列方程解行程问题教师版

列方程解行程问题教师版
列方程解行程问题
一、概念
一元一次方程三要素：1.含有未知数的代数式必须是整式（即分母不含有未知数）
2.只含有一个未知数
3.经整理后未知数的最高次数为1
2、解一元二次方程
三、行程问题中三个量之间的关系：路程=时间×速度，时间=，速度=（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）
行程问题解决方法：画图分析法
4、常见的行程问题中的类型
直线型的行程问题
（1）相遇问题
1、同时相遇
甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相遇？慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间=总路程
解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间]
100x+140x=480
x=2
答：2小时后相遇
2、先后相遇
甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，1小时之后，一列快车从乙站开出，每小时行驶140公里，快车开出几个小时后两车相遇？
慢车的速度×慢车的时间1+慢车的速度×慢车的时间2+快车的速度×快车的时间=总路程
解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100*1+100x+140x=480
答：小时后两车相遇。

3、同时不相遇（相距）
甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相距60公里？
情况一：相遇前相距
慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间+相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x+60=480
答：小时后相距60公里
情况二：相遇后相距
慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间-相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x-60=480
答：小时后相距60公里
慢车速×时间1
+慢车速×时间2
+快车速×时间2
=总路程
总结：
慢车速×时间+快车速×时间= 总路程
相遇
慢车速×时间
+ 快车速×时间
±相互距离
= 路程
相距
速度差×时间差=路程差
同时出发先后出发
列方程：
A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，每小时走60千
米，一列快车从B地开出，每小时走65千米．
(1)两车同时开出，相向而行，x小时相遇，则由此条件列出的方程是________;
(2)两车同时开出，相背而行，x小时之后，两车相距620千
米，则由此条件列出的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿；
(3)慢车先开1小时，相向而行，快车开出x小时相遇，则由
此条件列出的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
(4)两车同时开出，同向而行，快车在慢车后面，x小时之
后快车追上慢车，则由此条件列出的方程是＿＿＿＿；
(5)两车同时开出，慢车在快车后面，同向而行，x小时之
后快车与慢车相距640千米，则由此条件列出的方程是＿＿＿＿．（2）追击问题
1. 同地不同时的追及问题
A、B两地相距31千米，甲从A地骑自行车去B地，1小时后乙骑摩托
车也从A地去B地．已知甲每小时行12千米，乙每小时行28千米．问乙出发后多少小时追上甲?
慢者行驶的路程+先行的路程=快者行驶的路程
解：设乙出发后x小时追上甲。

12*1+12x=28x
x=
答：乙出发后小时追上甲。

2. 同时不同地的追及问题
甲、乙两人长跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，乙在甲前面100米，两人同时起跑，那么经过_______秒，甲可以追上乙。

快者行驶的路程-慢者行驶的路程=初始相距的距离
解：设经过x秒，甲可以追上乙。

6x-4x=100
x=50
答：经过50秒，甲可以追上乙。

例：育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（一）班的学生组成前队，步行速度为4km/h,七（二）班的学生组成后队，步行速度为6km/h，前队出发1h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，他骑车的速度是12km/h.
1. 后队出发多长时间能追上前队？
2. 联络员出发追上前队时，距离后队有多远？
3. 联络员第一次追上前队用多长时间？前队行了多少路程？
4. 联络员第一次与后队相遇用了多少时间？行了多少路程？
练习：1.两站间的路程为448千米，一列慢车从A站出发，每小时行驶60千米；一列快车从B站出发每小时行驶80千米．问：（1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？
（2）两车相向而行，慢车先行28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？
（3）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？
2.（2015年初一24题）甲乙两地相距900千米，一列快车从甲地出发匀速开往乙地，速度为120千米/小时；快车开出30分钟时，一列慢车从乙地出发匀速开往甲地，速度为90千米/小时。

设慢车行驶的时间为x 小时，快车到达乙地后停止行驶。

根据题意解答下列问题：
(1)当快车与慢车相遇时，求慢车行驶的时间；
(2)请从下列（A），（B）两题中任选一题解答。

（6分）
我选择：
(A)当两车之间的距离为315千米时，求快车所行的路程。

(B)①在慢车从乙地开往甲地的过程中，求快慢两车之间的距离；（用含x的代数式表示）
②若第二列快车也从甲地出发匀速驶往乙地，速度与第一列快车相同。

在第一列快车与慢车相遇后30分钟时，第二列快车与慢车相遇.直
接写出第二列快车比第一列快车晚出发多少小时。

答案：（1）由题意列方程得120x+90x=900-120*
解得x=4（h）
答：当快车与慢车相遇时慢车行驶的时间为4小时。

（2）（A）①两车相遇前相距315千米
120x+90x=900-120*-315
解得x=2.5
快车路程120（2.5+）=360千米
②两车相遇后相距315千米
120x+90x=900-120*+315
解得x=5.5
快车路程120（5.5+0.5 ）=720千米
答：当两车之间的距离为315千米时，快车所行的路程为360千米或720千米。

