人教版中考数学压轴题检测试卷

一、中考数学压轴题
1．已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+3交x 轴于点A 、C （点A 在点C 左侧），交y 轴于点B ．
（1）求A ，B ，C 三点坐标；
（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；
（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．
2．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，第一颗弹珠弹出后其速度1
y （米/分钟）与时间x （分钟）前2分钟满足二次函数21y ax ，后3分钟满足反比例函数
关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分钟．
（1）求第一颗弹珠的速度1y （米/分钟）与时间x （分钟）之间的函数关系式；
（2）第一颗弹珠弹出1分钟后，弹出第二颗弹珠，第二颗弹珠的运行情况与第一颗相同，直接写出第二颗弹珠的速度2y （米/分钟）与弹出第一颗弹珠后的时间x （分钟）之间的函数关系式；
（3）当两颗弹珠同时在轨道上时，第____分钟末两颗弹珠的速度相差最大，最大相差______；
（4）判断当两颗弹珠同时在轨道上时，是否存在某时刻速度相同？请说明理由，并指出可以通过解哪个方程求出这一时刻．
3．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．
（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；
（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．
4．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．
（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；
（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若12,(33)2
ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．
5．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
6．如图，直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣32x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当32
MN AN =时，求点M 的坐标； （3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．
7．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．
（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °
（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D
①若∠BAO=60°，则∠D= °．
②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．
（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．
8．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，
，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．
（1）当2≤a ≤3时，
①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；
②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；
（2）已知函数()10Z x x x
=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．
9．如图,矩形ABCD 中，AD >AB ，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转90∘得到线段AE ，
平移线段AE 得到线段DF (点A 与点D 对应，点E 与点F 对应)，连接BF ，分别交直线AD ，AC 于点G ，M ，连接EF ．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求证：EG ⊥AD ；
(3) 连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设MB =a ，NF =b ，试比较()()11a b ++与9+62
10．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），2，点 P 从点 O 出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．
（1）求点 B 的坐标；
（2）设点 P 的运动时间为点 t 秒，△BDP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式；
（3）当点 P 与点 D 重合时，连接 BP ，点 E 在线段 AB 上，连接 PE ，当∠BPE =2∠OBP 时， 求点 E 的坐标．
11．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．
（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；
（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；
（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．
12．如图，AB ∥CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，平行线AB ，CD 之间有一动点P ． （1）如图1，当P 点在EF 的左侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为 ，如图2，当P 点在EF 的右侧时，∠AEP ，∠EPF ，∠PFC 满足数量关系为 ． （2）如图3，当∠EPF ＝90°，F P 平分∠EFC 时，求证：EP 平分∠AEF ；
（3）如图4，QE ，QF 分别平分∠PEB 和∠PFD ，且点P 在EF 左侧．
①若∠EPF ＝60°，则∠EQF ＝ ．
②猜想∠EPF 与∠EQF 的数量关系，并说明理由；
13．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，
（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；
（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠
（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度
