广义积分地收敛判别法

第二节 广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。

因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分⎰
+∞a
dx
x f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有
ε<⎰|)(|/
b b dx x f
证明：对+∞→b lim
0)(=⎰
+∞
b
dx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．
同样对瑕积分⎰b a
dx x f )((b 为瑕点), 我们有
定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰b
a dx x f )(收敛的充
要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有
εηη<⎰--|)(|/
b b dx x f
定义9.5如果广义积分
⎰+∞
a
dx x f |)(|收敛，我们称广义积分
⎰+∞
a
dx x f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞
a dx
x f )(
收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞
a
dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上
条件可积．
由于a A A ≥∀/,，均有 |)(|/
⎰A A dx x f ≤
⎰/
|)(|A A
dx x f
因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞a
dx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞
a dx
x f )(必收敛．
它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。

对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．
下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：
定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有
),()(0x k x f ϕ≤≤（k 为正常数）
则当⎰+∞
a dx x )(ϕ收敛时, ⎰+∞
a
dx x f )(也收敛;
当⎰
+∞a
dx x f )(发散时,
⎰+∞
a
dx x )(ϕ也发散．
证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．
对瑕积分有类似的结论判别法
定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使
∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则
1） 如⎰b a
dx x g )(收敛，则⎰b
a
dx a f )(也收敛。

2）如⎰b a
dx x f )(发散，则⎰b
a
dx x g )(也发散．
比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．
定理9.6 如果f (x ), g (x )是[a ,+)∞上的非负函数, 且,)()
(lim
l x g x f x =+∞→
则
(1) 如果+∞<≤l 0, 且⎰+∞a
dx x g )(收敛, 则积分⎰+∞
a dx x f )(也收敛． (2) 如果+∞≤<l 0, 且⎰+∞
a
dx x g )(发散，则积分⎰+∞
a dx x f )(也发散．
证明：如果,0)()
(lim
≠=∞
→l x g x f x
则对于)0(0>->εεl , 存在A, 当A x ≥时, εε+<<-≤l x g x f l )
()
(0
即)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-成立. 显然
⎰+∞
a
dx x f )(与
⎰+∞
a
dx x g )(同时收敛或同时发散，在l =0或 l =∞时，可类似地讨论.
使用同样的方法，我们有
定理9.7 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分⎰b a dx x f )(与⎰b
a dx x g )( 如
果f (x ), g (x ) 是非负函数，且,)()
(lim l x g x f b
x =-
→
则 （1） 当+∞<≤l 0, 且⎰b
a
dx x g )(收敛时，则⎰b a
dx x f )(也收敛．
（2） 当+∞≤<l 0，且⎰b a
dx x g )(发散时，则⎰b
a
dx x f )(也发散．
对无限区间上的广义积分中，取⎰∞
+a
p dx x
1
作比较标准，则得到下列Cauchy 判别法：设f (x )是[a ,+)∞的函数，在其任意闭区间上可积,那
么:
定理9.8 若0≤f (x )≤p x
c
， p >1,那么积分⎰+∞a
dx x f )(收敛，如
f (x )≥p x
c
，p ≤1,则积分⎰+∞a dx x f )(发散．
其极限形式为
定理9.9 如+∞→x lim l x f x p =)(
(+∞<≤l 0, p >1), 则积分⎰+∞
a dx
x f )(收敛．
如∞→b lim l x f x p
=)(,
而+∞≤<l 0, p ≤1, 则⎰+∞
a dx
x f )(
发散.
