱼共有n 条，其
中有k 条有记号，则能估计湖中有鱼 （ ） A ．条k n
M ⋅
B ．条n k M ⋅
C ．条k
M n ⋅
D ．条M
k n ⋅ 9．（理科）设△ABC 的两个内角A ，B 所对的边分别为a , b ，复数,cos cos ,21B i A z bi a z +=+=若复数z 1·z 2在复平面上对应的点在虚轴上，则△ABC 是 （ ）
A ．等腰三角形或直角三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等腰三角形
D ．直角三角形
（文科）函数a x f x x f ==)(|,|)(如果方程有且只有一个实根，那么实数a 应满足（ ）
A ．a <0
B ．0<a <1
C ．a =0
D ．a >1
10．设))(5
sin
3
sin
,5
cos
3
(cos
R x x
x
x
x
M ∈++ππππ为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记
f (x )=|OM|，当x 变化时，函数 f (x )的最小正周期是
（ ）
A ．30π
B ．15π
C ．30
D ．
15
11．（理科）点P 在曲线3
2
3
+
-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是
（ ）
A ．),6
5[
]2
,0[πππ
⋃ B ．),4
3[
]2,
0[πππ
⋃
C ．),4
3[
ππ
D ．]4
3,0[π （文科）若函数7)(23-++=bx ax x x f 在R 上单调递增，则实数a , b 一定满足的条件是（ ） A ．032
<-b a B ．032
>-b a
C ．032
=-b a
D ．132
<-b a
12．已知函数图象C x y a ax a x y C C '=++=++'且图象对称关于直线与,1)1(:2关于点（2，－3）对称，则a 的值为 （ ） A ．3 B ．－2 C ．2 D ．－3
二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分.请将答案填写在题中的横线上.
13．（理科）1
231
lim 221---→x x x x 的值为 .
（文科）“面积相等的三角形全等”的否命题是 命题（填“真”或者“假”） 14．已知βαβαββα+=++⋅+=则为锐角且,,,0tan )tan (tan 3)1(3tan m m 的值为 .
15．某乡镇现有人口1万，经长期贯彻国家计划生育政策，目前每年出生人数与死亡人数分
别为年初人口的0.8%和1.2%，则经过2年后，该镇人口数应为 万.（结果精确到0.01） 16．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689）.则五位“渐升数”共
有 个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为 . 三、解答题：本大题有6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
设△ABC 的内角A ，B ，C 成等差数列，且满足条件,sin )120cos(cos sin C C C A -=
试判断△ABC 的形状，并证明你的结论.
18．（本小题满分12分）
从汽车东站驾车至汽车西站的途中要经过8个交通岗，假设某辆汽车在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是
3
1.求 （1）这辆汽车首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率； （2）（理科）这辆汽车在途中遇到红灯数ξ的期望与方差. （文科）这辆汽车在途中恰好遇到4次红灯的概率. 19．（本小题满分12分）
已知平面向量a 与b 不共线，若存在非零实数x , y ，使得
.)2(2,22b x ya d xb a c -+-=+=
（1）当c=d 时，求x , y 的值； （2）若)(,),6
cos ,6(sin )),6sin(,6(cos x f y d c b a =⊥=-=试求函数且π
πππ
的表达式.
20．（本小题满分12分）
已知一物体做 圆周运动，出发后 t 分钟内走过的路程)0(2≠+=a bt at s ，最初用5分钟走完第一圈，接下去用3分钟走完第二圈.
（1）试问该物体走完第三圈用了多长时间？（结果可用无理数表示） （2）（理科做文科不做）试问从第几圈开始，走完一圈的时间不超过1分钟？
21．（本小题满分12分）
已知数列项的和的前数列其中n b N n n a a a a n n n n n }{),,2(3,1},{111∈≥⋅==--
).)(9
(
log 3*
∈=N n a S n n n （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的通项公式； （3）（理科做文科不做）求数列{|b n |}的前n 项和T n .
22．（本小题满分14分）
定义在定义域D 内的函数1|)()(|,),(2121<-∈=x f x f D x x x f y 都有若对任意的，则称函数)(x f y =为“西湖函数”，否则称“非西湖函数”.函数]1,1[()(3-∈+-=x a x x x f ,
R a ∈)是否为“西湖函数”？如果是，请给出证明；如果不是足，请说明理由.
23．（附加题，本题满分5分，但全圈总分不超过150分）把“杨辉三角形”向左对齐如图所示，分别按图中虚线，由右上至左下把划到的数相加，其和写在虚线左下端点（左边竖线的左侧）处，把这些和由上至下排列得一个数列{a n }.
（1）观察数列{a n }，写出一个你能发现的递推公式（不必证明）； （2）设)()(112n n n n Aa a B Aa a -=-+++， 求A ，B 的值，并求a n .