14．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．
（1）当甲追上乙时，x ＝ ．
（2）请用x 的代数式表示y ．
问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．
（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点
的速度为每分钟转动 °；
（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？
15．已知：矩形ABCD 内接于⊙O ，连接 BD ，点E 在⊙O 上，连接 BE 交 AD 于点F ，∠BDC+45°=∠BFD ，连接ED ．
（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB ；
（2）如图2，点G 是 AB 上一点，过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ，若HK=BG+AF ，求证：AB=KG ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O 上有一点N ，连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ，连接 OP ，∠APO=∠CPO ，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB 的长．
16．如图，平面直角坐标系中，抛物线2
28y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 右侧），与y 轴交于点A ，连接AB ，25AB =．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 在第二象限的抛物线上，连接PB 交y 轴于D ，取PB 的中点E ，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，连接DH ，设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ，求S 与t 的函数
关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，作PF y ⊥轴于F ，连接CP 、CD ，CP CD =，点S 为PF 上一点，连接BS 交y 轴于点T ，连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=︒，在射线CS 上取点Q.连接QF ，QF RF =，求直线TQ 的解析式．
17．ABC 内接于O ，AB BC =，连接BO ；
（1）如图1，连接CO 并延长交O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ；
（2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF AB BF =，求证：BAF HAF ∠=∠；
（3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为O 上一点，连接ED 、
OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=︒，若OF 3=，FH 4=，13623EBD S ∆=
，连接OE ，求线段OE 的长．
18．已知抛物线2
y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；
（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=︒，求点Q 的坐标．
19．已知四边形ABCD 为矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD ＝AO ．点E 、F 为矩形边上的两个动点，且∠EOF ＝60°．
（1）如图1，当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时，若∠OEB ＝75°，求证：DF ＝AE ； （2）如图2，当点E 、F 同时位于AB 边上时，若∠OFB ＝75°，试说明AF 与BE 的数量关系；
（3）如图3，当点E 、F 同时在AB 边上运动时，将△OEF 沿OE 所在直线翻折至△OEP ，取线段CB 的中点Q ．连接PQ ，若AD ＝2a （a ＞0），则当PQ 最短时，求PF 之长．
20．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，过点D作DF AE
⊥于点F，过点C作CN DF
⊥于点N，延长CN交AD于点M．
（1）求证：AM MD
=
（2）连接CF，并延长CF交AB于G
①若2
AB=，求CF的长度；
②探究当AB
AD
为何值时，点G恰好为AB的中点．
21．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．
（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．
（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．
（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，
①求y关于x的函数解析式；
②若CB
BE
＝
4
5
，求y的值．
22．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D在△ABC外，连接AD、BD，且∠ADB=90°，AB、CD相交于点E，AB、CD的中点分别是点F、G，连接FG．
（1）求AB的长；
（2）求证：AD+BD=2CD ；
（3）若BD=6，求FG 的值．
23．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使
CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．
（1）请求出EAF ∠的度数？
（2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；
（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .
（3）直接写出EAF ∠=_________度；
（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.
24．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG （a>b ），开始时，点E 在AB 上，如图1．将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转．
（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．
（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．
（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开
始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）．
25．如图，等腰△ABC ，AB ＝CB ，边AC 落在x 轴上，点B 落在y 轴上，将△ABC 沿y 轴翻折，得到△ADC