例9.8 判断下列广义积分的收敛性。

(1) ⎰∞
+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-+1
11)11ln(dx x x (2)
⎰∞
++1
1dx x
x n
m
(m >0, n >0) 解：（1）因为0x x +-
+≤11)11ln(
=
+-≤
x x 11
1 21)1(1x x x ≤+
由⎰
∞
+1
21
dx x 收敛推出⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-+111)11ln(dx x x 收敛． （2）因为+∞→x lim ,11=+-n m
m
n x x
x 所以当n －m >1时，积分⎰∞
++11dx x x n m
收敛. 当n －m ≤1时，积分⎰∞++11dx x x n m
发散．
对于瑕积分，使用⎰-b a
p
dx a x )
(1
作为比较标准，我们有下列柯西判别
法．
定理9.10 设x=a 是f (x )在[a ,b )上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么
（1） 如0≤f (x )≤p a x c )
(- (c>0), p<1, 则⎰b a dx x f )(收敛． （2） 如f (x )≥p a x c )
(- (c>0), p ≥1, 则⎰b a dx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为 定理9.11 设k
x f a x p a x =-+
→)()(lim
如0≤k <∞, p<1, 则⎰b a
dx x f )(收敛 如0<k ≤∞, p ≥1, 那么⎰b
a dx x f )(发散．
例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。

(1) ⎰--1
0222)1)(1(x k x dx
(k 2<1)
(2)
⎰
2
cos sin π
x x dx
q
p
(p ,q>0) 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点
因为 -
→1
lim x )
1)(1()1(2
2
2
2
1
x k x dx x --- =
+∞<-)
1(212
k
由2
1
=
p 知瑕积分收敛． （2）0与2
π
都是被积函数的瑕点．
先讨论,cos sin 40
⎰
π
x x dx q p 由+
→0lim x 1cos sin 1=x
x x q p p
知: 当p<1时, 瑕积分⎰4
0cos sin π
x
x dx
q
p 收敛; 当p ≥1时,瑕积分
⎰
40
cos sin π
x
x dx
q
p 发散． 再讨论 ⎰2
4
cos sin π
πx x dx
q
p 因-→
2
lim πx 1cos sin 1
)2(=-x x x q
p p
π
所以当 q <1时, 瑕积分⎰2
4
cos sin π
πx x dx q
p 收敛， 当q ≥1时，瑕积分⎰2
4
cos sin π
πx x dx
q
p 发散． 综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分⎰2
cos sin π
x
x dx
q
p 收敛; 其他情况发散．
例9.10 求证: 若瑕积分⎰1
0)(dx x f 收敛，且当+→0x 时函数f (x )单调
趋向于+∞，则+
→0
lim x x f (x )=0. 证明：不妨设]1,0(∈∀x , f (x )≥0, 且f (x )在(0, 1)上单调减少。

已知⎰1
0)(dx x f 收敛，由柯西收敛准则，有
0>∀ε, 0>∃δ(δ<1), δ<<∀x 0有
,
)(2
ε<⎰
x
x
dt t f
从而
0<)(2x f x
≤ε
<⎰x x dt t f 2
)( 或
0<x f (x )ε2<
即+
→0
lim x x f (x )=0. 例9.11 求证瑕积分⎰-1
0)]cos 1([1dx x x λ
(λ>0), 当λ<3
1
时收敛 当λ3
1
≥
时发散. 证明:∵+
→0lim x λλ
)]cos 1([3x x x -=+
→0lim x λ
λλ
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-233cos 1x x x x =+
→0
lim x λλ
2cos 112=⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x
所以当3λ<1时，即λ<31时，瑕积分收敛．当3λ≥1，即λ≥3
1
时，瑕积分发散．
前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．
定理9.12（积分第二中值定理）设g (x )在[a ,b ]上可积，f (x )在[a ,b ]上单调，则存在ξ∈[a ,b ] 使
⎰b
a
dx x g x f )()(=⎰⎰+ξ
ξa a dx x f b g dx x f a g )()()()(
为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况．
