专题22 坐标系与参数方程-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(解析版)

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A
，)4B π
，)4
C 3π，(2,)
D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC
，曲线3M 是弧»CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M
上，且||OP =
P 的极坐标．
【答案】（1）2cos ([0,])4
ρθθπ
=∈，32sin ([,
])44ρθθππ=∈，32cos ([,])4
ρθθπ
=-∈π， （2
）)6π
，)3π
，2)3π
，5)6
π
． 【解析】（1）由题设可得，弧»»»,,AB BC
CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．
所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛
⎫=≤≤
⎪⎝
⎭，2M 的极坐标方程为π
3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭
，3
M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫
=-≤≤
⎪⎝⎭
． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知 若π04θ≤≤
，则2cos θ=π
6
θ=；
专题22 坐标系与参数方程
若
π3π44θ≤≤
，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=； 若3ππ4θ≤≤
，则2cos θ-=5π6
θ=． 综上，P
的极坐标为π6⎫⎪⎭
或π3⎫⎪⎭
或2π3⎫⎪⎭
或5π6⎫
⎪⎭
．
【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，
（θ
为参数），过点(0，
且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
【答案】（1）(,)44π3π；（2
）2,2cos 222
x y αα
⎧=⎪
⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【解析】（1）O e 的直角坐标方程为22
1x y +=．
当2
απ
=时，l 与O e 交于两点． 当2απ≠
时，记tan k α=，则l
的方程为y kx =l 与O e
交于两点当且仅当|
1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ
∈或(,
)24
απ3π
∈． 综上，α的取值范围是(,)44
π3π
．
（2）l
的参数方程为cos ,
(sin x t t y t αα
=⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2
A B
P t t t +=
，且A t ，B t
满足2sin 10t α-+=．
于是A B t t α+=
，P t α=．又点P 的坐标(,)x y
满足cos ,
sin .
P P x t y t αα=⎧⎪⎨
=⎪⎩
所以点P
的轨迹的参数方程是2,2x y αα
⎧=⎪
⎪⎨
⎪=⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题． 【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,
,x t y kt =⎧⎨=⎩
（t 为参
数），直线l 2的参数方程为2,
,x m m m
y k =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩
（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(
)3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
【答案】（1）()2
2
40x y y -=≠；（2
【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21
:2l y x k
=
+． 设(),P x y ，由题设得()()21
2y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩
，消去k 得()22
40x y y -=≠． 所以C 的普通方程为()2
2
40x y y -=≠．
（2）C 的极坐标方程为()()2
2
2
cos sin 402π,πρ
θθθθ-=<<≠．
联立()(
)222
cos sin 4,cos sin 0
ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+．
故1tan 3θ=-，从而2
291cos ,sin 1010
θθ=
=． 代入()2
2
2
cos sin 4ρ
θθ-=得2
5ρ
=，所以交点M
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
【命题意图】能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．主要考查考生的数学运算能力和转化与化归思想的应用．
【命题规律】主要考查极坐标（方程）与直角坐标（方程）的互化，参数方程与普通方程的互化，根据极坐标方程或参数方程求弦长、面积、最值等，其中利用直线参数方程中参数的几何意义求值，利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的距离求最值是考查的重点，以解答题的形式出现，分值10分，难度中等．【知识总结】
1．极坐标和直角坐标的互化
（1）互化的前提：①直角坐标系的原点与极点重合；②x轴的正半轴与极轴重合；③在两种坐标系中取相同的长度单位．
（2）互化公式：设M是平面内任一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），则极坐标与直
角坐标的互化公式为
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
，
，
可得
222
tan0
x y
y
x
x
ρ
θ
⎧=+
⎪
⎨
=≠
⎪⎩
，
（）．
注意：把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限（即极角的终边的位置）和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一．
2．简单曲线的极坐标方程
3．参数方程和普通方程的互化
（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，将参数方程化为普通方程需消去参数． （2）如果知道变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如，x=f （t ），把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t 的关系y=g （t ），那么x f t y g
t =⎧⎨
=⎩（
），（）就是曲线的参数方程．
注意：（1）在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性．