（1）直接写出四边形ABCD 的形状：______；
（2）在x 轴上取一点E ，使OE ＝OB ，连结BE ，作AF ⊥BC 交BE 于点F ．
①直接写出AF 与AD 的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；
②取BF 的中点G ，连接OG ，判断OG 与AD 的数量关系，并说明理由；
（3）若四边形ABCD 的周长为8，直接写出GE 2＋GF 2＝____．
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一、中考数学压轴题
1．A
解析：（1）A （﹣3，0），C （1，0），B （0，3）；（2）M （﹣
125，5125）；（3）19（﹣
919，12319
）． 【解析】
【分析】
（1）抛物线223y x x =--+中，令2230y x x =--+=，可得A ，C 坐标；当x=0时，可得B 的坐标；
（2）首先利用A 、C 坐标，求出D 的坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M 即可；
（3）先证明△QAR ≌△GAP 即可得出QR=PG ，进而得到PA+PC+PG=PR+PC+QR ，可得当Q ，R ，P ，C 共线时，PA+PC+PG 的值最小，即为线段QC 的长，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，利用勾股定理求得QC 的长，再求出AM ，CM ，利用等边三角形性质
求出AP 、PM 、PC ，由此即可解决问题．
【详解】
解：（1）抛物线y=﹣x 2﹣2x+3中，令y=﹣x 2﹣2x+3=0，可得x 1=1，x 2=﹣3，
∴A （﹣3，0），C （1，0），
当x=0时，y=3，
∴B （0，3）；
（2）∵点D 为AC 中点，A （﹣3，0），C （1，0），
∴D （﹣1，0），
∵BE=2DE ，B （0，3），
∴E （﹣23
，1）， 设直线CE 为y=kx+b ，把C （1，0），E （﹣
23，1）代入，可得 2130k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3535k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线CE 为y=﹣35x+35
， 解方程组2335523y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--+⎩，可得10x y =⎧⎨=⎩或1255125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∵M 在第二象限，
∴M （﹣125，5125
）； （3）∵△APR 和△AGQ 是等边三角形，
∴AP=AR=PR ，AQ=AG ，∠QAG=∠RAP=60°，
∴∠QAR=∠GAP ，
在△QAR 和△GAP 中，
AQ AG QAR GAP AR AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△QAR ≌△GAP （SAS ），
∴QR=PG ，
∴PA+PC+PG=PR+PC+QR ，
∴当Q ，R ，P ，C 共线时，PA+PC+PG 的值最小，即为线段QC 的长，
如图3，作QN ⊥OA 于N ，作AM ⊥CQ 于M ，作PK ⊥CN 于K ，
依题意得∠GAO=45°+15°=60°，AO=3，
∴AG=GQ=QA=6，∠AGO=30°，OG=33， ∵∠AGQ=60°， ∴∠QGO=90°， ∴Q （﹣6，33），
在Rt △QNC 中，QN=33，CN=6+1=7，
∴QC=22QN CN +=219，即PA+PC+PG 的最小值为219，
∴sin ∠ACM=AM AC
= QN QC ， ∴AM=AC QN QC ⋅= 65719
， ∵△APR 是等边三角形， ∴∠APM=60°，PM=
3AM ，MC=22AC AM -= 1419， ∴PC=CM ﹣PM=81919
， ∵sin ∠PCN=PK PC = QN QC ，cos ∠PCN=CK CP
= CN CQ ， ∴PK=123，CK=2819， ∴OK=919
， ∴P （﹣
919，123）．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形等知识的综合应用，解题的关键是理解Q 、R 、P 、C 共线时，
PA+PG+PC 最小，学会添加常用辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理计算求解．
2．（1）212(02)16(25)x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩；（2）220(01)2(1)(13)16(36)1
x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩；（3）第2分钟末两颗
弹珠速度相差最大，最大相差6米/分钟；（4）存在，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）将（1，2）代入21y ax =，得2a =，从而得到212y x =，再代入2x =求出
18y =，即可得到反比例函数解析式，即可得解；
（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出，故第二颗弹珠的解析式为20y =；再分别根据（1）中的结论，即可求出当13x <≤和36x <≤时第二颗弹珠的解析式；
（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大，则第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，分别求出第2分钟末时两颗弹珠的速度，再相减即可的解；
（4）第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到513
米/分钟，第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分，故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同．可以根据速度相等时列方程求得时刻．
【详解】
（1）当02x ≤≤时，将（1，2）代入21y ax =，得2a =，
212y x ∴=，
∵当2x =时，18y =，
∴当25x ≤≤时，116y x
=， 1y ∴与x 的函数关系式为212(02)16(25)x x y x x
⎧≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩；
（2）当01x ≤≤时，第二颗弹珠未弹出，
∴第二颗弹珠的解析式为20y =；
当13x <≤时，第二颗弹珠的解析式为222(1)y x =-；
当36x <≤时，第二颗弹珠的解析式为2161
y x =-；
∴2y 与x 的函数关系式为220(01)2(1)(13)16(36)1
x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩；
（3）由图可知看出，前2分钟，弹珠的速度逐渐增大，
∴第2分钟末两颗弹珠速度相差最大，
∵第一颗弹珠的速度为2218222y x =⨯==米/分钟，
第二颗弹珠的速度为2122(1)212y x =⨯==-米/分钟，