2018年杭州市第一次高考科目教学质量检测
数学试题卷（文理合卷）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.（理/文）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．
真/21 14．3
π
15．0.99 16．126, 24789
二、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本小题满分12分）
120602=+=∴=+C A B B C A ……（4分）
)
4(.,,0
)sin(sin cos cos sin ,sin )120cos(cos sin 分为等边三角形又即得由 ABC C A C A C A C A C A C C C A ∆=∴<-<-=-=-=ππ
18．（本小题满分12分）
（1）∵这辆汽车在第一、二个交通岗均未遇到红灯，而第三个交通岗遇到红灯
)6(,27
4
31)311)(311(分概率 =--=∴P
（2）（理科）ξ ∽),3
1
,8(B
)
6()65613(3
1120
)311()31()()6(9
16
)311(318,38318884448分概率文科分方差期望 =⋅=-⨯⨯==-⨯⨯==⨯
=∴C P D E ξξ
19．（本小题满分12分）
（1）由条件得：,)24(22b x ya xb a -+-=+
)
3(.21,1,0422,01,)3(0)242()1(22分或解得且不共线与向量分 -==-==-+=+∴∴=+-++∴x x y x x y b a b x x a y
)
3(.48)(,480)24(2)24(2)24(2]
)24([)2()3(,0,1||,1|:|,0,.
,06
cos )6sin(6sin 6cos )2(33222222分即分由条件知又 x x x f x x y x x y b x x b a x b xya ya b x ya xb a d c b a b a d c b c b a b a -=-=∴=-+-=-+⋅-+⋅--=-+-⋅+=⋅∴=⋅===⋅∴⊥⊥∴=-+=⋅π
πππ
20．（本小题满分12分） （1）设圆周长为l ，依题意有分
理科分
文科可表示为24607,8642525
⎩
⎨⎧==⎩⎨
⎧+=+=a l a
b b a l b a l
设出发t 分钟后走完第三圈，则l bt at 32
=+，上式代入，得
分
理科分
文科解得2427
769,0,018072 -=
∴>=-+t t t t
所以走完第三圈需用时间为
分
理科分文科分钟24)(223
769827769
-=-- （2）设出发t 分钟后走完第x 圈，则)2(,6072
分a x at at ⋅=+ 解
得
)2()(2
7)1(240491),(27
24049分分钟圈需则走完分钟 --+='--+=
x t x x t
依题意应有,1≤-t t 当16≥x 时，不等式成立,
所以，从第16圈开始，走一圈所用时间不超过1分钟.……（2分）
21．（本小题满分12分）
,2
)
1()1(321log log ),1(log log )1(133133-=
-++++=--+=-n n n a a n a a n n x 累加得
)46(.3,2
)1(log 2)1(3分分理科文科则 -=-=∴n n n n a n n a 或者用累乘得211221123n n n n n n n a a a a a a a a ----=⋅=
);(25)9
(log ,3)2(232)
1(N n n n a S a n n n n n n ∈-==∴=- 分理科分文科的通项公式为所以数列时也适合时当而46)(3}{,
1,3,2,21111 *--∈-==-=-=≥-==N n n b b n n S S b n S b n n n n n
,
3,03,2
5,3,03)3(2
时即当时即当>>-=-=-=≤≤-=n n b n n S T n n b n n n n 分理科且且综上所述4).,3(2125),3(25,2
1252)()(||||||22
233212121 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∈>+-∈≤-=+-=-=++-+++=+++=*N n n n n N n n n n T n n S S b b b b b b b b b T n n n n n 22．（本小题满分14分）
因为|||)()(|min max 21f f x f x f -<-，……（2分）
)2(13)(]],1,1[()(23分导数是函数 -='∈-∈+-=x x f R a x a x x x f
)2(,19
24|||)()(|,932,932)],1,1[()(,)1()1()2(;9
32]0,1[)(,)4(;9
32]1,0[)(,013)(,3
3;013)(,330.33,013min max 213222分故最小值是的最大值是所以函数因为分内的极大值是在同理分内的极小值是在故时当时当即时当 <=-<--+∈-∈+-==-=+--∈>-='><-='<<±
==-f f x f x f a a R a x a x x x f a f f a x f a x x f x x f x x x f x x x )],1,1[()(3R a x a x x x f ∈-∈+-=所以函数是“西湖函数”.（2分）
23．附加题：（本小题满分5分，但全卷不超过150分）
（1）);(,11221*++∈+===N n a a a a a n n n
（2）利用多项式恒等解方程组，可得.2
51,251 =±=B A 所以通项公式为).]()251()251[(5
1*∈--+=
N n a n n n。