引理9.1设f (x )在[a , b ]上单调下降并且非负，函数g (x )在[a ,b ]上可积，则存在c ∈[a ,b ]，使
⎰b
a
dx x g x f )()(=f (a )⎰c
a dx x g )(
证明：作辅助函数)(x ψ= f (a ),
)(⎰x a
dt t g
对[a ,b ]的任一分法
P: a =x 0<x 1<x 2<…<x n =b
我们有
⎰b
a
dx x g x f )()(=dx x g x f n
i x x i
i )()(1
1
∑⎰=-
由此得到
|⎰b
a
dx x g x f )()(－dx x g x f n
i x x i i
i )()(1
11
∑⎰=--|
=|dx x g x f x f i n
i x x i
i )()]()([111
-=-∑⎰-|
≤dx x g x f x f i n
i x x i
i |)(||)()(|11
1
-=-∑⎰-
≤)(1
f L n
i i ∑=ω△x i
这里L 是|g (x )|在[a ,b ]的上界, )(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅，从这个估计式可知,
当P 0→时,应当有
dx x g x f n
i x x
i i
i )()(1
11
∑⎰=--→⎰b
a dx x g x f )()(
我们来证明
≤∈)(min ]
,[x b a x ψdx x g x f n
i x x i i
i )()(1
11
∑⎰=--)(max ]
,[x b a x ψ∈≤
为此，引入记号 G(x )=
⎰x
a dt t g )( 并作如下变换
dx x g x f n
i x x
i i
i )()(1
11
∑⎰=--
=)]()([)(111-=--∑i i n
i i x G x G x f
=-∑=-)()(11i n
i i x G x f )()(11
1-=-∑i n
i i x G x f
=-∑=-)()(11i n
i i x G x f )()(1
i n i i x G x f ∑-=
=-∑=-)()(11i n
i i x G x f )()(1
1
i n i i x G x f ∑-= （0)()(0==a G x G ）
=+-∑=-)(])()([1
1i n
i i i x G x f x f )()(n n x G x f
因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥,
所以
dx x g x f n
i x x
i i
i )()(1
11
∑⎰=--
=+-∑=-)(])()([1
1i n
i i i x G x f x f )()(n n x G x f
≥{)(])()([1
1n n
i i i x f x f x f +-∑=-})(min ]
,[x G b a x ∈
=)(min )(]
,[x G a f b a x ∈
同样可证
dx x g x f n
i x x
i i
i )()(1
11
∑⎰=--≤)(max )(]
,[x G a f b a x ∈
我们证明了不等式
)(min )(]
,[x G a f b a x ∈≤dx x g x f n
i x x i i
i )()(1
11
∑⎰=--≤)
(max )(]
,[x G a f b a x ∈
即
)(min ]
,[x b a x ψ∈≤dx x g x f n
i x x i i
i )()(1
11
∑⎰=--≤)(max ]
,[x b a x ψ∈
现令|p|0→, 取极限，就得到
)(min ]
,[x b a x ψ∈≤⎰b
a
dx x g x f )()(≤)(max ]
,[x b a x ψ∈
因此，存在c ∈[a ,b ]，使得
)(c ψ=⎰b
a dx x g x f )()( （因为)(x ψ在［
b a ,］上是连续函数）
也就是⎰b
a
dx x g x f )()(=⎰c
a
dx
x g a f )()(
证毕
下面我们证明定理9.12
证明：如f (x )是单调下降的，则f (x )－f (b )单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在c ∈[a ,b ), 使
⎰-b a dx x g b f x f )()]()([=⎰-c
a dx x g
b f x f )()]()([
即
⎰b
a
dx x g x f )()(=,
)()()()(⎰⎰+b
c c a dx x g b f dx x g a f
对f (x )单调上升的情形，可作类似讨论.
使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法
定理9.13 若下列两个条件之一满足，则⎰+∞
a dx x g x f )()(收敛 （1）（Abel 判别法）⎰
+∞a
dx x f )(收敛，g (x )在[a ,∞]上单调有界;
（2）（Dirichlet 判别法）设F(A)=⎰A a
dx x f )(在[a ,∞]上有界，g (x )
在[a ,)∞上单调, 且+∞
→x lim g (x )=0.