（B）①相遇前，s=900-120/2-120x-90x=840-210x
相遇后且快车到达乙地前 s=120（x-4）+90(x-4)
即s=210x-840()
快车到达乙地后慢车到达甲地前 s=90（x-4-3）+120*3
即s=90x（）
②第二列快车与第一列快车的时间差可转化为两车距离与其速度的比值，而此时第二列快车与慢车相遇，两列快车距离即为第一列快车与慢车相遇后行驶30分钟的距离。

（120+90）*=105
105/120=7/8小时
答：第二列快车比第一列快车晚出发0.875小时。

解析：本题考查行程问题，第一问是一个简单的相遇问题，学生应该都能解决；第二问中（A）注意要分情况讨论即可，难度不大，（B）中关系较为复杂，需要转化问题，难度较大，学生思路上会有一定障碍。

（3）航行问题
基本变量关系：
顺流（风）速度=静水（风）速度+水（风）速度
逆流（风）速度=静水（风）速度-水（风）速度
等量关系：顺流（风）的距离＝逆流（风）的距离
1、一艘轮船往返于甲、乙码头之间，顺水航行3小时，逆水航行3.5小时，若轮船在静水中的速度为每小时26千米，（1）求水流速度；（2）求两码头的距离。

2、一只轮船在相距80千米的码头间航行，顺水需4小时，逆水需5小时，则水流速度为多少？
3、飞机在AB两城之间飞行，顺风速度是每小时a千米，逆风速度是每小时b千米，则风的速度是___________。

4．飞机逆风时速度为x千米/小时，风速为y千米/小时，则飞机顺风时速度为
A．(x+y)千米/小时 B．(x－y)千米/小时
C．(x+2y)千米/小时 D．(2x+y)千米/小时
5.一只船从一个码头顺流而下，再逆流而上，打算在8小时内回到原来出发的码头。

已知这只船在静水中的速度是10千米/时，水流的速度是2千米/时，那么这只船最多走多少千米就必须返回，才能在8小时内回到原来出发的码头？
解：设这只船最多走x千米就必须返回
根据题意得：
所以这只船最多走38.4千米就必须返回，才能在8小时内回到原来出发的码头.
上坡下坡问题
1、汽车上坡时每小时走28km,下坡时每小时走35km.去时, 下坡路比上坡路的2倍还少14km ,原路返回比去时多用12min .求去时上、下坡路程各多少千米？
2、小明去爬山，上山花了45分钟，原路下山花了30分钟，上山每分钟比下山每分钟少走9米，求下山速度？
3.一条山路，某人从山下往山顶走3小时，还差1千米才到山顶，若从山顶走到山下，只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，则上山速度为__________.
4、A、B两地相距49千米，某人步行从A地出发，分三段以不同的速度走完全程，共用10小时．已知第一段，第二段，第三段的速度分别是6千米/时，4千米/时，5千米/时，第三段路程为15千米，求第一段和第二段的路程．
火车过桥问题
例：一座铁路桥长1200米，现有一列火车从桥上通过，测得火车
到完全通过桥共用时50秒，整个火车在桥上的时间为30秒，求火车的长度和速度。

环形跑道上的行程问题
基本等量关系式：
1、同时同地同向而行且首次相遇时，有
快者行驶的路程-慢者行驶的路程=一圈长
2、同时同地背向而行且首次相遇时，有
两人所行驶的路程的和=一圈长
例：甲乙两人在300米的环形跑道上练习长跑，甲的速度是6m/s，乙的速度是7m/s.
(1)如果甲乙两人同地背向跑，乙先跑2秒，那么在经过多少秒两人相遇？
（2）如果甲乙两人同时同地同向跑，那么乙跑几圈后能首次追上甲？
（3）如果甲乙两人同时同向跑，乙在家前面6米，那么经过多少秒两
人第二次相遇？
练习：
1.在一条长河中有甲、乙两船，现同时由A顺流而下，乙船到B 地时接到通知要立即返回到C地执行公务，甲船继续顺流航行．已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5千米／时，水流速度是
2.5千米／时．两地间距离为10千米，如果乙船由A地经B地再到达C地共用4小时，问乙船从B 地到达C地甲船驶离B地多远？
2. 在400米的环形跑道上，甲乙两人练习长跑，甲每分钟跑
160米，乙每分钟跑140米，
（1）如果两人同时同地同向出发，第一次相遇时间为多少分钟？
（2）如果甲乙两人同地背向跑，乙先跑5分钟，那么在经过多少秒两人相遇？
3. 一条环形跑道长400米，甲练习自行车，平均每分钟骑550
米；乙练习赛跑，平均每分钟跑250米．两人同时从同地同向出
发，经过多少时间两人第三次相遇?
4. 一列匀速行驶的火车用26秒种通过了一个长256米的隧道
（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16
秒的时间通过了一个长96米的隧道，求这列火车的长度？
5.一条山路，某人从山下往山顶走3小时，还差1千米才到山
顶，若从山顶走到山下，只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，问下山速度是多少？。