（2）普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．
4．直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程
【方法总结】
1．极坐标与直角坐标互化的方法
（1）将点的直角坐标（x ，y ）化为极坐标（ρ，θ）时，运用公式tan θ=y
x
（x ≠0）即可．在[0，2π]范围内，由tan θ=
y
x
（x ≠0）求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ+2k π（k ∈Z ）即可．
（2）将点的极坐标（ρ，θ）化为直角坐标（x ，y ）时，运用公式x=ρcos θ，y=ρsin θ即可． 2．极坐标方程与直角坐标方程互化的方法 直角坐标方程
极坐标方程．
3．求解与极坐标有关问题的主要方法
（1）直接法：直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；
（2）间接法：转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．
4．将参数方程化为普通方程的方法
（1）将参数方程化为普通方程时，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数基本关系式消参，如sin 2θ+cos 2θ=1等；
（2）将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响，注意两种方程的等价性，避免产生增解的情况． 5．将普通方程化为参数方程的方法
只要适当选取参数t ，确定x=f （t ），再代入普通方程，求得y=g （t ），即可化为参数方程x f t y g
t =⎧⎨=⎩（
），（）．注意参数t 的意义和取值范围．
选取参数的原则：（1）曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单；（2）当参数取某一个值时，可以唯一确定x ，y 的值．一般地，与时间有关的问题，常取时间作为参数；与旋转有关的问题，常取旋转角作为参数．此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数．
6．直线方程中参数t 的几何意义的应用
经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα
=+⎧⎨
=+⎩，
（t 为参数）．若A ，B 为直线
l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：
（1）t 0=
12
2
t t +； （2）|PM|=|t 0|=|122
t t
+|；
（3）|AB|=|t 2–t 1|； （4）|PA|·|PB|=|t 1·t 2|．
注意：在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M （x ，y ）到M 0（x 0，y 0）的距离，即|M 0M|=|t|．
1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方
程为2cos 22sin x y ϕϕ
=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）过点()1,2P 倾斜角为135︒的直线l 与曲线C 交于M N 、两点，求22PM PN +的值． 【答案】（1）4sin ρθ=；（2）8．
【解析】（1）依题意，曲线C 的普通方程为()2
224x y +-=，
即22
40x y y +-=，故224x y y +=，故4sin ρθ=，
故所求极坐标方程为4sin ρθ=；
（2）由题意，可设直线l
的参数方程为12
2x t y =-=+⎧
⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
（t 为参数）， 将此参数方程代入2
2
40x y y +-=
中，化简可得230t -=，
显然0∆>．设,M N 所对应的参数分别为1t ，2t
，则12123
t t t t ⎧+=⎪⎨
⋅=-⎪⎩．
∴()2
2222
12121228PM PN t t t t t t +=+=+-=．
【名师点睛】本题主要考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查直线参数方程t 的几何意义解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知曲线l 的参数方程为
325
415x t y t
⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为4
ρθπ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设1(2)P ，
．直线l 与曲线C 交于点A B ，．求·PA PB 的值． 【答案】（1）22
(2)(2)8x y -+-=；（2）7．
【解析】（1
）由4ρθπ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
得4cos 4sin ρθθ=+， ∴2
4cos 4sin ρρθρθ=+，
又cos sin x y ρθρθ==，，
∴22
44x y x y +=+即曲线C 的直角坐标方程为2
2
(2)(2)8x y -+-=．
（2）将325415x t y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
代入C 的直角坐标方程，得229418255t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，
∴2
8
705
t t +
-＝， 设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，，∴127t t =-．
则12·
7PA PB t t ==．
【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，以及参数方程的应用，熟记公式即可求解，属于常考题型．
3．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方
程为cos 1sin x r y r ϕϕ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
直线l 的极坐标方程为cos()106
ρθπ
++=．若直线l 与曲线C 相切． （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成MON △，且满足6
MON π
∠=，求MON △面积的最大值．
【答案】（1）4sin()3
ρθπ=+；（2）2．
【解析】（1）由题意可知，直线l 20y -+=．
曲线C 是圆心为
)
，半径为r 的圆，由直线l 与曲线C 相切可得2r =
=．
可知曲线C 的直角坐标方程为(()2
2
14x y +-=．
所以曲线C 的极坐标方程为2
cos 2sin 0ρθρθ--=，即4sin 3
ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
．
（2）由（1）不妨设()1,M ρθ，2,6N ρθπ⎛⎫+
⎪⎝⎭（10ρ>，20ρ>，233
θππ
-<<
）． 1211
sin 264
MON S OM ON ρρπ=
=△