∴两颗弹珠的速度最大相差8-2=6米/分钟；
（4）存在，理由如下：
第2分钟末到第3分钟末，第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到5
13米/分钟， 第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分，
故在此期间必定存在一时刻，两颗弹珠的速度相同． 这个时刻可以通过解方程
2162(1)x x
=-求得． 【点睛】
本题考查了反比例函数和二次函数的应用．解题的关键是从图中得到关键性的信息，明确自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标． 3．A
解析：（1）详见解析；（2
）y =（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或
43
【解析】
【分析】 （1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；
（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到
122
AN BN ON AB ====，
根据勾股定理得到
OF ===线段成比例定理即可得到结论；
（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是正方形，
,OA OD AC BD ∴=⊥，
90AOD ∴∠=︒，
∵四边形OEGH 是正方形，
,90OE OH EOH ∴=∠=︒，
AOD EOH ∴∠=∠，
AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠，
即HOD EOA ∠=∠，
HDO EAO ∴∆≅∆．
（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，
则122AN BN ON AB ===
=， ∵BF=x，
∴AF=4-x ，
∴FN=2-x ， ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+
∴248EF y x x =-+ ∵AM⊥AC，
∴AE∥OB，
∴BF OF AF EF
＝， ∴2248448
x x x x y x x -+=---+， ∴)24804x x y x x
-+≤＝＜； （3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ，
∵∠EAO=90°，
∴这种情况不存在；
②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，
如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，
∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，
∴PE AE OA OE
=，
∵AE=AG，
∴
2
4
2
148
2
x x
x
PE y
-+
==，
()
2
224
8
x
AE y
x
-
=-=，∴
()
2
2
22
2
22
4
448
448
x
x x
x
x x
x
-
-
-+
=
+
，
解得：x=2，
②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，
如图3，过G作GQ⊥AE于Q，
∴∠GQE=∠EAO=90°，
∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，
∴∠EGQ=∠AEO，
∵GE=OE，
∴△EGQ≌△OEA（AAS），
∴22
EQ AO
==
∴
224
242
()x
AE E Q
-
===
∴43x =， ∴BF=2或43． 【点睛】
本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．E
解析：（1）3EF EC =
，见解析；（2）27BK a =；（3）①AGH 是等边三角形，见解析；②
1(62)4- 【解析】
【分析】
（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ∆≅∆，然后得到AEF ∆为等边三角形，由解直角三角形得到3AE EC =，即可得到答案；
（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到AB BK FB BA
=，即可求出答案； （3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ≅，然后得到AG AH =，然后得到60BAH GAB GAH ︒∠+∠=∠=，即可得到答案；
②由三角形的面积公式得到31DH =+，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案．
【详解】
解：（1）3EF EC =；
理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，
,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ︒∴==∠=∠=，
120BAD ︒∴∠=，
∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，
90AEB AFD ︒∴∠=∠=
Rt AEB Rt AFD ∴∆≅∆，
,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=︒， 60EAF ∴∠=︒，
AEF ∴∆为等边三角形，
EF AE ∴=.
连接AC ，1602BAC BAD ︒∴∠=∠= 30EAC ︒∴∠= 在Rt AEC ∆中，tan EC EAC AE ∠=
3AE EC ∴=，
3EF EC ∴=
（2）如图：
∵四边形ABCD 是菱形，60,ABC AB a ︒∠==， ACD ∴是等边三角形，//,,60AB CD AD CD a ADC ︒==∠=. AF CD ⊥，垂足为F ，
1,902CF DF a BAF AFD ︒∴==
∠=∠= 在Rt ADF 中，sin AF ADF AD ∠=
， 3AF ∴=
在Rt ABF 中，22BF AB AF =+ 72
BF a ∴= AK BF ⊥，垂足为K ，
90AKB FAB ︒∴∠=∠=
ABK FBA ∠=∠
~Rt AKB Rt FAB ∴∆∆，
AB BK FB BA
∴=， 27BK ∴=，
（3）如图：
①AGH 是等边三角形. 理由：连接AC .
,60AB BC ABC ︒=∠=，
ABC ∴为等边三角形，
,60AB AC ABC ACB ︒∴=∠=∠=， 120ABG ︒∴∠=.
//AB CD ，
60BCH ABC ︒∴∠=∠=， 120ACH ︒∴∠=
ABG ACH ∴∠=∠， 又BG CH =， ABG ACH ∴≅，
,AG AH GAB HAC ∴=∠=∠.
60BAH HAC BAC ︒∠+∠=∠=， 60BAH GAB GAH ︒∴∠+∠=∠=，
AGH ∴为等边三角形； ②ADC 为等边三角形，
2,1AD DC AC CF DF ∴=====，
3AF ∴=. 1
(33)2
ADH
S
=
， 11
3(33)22
DH ∴⨯=， 31DH ∴=
31CH DH CD ∴=-=，3HF DH DF =-=
AF HF ∴=，
AHF ∴为等腰直角三角形， 45AHF ︒∴∠=.
过点C 作CM AH ⊥，垂足为M .