证明：（1）0>∀ε, 设|g (x )|≤M ，∈∀x [a ,∞), 因⎰
+∞
a
dx x f )(收敛，
由Cauchy 收敛原理，a A ≥∃0, 使01,A A A ≥∀时, 有
M
dx x f A A 2|)(|1
ε
<
⎰
由积分第二中值定理，我们得到
|)()(|1
⎰A A dx x g x f ≤+⋅⎰|)(||)(|ξ
A dx x f A g |)(||)(|1
1⎰⋅A dx x f A g ξ
≤+⋅⎰|)(|ξ
A
dx x f M |)(|1
⎰⋅A dx x f M ξ
≤2ε+2
ε
=ε
再由Cauchy 收敛原理知⎰
+∞a
dx x g x f )()(收敛
(2) 设M 为F(A)在[a ,+)∞上的一个上界，则a A A ≥∀1,, 显然有
M dx x f A A 2|)(|1
<⎰
同时, 因为+∞
→x lim g (x )=0，所以存在a A ≥0, 当x >A 0时, 有
g (x )|<M
4ε
于是，对01,A A A ≥∀有
≤⎰|)(|1A A
dx x f +⋅⎰|)(||)(|ξ
A
dx x f A g |)(||)(|1
1⎰⋅A dx x f A g ξ
≤+⋅|)(|2A g M |)(|21A g M ⋅
≤2ε+2
ε
=ε 由Cauchy 收敛原理知⎰+∞
a
dx x g x f )()(收敛 例9.12 讨论广义积分⎰
∞
+1
cos dx x
x
的敛散性， 解：令f (x )=x
1, g (x )=cos x
则当x +∞→时，f (x )单调下降且趋于零， F(A)=
⎰
A
xdx 1cos =1sin sin -A 在[a ,∞)上有界．
由Dirichlet 判别法知⎰∞
+1
cos dx x
x
收敛， 另一方面
≥
x
x |cos |=x x 2cos x x
22cos 1+ 因⎰
∞+1
21
dx x 发散，⎰∞+122cos dx x
x 收敛 从而非负函数的广义积分⎰∞
+1
22cos dx x
x
发散 由比较判别法知⎰∞
+1
|
cos |dx x
x 发散， 所以⎰
∞
+1
cos dx x
x
条件收敛 例9.13 讨论广义积分⎰
∞+1
arctan cos xdx x
x
的敛散性． 解：由上一题知，广义积分⎰
∞+1
cos dx x
x
收敛, 而arctan x 在[a , +∞)上单调有界，所以由Abel 判别法知⎰
∞+1
arctan cos xdx x
x
收敛。

另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有
|arctan cos |
x x x ≥|cos |x
x
前面已证⎰
∞+1
|
cos |dx x
x 发散 由比较判别法知
⎰∞
+1
|
arctan cos |dx x
x x 发散, 所以
⎰∞
+1
arctan cos dx x
x
x 条件收敛.
对瑕积分也有下列形式的Abel 判别法和Dirichlet 判别法
定理9.14若下列两个条件之一满足，则⎰b
a dx x g x f )()(收敛：（
b 为唯
一瑕点）
（1）（Abel 判别法）⎰b
a dx x f )(收敛, g (x )在[a ,
b )上单调有界
(2) (Dirichlet 判别法) )(ηF =⎰
-η
b a
dx x f )(在[a , b )上有界, g (x )
在(],0a b -上单调, 且0)(lim =-
→x g b
x . 证明: (1) 只须用第二中值定理估计
⎰--/
)()(ηη
b b dx x g x f
读者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的证明.
(2) 读者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的证明.