24sin sin 2sin cos
32θθθθθππ⎛
⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2θθ=++
2sin 23θπ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭．
当12
θπ
=
时，MON △面积的最大值为2． 【名师点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标的互化，考查了极坐标系下三角形的面积公式，考查了三角函数的最值问题，属于中档题．
4．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的
参数方程为12cos x y α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标缩短
为原来的
3
，得到曲线2C ，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4sin()103
ρθπ
+
+=． （1）求曲线2C 的极坐标方程及直线l 的直角坐标方程；
（2）设点P 为曲线3C ：2
213
y x +=上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．
【答案】（1）2C ：2
3cos 04ρρθ--
=，l
：210y ++=；（2
【解析】（1）曲线1C
的参数方程为12cos x y α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），
根据图象变换可得曲线2C 的参数方程为1cos 2
sin x y αα
⎧
=+⎪
⎨⎪=⎩（α为参数）， 消去方程中的α可得普通方程为2
2
3
04
x y x +--
=， 将222
,cos x y x ρρθ+==代入上式得23cos 04
ρρθ--=．
所以曲线2C 的极坐标方程2
3cos 04
ρρθ--=．
直线l
的极坐标方程为14sin cos 1022ρθθ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭
，即2sin cos 10ρθθ++=，
将sin ,cos y x ρθρθ==
代入上式，得210y ++=， 所以直线l
的直角坐标方程为210y ++=． （2
）设()
cos P αα为曲线3C 上任一点，
则点P 到直线l
的距离|d =
=， ∴当sin 14απ⎛
⎫+
= ⎪⎝⎭时，d
有最大值
14
+， ∴点P 到直线l
． 【名师点睛】本题考查各种方程间的相互转化，在进行极坐标和直角坐标间的转化时，要注意转化公式在解题中的灵活应用．参数方程的建立便于点的坐标的选取，利用参数方程求点到直线的距离等提供了新的解题思路．
5．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
322
522x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方
程为ρ=
（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；
（2）若P Q ，
分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标．
【答案】（1）40x y +-=，2C
的参数方程为sin x y ϕϕ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（ϕ为参数）．（2）31,22Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】（1）由曲线1C 的参数方程为322
522x t y t ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数），
消去t ，得40x y +-=，
由ρ=
，()2
2
12sin 3ρ
θ∴+=
即222
2sin 3ρρθ+=，
2
2
2
23x y y ∴++=，即2
213
x y +=，
2C ∴
的参数方程为sin x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ
为参数）．
（2）设曲线2C 上动点为
Q
)
,sin ϕϕ，则点Q 到直线1C 的距离：
d
=
， ∴当sin 13ϕπ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时，即6ϕπ=时，d
，即PQ
，
3621
sin 62x y π⎧
==⎪⎪∴⎨π⎪==⎪⎩
，31,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．
【名师点睛】本题考查了直角坐标方程，参数方程，及极坐标方程间的转化，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了利用三角函数求最值，属于基础题．
6．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数
方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线C 按伸缩变换公式'1'2x x
y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
，变换得到曲线E ．
（1）求E 的普通方程；
（2）直线l 过点(0,2)M -，倾斜角为
4
π
，若直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，N 为AB 的中点，求OMN △的面积．
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）85．
【解析】（1）依题意，E 的参数方程为2cos 2sin x y α
α
=⎧⎨=⎩（α为参数），
所以E 的普通方程为2
214
x y +=．
（2）因为直线l 过点()0,2M -，倾斜角为
4
π， 所以l
的参数方程为2
22x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），
设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则N 对应的参数为
12
2
t t +，
联立2
2,22,1,4
x t y x y ⎧=⎪⎪
⎪⎪
=-+⎨⎪
⎪+=⎪⎪⎩
，化简得25240t -+=，
(2
45240∆=-⨯⨯>，
所以
1225t t +=
，即MN =，
所以118
sin 2242525
OMN S MN MO π=
⋅⋅=⨯⨯=△． 【名师点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、曲线的伸缩变换，以及利用直线参数方程参数的意义求弦长问题．
7．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θ
θ
=-+⎧⎨=+⎩（θ为
参数），直线l 的极坐标方程为3()4
θρπ
=
∈R ，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）记线段MN 的中点为P ，求OP 的值． 【答案】（1
）2
cos 24ρθπ⎛⎫
++
= ⎪⎝⎭
；（2
）OP =
【解析】（1）∵曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θ