在Rt CMH 中，sin CM
CHM CH
∠=
， 1
2
CM ∴=
， 在Rt AMC 中，
sin CM
MAC AC
∠=
， 1
sin 4
MAC ∴∠=
. 又
GAB HAC ∠=∠，
1
sin sin 4
GAB HAC ∴∠=∠=
； 【点睛】
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的定理和性质，正确作出辅助线进行解题．
5．B
解析：（1）12；（2）3） 【解析】 【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点
N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，
4AB =
2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，
6AC =，
11
641222
ABC
S
AC BD ∴=
⋅=⨯⨯=．
（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，
D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，
PD PQ ∴=，
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，
点P 为AB 上的动点，
PC PD CQ ∴+≥，
∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，
点C 为半圆AB 的中点，
90COB ∴∠=，
90BOD COD COB ∠+∠=∠=， 11
903033
BOD COB ∴∠=∠=⨯=，
10AB =，
11
10522
OD AB ∴=
=⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，
155,222
DH OD QH DH ∴=
=∴==， 2
2
2
2
55352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-=
⎪⎝⎭
， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，
553,2OM QH MQ OH ∴==
==
515522
CM OM OC ∴=+=+
=， 2
2
22
15535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， PC PD ∴+的最小值为53．
（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交
OB 于点F ，
PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，
．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，
∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，
45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．
扇形AOB 的半径为20，
20OS ON OP ∴===，
在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.
6．B
解析：（1）y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；（2）点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣
3）或（1，﹣3）；（3）点P的坐标为：（﹣1，0）或（3
2
，﹣
25
8
）或（
17
3
，
50
9
）或
（3，﹣2）．【解析】【分析】
（1）根据题意直线y＝1
2
x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别
为：（0，-2）、（4，0），即可求解；
（2）由题意直线MA的表达式为：y＝（1
2
m﹣
3
2
）x﹣2，则点N（
4
3
m-
，0），当
MN AN ＝
3
2
时，则
NH
ON
＝
3
2
，即
4
3
4
3
m
m
m
-
-
-
＝
3
2
，进行分析即可求解；
（3）根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB、∠PAB=∠OBA三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）直线y＝1
2
x﹣
2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），
则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝
1
2
，
故抛物线的表达式为：y＝
1
2
x2﹣
3
2
x﹣2①；
（2）设点M（m，
1
2
m2﹣
3
2
m﹣2）、点A（0，﹣2），
将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线MA的表达式为：y＝（
1
2
m﹣
3
2
）x﹣2，
则点N（
4
3
m-
，0），
当
MN
AN
＝
3
2
时，则
NH
ON
＝
3
2
，即：
4
3
4
3
m
m
m
-
-
-
＝
3
2
，
解得：m＝5或﹣2或2或1，
故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；
（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，
则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，
联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），
故点P（﹣1，0）；
②当∠PAB＝∠OAB时，
当点P在AB上方时，无解；
当点P在AB下方时，
将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，
则sin∠H＝BO OA
HB HA
'
=，即：
2
4
44
x x
=
++，解得：x＝
8
3
，则点H（﹣
8
3
，0），．
则直线AH的表达式为：y＝﹣3
4
x﹣2③，
联立①③并解得：x＝3
2
，故点P（
3
2
，﹣
25
8
）；
③当∠PAB＝∠OBA时，
当点P在AB上方时，
则AH＝BH，
设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，
故（4﹣a）2＝a2+4，解得：a＝3
2
，
故点H（3
2
，0），
则直线AH的表达式为：y＝4
3
x﹣2④，
联立①④并解得：x＝0或17
3
（舍去0），
故点P（17
3
，
50
9
）；
当点P在AB下方时，
同理可得：点P（3，﹣2）；
综上，点P的坐标为：（﹣1，0）或（3
2
，﹣
25
8
）或（
17
3
，
50
9
）或（3，﹣2）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等，要注意分类讨论，解题全面．
7．A
解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°
【解析】
【分析】
（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；
（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；
②证明和推理过程同①的求解过程；
（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF
∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，
∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍.