例9.14 讨论积分 ⎰1
01
sin dx x
x p (0<p ≤2) 的敛散性
解: 对于0<p<1 , 因为
p p
x x x 11sin
≤ 由⎰1
01
dx x
p 收敛知
⎰10
1sin dx x x p
绝对收敛敛
对于0≤p <2, 因为函数f (x ) =p x -2, 当+→0x 时单调趋于0, 而
函数
g (x )= 2
1sin
x
x
满足
2|1cos 1cos |1sin 1≤-≤⎰η
ηdx x x p
所以积分
⎰1
1sin
dx x x p ⎰-=10
2
21
sin
dx x x x p 收敛.
但在这种情况下,
dx x x p
⎰101
sin 是发散的, 事实上
由p
p p p x x x x x x x 22cos
211sin 1sin 2-=≥
因⎰1
021
dx x
p 发散,
⎰1
022
cos
dx x x p
收敛, 知
dx x x p
⎰1
1
sin 发散
从而当0≤p<2时, 积分条件收敛. 最后我们讨论p=2的情形, 因为
⎰1
21
sin
η
dx x x n
1cos 1cos -= 当+→0η时, 上式无极限, 所以积分⎰1
021
sin dx x
x 发散.
值得注意的是, 两种广义积分之间存在着密切的联系, 设
⎰b
a dx x f )(中x=a 为f (x )的瑕点, 作变换y =
a
x -1
, 则有 ⎰b
a
dx x f )(=⎰
∞+-+a
b dy y
y
a f 12
,)
1( 而后者是无限区间上的广义积分.
习题 9.2
1、 论下列积分的敛散性（包括绝对收敛， 条件收敛， 发散） (1)⎰∞+2
sin ln ln ln xdx x
x
； (2) ⎰+∞
02sin dx x ；
(3) ⎰
20
2
2sin cos 1
π
dx x
x ； (4)
⎰-1
021ln dx x x
；
(5) ⎰---1011
ln )1(xdx x x
q p ；
(6) )0,(ln 1
1
1>-⎰--q p dx x
x x q p ；
(7)
⎰∞
++0
1
dx x
x q
p ；
(8) ⎰+∞
--01dx e x x p ； (9)
⎰∞
+-+0
2
1
1dx x
x p ； (10) ⎰∞
+0sin 2sin dx x x
e p
x ； (11)
)0(1sin 1
≥+⎰∞
+p dx x
x
x p
q ；
(12) )0()1
sin(0
>+⎰∞+p dx x x x p
．
2．证明：若瑕积分⎰10
)(dx x f 收敛， 且当+→0x 时， 函数f (x )单调趋于+∞， 则+
→0
lim x x f (x )=0． 3. 若函数f (x )在),[+∞a 有连续导数f /(x )， 且无穷积分⎰+∞
a
dx
x f )(与⎰
+∞a
dx x f )(/都收敛， 则+∞
→x lim f (x )=0．
4. 设f (x )在),[+∞a 上可导，且单调减少，+∞
→x lim f (x )=0, 求证:
⎰+∞
a
dx x f )(收敛 ⇔
⎰+∞
a
dx x xf )(/收敛．
5. 证明：若函数f (x )在),[+∞a 上一致连续， 且无穷积分
⎰+∞
a
dx x f )(收敛， 则+∞→x lim f (x )=0．
6. 求证： 若无穷积分⎰
+∞a
dx x f )(收敛， 函数f (x )在),[+∞a 内单
调， 则 f (x )=o (x
1
)． 7. 计算下列广义二重积分的值．
(1) ⎰⎰
D
q
p y x dxdy
,
其中D={}|1,1|),(>≥x xy y x ； (2)
⎰⎰
≤+≤--1
02
2
221y x y
x dxdy ；
(3)
dxdy e
y x ⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-)
(22, 并由此证明
π
1
12
=⎰+∞∞--dx e
x .
8、讨论下列广义重积分的敛散性． (1) dxdy y x y x a a
p ⎰⎰-00||)
,(ϕ, M
y x m ≤≤<|),(|0ϕ；
(2)
dxdy
xy y x y x p
y x )
()
,(2
2
1
22++⎰⎰
≤+ϕ
M y x m ≤≤<|),(|0ϕ．。