θ
=-+⎧⎨
=+⎩（θ为参数），
∴所求方程为222
(1)(1)2x y ++-=，
∵cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩，∴2
2cos 2sin 2ρρθρθ+-=，
∴曲线C
的极坐标方程为2
cos 24ρθπ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
． （2）联立34
θπ=
和2
2cos 2sin 20ρρθρθ+--=
，得220ρ--=， 设()1,M ρα，()2,N ρα
，则12ρρ+=12
||2
OP ρρ+=
，得OP =
【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，普通方程与及坐标方程的互化，利用极径的几何意义求弦长，属于中档题．
8．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程为()2
2
2
cos 4sin 4ρ
θθ+=，过点()2,1P 的直
线l
的参数方程为22
12
x y t ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积．
【答案】（1）直线l 的普通方程10x y --=，曲线C 的直角坐标方程为22
440x y +-=；（2）85
．
【解析】（1
）由212
x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程10x y --=． 由()2
2
2
cos 4sin 4ρ
θθ+=，得曲线C 的直角坐标方程为2
2440x
y +-=．
（2）将直线l
的参数方程为21x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）， 代入2
2
440x y +-=
，得2580t ++=．
则12t t +=1285t t =．
∴
12AB t t =-=
5==， 128
5
PA PB t t ⋅==．
所以AB 的值为
5
，定点P 到A ，B 两点的距离之积为85．
【名师点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，参数方程转化为普通方程，直线的参数方程． 9．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
1cos sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩，其中a 为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；
（2）B 为圆C 上一点，且B 点的极坐标为()000,,,26ρθθππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，射线OB 绕O 点逆时针旋转π3，得
射线OA ，其中A 也在圆C 上，求OA OB +的最大值． 【答案】（1）2cos ρθ=；（
2）
【解析】（1）1cos sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩2222(1)120x y x y x ⇒-+=⇒+-=，
由222
,cos ,x y x ρρα=+=可得圆C 的极坐标方程2cos ρθ=．
（2）由题意可知：10(,)6
A ρθπ+，
所以0002cos 2cos 36OA OB θθθππ⎛⎫⎛⎫+=++
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
0,26θππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，所以0()(,)633θπππ+∈-01cos()(,1]62θπ⇒+∈，
从而OA OB +
最大值为
【名师点睛】本题考查了把圆的参数方程化成普通方程再化为极坐标方程问题．考查了在极坐标下，利用三角恒等变换求两极径之和最大值问题，考查了运算能力．
10．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
的参数方程为32cos (2sin x y α
αα
=+=⎧⎪⎨
⎪⎩为参数）． （1）写出C 的普通方程，求C 的极坐标方程；
（2）若过原点的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 中点D 的极坐标为03ρπ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，，求D 的直角坐标．
【答案】（1
）2
2
6170x y x +--+=
，2
6cos sin 170ρρθθ--+=；（2
）944⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，．
【解析】（1）C 的普通方程(
)(2
2
34x y -+-=，
∴226170x y x +--+=，
C
的极坐标方程26cos sin 170ρρθθ--+=； （2）由已知得直线l 的极坐标方程为π
3
θ=
，
代入26cos sin 170ρρθθ--+=，得2
9170ρρ-+=， ∴294170∆=-⨯>，设12ππ33A B ρρ⎛
⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
，，，，则129ρρ+=， ∵D 是AB 中点， ∴12
092
2
ρρρ+==
，
∴9π99πcos sin 234234
D D x y =
===
，， ∴D
的直角坐标为94⎛ ⎝⎭
．
【名师点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程间的转化和应用，属中档题．
11．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 的直角坐标
为()1,0，直线l
的参数方程为12x y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩
（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求11
MA MB
+的值． 【答案】（1）10x y --=和2
4y x =．（2）1
【解析】（1
）将12x y ⎧⎪=+
⎨=⎪⎪⎪⎩中的参数t 消去，得：10x y --=，
将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入2
sin 4cos ρθθ=，得24y x =． ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为：10x y --=和2
4y x =．
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C
的普通方程，得280t -=，
设A 、B 两点对应的参数为1t 、2t ，则1MA t =，2MB t =
，且12t t +=128t t =-． ∴
12128t t t t +=-=
=，
∴
121111MA MB t t +=+1212
1212
1t t t t t t t t +-===． 【名师点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
12．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考数学】在平面直角坐标xOy 中，直线l 的参数方程为