【详解】
（1）
()
1
180180
2
1
1809018045135
2
AEB EBA BAE OBA BAO
∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠
=︒-⨯︒=︒-︒=︒
（2）①如图所示
AD与BO交于点E，
()
906030
1
1803075
2
1
90903060
2
180180756045
OBA
DBO NBC
DEB OEA OAB
D DB
E DEB
∠=︒-︒=︒
∠=∠=︒-︒=︒
∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒
∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化
设BADα
∠=，因为AD平分∠BAO，所以2
BAOα
∠=，因为∠AOB=90°，所以180902
ABN ABO AOB BAOα
∠=︒-∠=∠+∠=+。

因为BC平分ABN
∠，所以
45ABC α∠=︒+。

又因为180ABC ABD D BAD ∠=︒-∠=∠+∠。

所以4545D ABC BAD αα∠=∠-∠=︒+-=︒
（3）因为∠BAO 与∠BOQ 的平分线交于点E ， 所以135AOE ∠=︒， 所以
()111
18045454518090222
E EAO AOE EAO BAO ABO ABO
∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒-∠=︒-︒-︒-∠=∠
因为AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的平分线， 所以111
18090222
EAF BAO GAO ∠=∠+∠=⨯︒=︒在△AEF 中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当3EAF E ∠=∠时，得30E ∠=︒，此时60ABO ∠=︒
②当3EAF F ∠=∠时，得60E ∠=︒，此时12090ABO ∠=︒>︒，舍去。

③当3F E ∠=∠时，得1
9022.54
E ∠=⨯︒=︒，此时45ABO ∠=︒ ④当3E
F ∠=∠时，得3
9067.54
E ∠=
⨯︒=︒，此时13590ABO ∠=︒>︒，舍去。

综上可知，∠ABO 的度数为60°或45°。

【点睛】
前两问熟练运用三角形内角和定理、两角互余、两角互补、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明EAF ∠=90°，再分情况进行讨论.
8．A
解析：（1）①(1,2),(2.5,0)A C ；②23m ≤；（2）最小值为2． 【解析】 【分析】
（1）①根据“特征点”的定义判断即可；
②如图2中，当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，1(2W ，当⊙W 2与直线y =−x +3相切
时，2(3W +，结合图象，⊙W 与图中阴影部分有交点时，⊙W 上存在满足条件的特征点．
（2）特征点的图象是由原点向外扩大，当与反比例函数的图象第一次有交点时，1x x
+的值最小（如图3中）． 【详解】
解：（1）①∵1+2=3，1+3=4，2.5+0=2.5， 又∵2≤a ≤3， ∴A ，C 是特征点，
故答案为：(1,2),(2.5,0)A C ； ②如图1，∵2≤a ≤3，
∴直线y =−x +2和直线y =−x +3之间的区域（包括两直线）上的点都为“特征点”， 直线y =−x +2和直线y =−x +3分别与x 轴的交点为(2,0)P ，(3,0)Q ，
当⊙W 1与直线y =−x +2相切时，设切点为M ，
此时2OP =，1MW MP ⊥，145MPW ∠=︒，则1MPW 为等腰直角三角形， ∵⊙W 1半径为1，即11MW =，
∴12PW =1122OW OP PW =-=- ∴1(22,0)W ，
当⊙W 2与直线y =−x +3相切时，设切点为N ，
此时3OQ =，2NW NQ ⊥，245NQW ∠=︒，则2NQW 为等腰直角三角形， 同理得：22QW =，则2232OW OQ QW =+=+， ∴2(32,0)W +，
观察图象可知满足条件的m 取值范围为：2232m ≤ （2）根据0x >，在第一象限画出1
y x
=
的图象， ∴在此坐标系中图象上的点就是1x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，
∵特征点满足x y a +=（x ≥0，a 为常数）， ∴在此图象上对应的就是1
x a x
+
=， ∴将特征点的图象由原点向外扩大，当与反比例函数1
y x =的图象第一次有交点时，1x x
+出现最小值， 如图2，由x >0可将1
x a x
+
=整理得：210x ax -+=， ∴2
()40a ∆=--=，解得：12a =，22a =-（舍去），
∴2a =，
∴12Z x x =+=，即()10Z x x x
=+>的最小值为2．
【点睛】
本题属于反比例函数综合题，考查了直线与圆的位置关系，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题．
9．E
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）
()()11a b ++<9+62. 【解析】
【分析】
（1）根据题目要求作出图形即可；
（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，先依据矩形与平行线的性质，等角的余角相等，旋转的性质，得到AHE ≌ADC (AAS),依据全等的性质及等量代换可得BH FH =，结合依据相似的判定与性质，得到AB AG =，再依据SAS 可证明GAE ≌BAC ，依据全等的性质得到90AGE ABC ∠=∠=︒，即EG ⊥AD ；
（3）依据勾股定理求出GB ，依据平行线分线段成比例可分别证MAG △∽MCB △，BAG ∽BHF ，NBC ∽NFE ，依据相似三角形的性质得到MG GB 、、
42a MB ==、BF 、122
b NF BF ===，即可求出()()11a b ++=()
4
21212<9+62 【详解】 解：（1）补全图形如下：
（2）连EF ，EG ，延长AB 交EF 于点H ，设AD n =，CD m =，
∵//AE DF ,AE DF =,
∴四边形AEFD 是平行四边形，
∴//AD EF ，AD EF n ==，
∴ABG ∽HBF , ∴
AB AG BH FH
=， ∵矩形ABCD ，
∴//AD BC ，90ADC BAD ABC ∠=∠=∠=︒，
∴//BC EF , ∴90AHF ABC ∠=∠=︒,
∴18090AHE AHF ∠=︒-∠=︒，
∴AHE ADC ∠=∠,
∵90EAC BAD ∠=︒=∠,
∴EAC BAC BAD BAC ∠-∠=∠-∠，即EAH CAD ∠=∠,
又∵AE AC =，
∴AHE ≌ADC (AAS),
∴EH CD m ==,AH AD n ==，
∴BH n m FH =-=,
又∵AB AG BH FH
=， ∴AB AG =，
又∵90BAC CAD GAE ∠=︒-∠=∠，AC AE =， ∴GAE ≌BAC （SAS ），
∴90AGE ABC ∠=∠=︒，
∴EG ⊥AD ；
(3) 当AB =2，BC =4，MB =a ，NF =b 时，()()11a b ++<9+62，理由如下：
2AG AB ==,2222GB AG AB +=4EF AD BC ===,4AH AD ==,2BH AH AB =-=, ∵//AD BC ，
∴MAG △∽MCB △， ∴MG AG MB BC ==2142
=, ∴22MG GB ==42a MB ==
∵//AD EF ，
∴BAG ∽BHF ， ∴GB AB BF HB ==212
=, ∴22BF GB ==
∵//BC EF
NBC ∽NFE ，
∴1BN BC NF EF
==, ∴122
b NF BF ===, ()()11a b ++=()
4
21212<9+62 【点睛】
本题考查了矩形与平行线的性质，等角的余角相等，旋转的性质，全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三角形，灵活运用相似三角形的性质求各条线段的长度.
10．B
解析：（1）B(0，6)；（2）S=
3 960
2
3
693
2
t t
t t
⎧
-<≤
⎪⎪
⎨
⎪-<≤
⎪⎩
，
，
；（3）E(4，2)
【解析】
【分析】
（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB的长，从而得到点B的坐标；
（2）存在2种情况，一种是点P在点D的左侧，一种是在右侧，求△PBD的面积，高始终是OB不变，仅需表示出PD的长即可；
（3）如下图，作∠BPE的角平分线PF，根据角之间的关系，可得到PF∥OB，从而推导出△PEG∽△PBO，最后利用相似比的关系求得线段的长度，从而得到E的坐标.
【详解】
（1）∵A(6，0)，AB=62，△AOB是直角三角形
∴在Rt△AOB中，OB=()22
6266
-=
∴B(0，6)
（2）情况一：如下图，点P在点D的左侧，即
3
2
t<≤时
在△BPD中，以PD为底，则BO是△BOD的高
∴高=BO=6，底=3－2t
∴S=()
1
63296
2
t t
-=-
情况二：如下图，点P在点D的右侧，即
3
3
2
t<≤时
在△BPD 中，以PD 为底，则BO 是△BOD 的高
∴高=BO=6，底=2t －3
∴S=(
)1623692t t -=-
综上得：S=3960236932t t t t ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩
，， （3）如下图，PF 是∠PBE 的角平分线，交AB 于点F ，过点E 作x 轴的垂线，交x 轴于点G
∵OA=6，OB=6，2∴△OBA 是等腰直角三角形，∠A=45°
∴△GEA 是等腰直角三角形
设PG=x ，则AG=3－x ∴EG=AG=3－x
∵PF 是∠BPE 的角平分线，∴∠BPF=∠FPE
∵∠BPE =2∠OBP
∴∠OBP=∠BPF=∠FPE
∴PF ∥OB ，∴PF ⊥OA
∴∠FPE+∠EPG=90°
∵∠OBP+∠BPO=90°，∴∠EPG=∠BPO
∵∠EGP=∠BOP
∴△PEG ∽△PBO
∴EG OB PG OP =，即363
x x -=，解得：x=1 ∴PG=1，GE=2。