12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数，a 为常数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
4cos sin θ
ρθ
=
． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，若16AB =，求a 的值．
【答案】（1
）
033
x y --=，2
4y x =；（2）1a =． 【解析】（1）∵直线l
的参数方程为12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数，a 为常数），
消去参数t 得l
的普通方程为：)3
y x a =-
即033x y a --=．
∵2
4cos sin θρθ
=
，∴2sin 4cos ρθθ=即22sin 4cos ρθρθ=，即2
4y x =． 故曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =．
（2）法一：将直线l
的参数方程代入曲线中得2160t a --=，
∴1212
64(3)0316a a t t t t a ∆=+>⇒>-⎧⎪
+=⎨⎪=-⎩， ∴
12||16AB t t =-===，解得1a =．
法二：将)y x a =
-代入曲线2
4y x =， 化简得：2
2
2(6)0x a x a -++=，
∴12212
64(3)032(6)
a a x x a x x a ∆=+>⇒>-⎧⎪
+=+⎨⎪=⎩
∴
||16AB ==
==，解得1a =． 【名师点睛】直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩（其中t 为参数），
注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．
13．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
C
的参数方程为
x y ϕϕ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（ϕ
为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=．
（1）求椭圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）若点P 的极坐标为(1,)2
π
，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求PA PB +的值．
【答案】（1）22132x y +=，1x y +=；（2
【解析】（1）椭圆C 的普通方程为22
132
x y +=，
将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩代入整理得：222
2sin 60ρρθ+-=，
∴椭圆C 的极坐标方程为2
2
2
2sin 60ρρθ+-=，
由cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩得直线l 的直角坐标方程为：1x y +=；
（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 点1,
2P π⎛⎫
⎪⎝⎭
的直角坐标为()0,1P ，它在直线l 上．
设直线l
的参数方程为2
12
x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数），
代入2
2
132x y
+=，得22
231622⎛⎫⎛⎫-++= ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭，
化简得2560t +-=，所以125
t t +=-，1265t t ⋅=-，
由直线参数方程的几何意义可得：
1212PA PB t t t t +=+=-=
=
． 【名师点睛】本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程互化，还考查了直线参数方程及参数的几何意义应用，考查了韦达定理及计算能力，属于中档题．
14．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为
4cos ρθ=，曲线C 与曲线D 关于极点对称．
（1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，求曲线D 的直角坐标方程； （2）设P 为曲线D 上一动点，记P 到直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的距离分别为1d ，2d ，求
12d d +的最小值．
【答案】（1）22
(2)4x y ++=；（2）7-．
【解析】（1）∵曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，∴2
4cos ρρθ=， ∴曲线C 的直角坐标方程22
4x y x +=，即()2
224x y -+=．
∴曲线D 的直角坐标方程为()2
224x y ++=． （2）由（1）设sin 3ρθ=-，[
)0,2α∈π，
直线sin 3ρθ=-与直线cos 2ρθ=的直角坐标方程分别为3y =-，2x =， ∴12sin 3d α=+，()2222cos 42cos d αα=--+=-，
∴122sin 342cos 74d d αααπ⎛⎫+=++-=+- ⎪⎝⎭
，
∴12d d +的最小值为7-．
【名师点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查点到两直线的距离和的最小值的求法，考查
直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
cos sin x t y t αα
=⎧⎨=⎩，（t 为参数，0t ≥），在以O 为原点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ，3C 的极坐标方程为242cos 05ρρθ--=，()7cos sin 5
ρθθ+=． （1）判断2C ，3C 的位置关系，并说明理由；
（2）若()3tan 04
αα=≤≤π，1C 分别与2C ，3C 交于M ，N 两点，求MN ． 【答案】（1）圆2C 与直线3C 相交；（2）1．
【解析】（1）由224:2cos 05C ρρθ--=，可得224205
x y x +--=， 即2C 是圆心为()10，
的圆； 又()37:cos sin 5C ρθθ+=可得705
x y +-=，即3C 是一条直线， 圆心()10，到直线3C
的距离5d ==<，即d r <， 所以圆2C 与直线3C 相交．
（2）由()3tan 04αα=≤<π，有3sin 5α=，4cos 5
α=， 由()2042cos 05θαρρρθ⎧=≥⎪⎨--=⎪⎩
，，得284055ρρ--=，解得12ρ=，225ρ=-（舍去）， 由()()07cos sin 5θαρρθθ⎧=≥⎪⎨+=⎪⎩
，，，得347555ρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得31ρ=，故131MN ρρ=-=． 【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通直角坐标方程的互化，考查了极径的应用，属于中档题．。