垂径定理和周角

圆
知识点：圆以及圆的相关概念
（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

（2）圆的几何表示：以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” （3）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AC ）
（4）直径：经过圆心的弦叫做直径。

（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。

（5）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（6）弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“
”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

等弧：在同圆或者等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧。

典例分析：
题型1：圆的相关概念
例1：下列说法中，结论错误的是（ ）
A ．直径相等的两个圆是等圆
B ．长度相等的两条弧是等弧
C ．圆中最长的弦是直径
D ．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 例2：已知：如图，OA 、OB 为⊙O 的半径，C 、D 分别为OA 、OB 的中点，求证 AD=BC.
例3：A 、B 是半径为5cm 的⊙O 上两个不同的点，则弦AB 的取值范围是（ ）
A ．A
B ＞0 B ．0＜AB ＜5
C ．0＜AB ＜10
D ．0＜AB≤10
例4：如图，以AB 为直径的半圆O 上有两点D 、E ，ED 与BA 的延长线交于点C ，且有DC=OE ，若∠C=20°，则∠EOB 的度数是_________．
D 第5题C B
A
O 例
2图 例4图
题型
2：综合题
例1：如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C 1，这4个正三角形的周长和为C 2，则C 1和C 2的大小关系是（ ） A ．C 1＞C 2 B ．C 1＜C 2
C ．C 1=C 2
D ．不能确定
例2：如图，AB, CD 为⊙O 的两条直径，E, F 分别为OA, OB 的中点，求证：四边形CEDF 是平行四边形．
例3：如图，小明顺着大半圆从A 地到B 地，小红顺着两个小半圆 从A 地到B 地，设小明、小红走过的路程分别为a 、b ， 则a 与b 的大小关系是（ ）
A ．a=b
B ．a ＜b
C ．a ＞b
D ．不能确定
小试牛刀：
1、下列命题中是真命题的有（ ）
①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分； ③长度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是最大的弦； ⑥半圆所对的弦是直径．
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个 2、如图，在以原点为圆心，2为半径的⊙O 上有一点C ，∠COA=45°，则C 的坐标为_________________ 3、如图，点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在一条直线上，则圆中弦的条数是______
4、一个点到定圆上最近点的距离为4，最远点的距离为9，则此圆的半径是__________.
5、已知⊙O 的半径为R , 弦AB 的长也是R ，则∠AOB 的度数是 .
例1图
例4图
第2题第3题
6、如图，以△OAB 的顶点O 为圆心的⊙O 交AB 于点C 、D ，且AC=BD ，OA 与OB 相等吗？为什么？
知识点：垂径定理
1>垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2>推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
B
A
C
D
O
M
**垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦
直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 典例分析：
题型1：垂径定理的应用
例1： 如图1，P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为_______；最长弦长为_______．
例2：如图2，AB 为⊙O 直径，E 是弧BC 的中点，且∠ACB=900，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，AC=_______．
B A
C E
D O 2 O （1） P 第6题图
例3：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为_________
题型2：添加辅助线，构造垂径定理
例1：如图，BD是⊙O的弦，点C在BD上，以BC为边作等边三角形△ABC，点A在圆内，且AC 恰好经过点O，其中BC=12，OA=8，则BD的长为_______
例2：如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为_________
例3：将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________
变式训练：将一个半径为5cm的半圆O，如图折叠，使弧AF经过点O，则折痕AF的长度为_________ 例4：A是半径为5的⊙O内的一点，且OA=3，则过点A且长小于10的整数弦的条数是（）A、1条B、2条C、3条D、4条
例5：已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距离是（）A．1cm B．7cm C．1cm或7cm D．无法判断
小试牛刀：
2、如图（1），在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的是（）
A．AB⊥CD B．∠AOP=∠BOP C．弧AD=弧BD D．PO=PD
3．如图（2），已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
(1)
B
A
C
D
P
O
(2)
B
A
O
M
例3图
例1图
例2图例3图
变式训练
5.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=6，则⊙O的半径为_________
6、如图为某桥的桥拱平面图形，拱宽AB=12，拱高CD为4，则该桥拱所在圆弧的半径为____
7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M, AM = 2，BM = 8.
则CD的长为（）
A . 4
B , 5
C . 8
D . 16
8、在半径为4cm 的圆中，垂直平分一条半径的弦长等于（）
A.3cm
B.23cm
C. 43cm
D. 83cm
9、已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，
那么拱形的半径是cm.
10、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．若AB = 10cm, CD = 8cm, 那么A , B 两点到直线CD的距离之和为( )
A. 12cm
B. 10cm
C.8cm
D.6cm
11题
11、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP:PB=1:4, CD=8，
则AB=_______________.
12.如图，已知在半径为2的⊙O中有一点E，过点E的弦
AB与CD互相垂直，且OE=1，则AB2+CD2的值
等
于__________________
14、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C, D 两点，AB=10cm, CD=6cm, AC 的长为 A. 0. 5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm
15、已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( )
A ．2
B ．8
C ．2或8
D ．3
17、如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，CD CE 且AB=10cm ， BD=25cm ．求CD 和CE
F O
B
E
A
D
C
知识点：圆心角
1》定义：顶点在圆心的角叫做圆心角
2》圆心角推论：在同圆或等圆中，圆心角、弧或弦中一组量相等，那么他们所对的另外两组量也相等。

题型1：由等弧推等角、等弦
例1：如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD=弧CB ，求证：AB=CD ．
题型2：有等角，推等弧、等弦
例1：如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB 与OC 、OD 分别相交于E 、F ，AE=BF ，说明弧AC=弧BD 的理由
例2：如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3．求证：AC=BE=DF
题型3：由等弦推等弧、等角
例1：如图，⊙O中，弦AB=CD．求证：∠AOC=∠BOD．
小试牛刀：
1、如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，则∠B=_______
（1题图）（3题图）
2、若一弦长等于圆的半径，则这弦所对的弧的度数是_________
3、如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=_______
4、一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为_____________
5、如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是___________
6、如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是弧AB的中点，判断四边形OACB的形状并证明你的结论．
7、如图,AB, CD是⊙O的两条直径，过点A作AE//CD交⊙O于点E，连结BD , DE.求证：BD=DE.
8、如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN, D为OA的中点，过点D作BC//MN，
求证：( 1 ) 四边形ABOC为菱形；(2)∠MNB=
1
8
∠BAC.
第5题图
知识点：圆周角
（1）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

（2）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（3）圆内接四边形：各顶点在圆上的多边形是圆内接多边形。

（4）圆内接四边形的对角互补 典例分析：
题型1：圆周角定理以及推论
例1：如图，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.
例3：如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=o
，则DCF ∠= ． 题型2：圆内接四边形对角的关系
例1：如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_________。

例2：如图2，A 、B 、C 三点都在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，∠AOC=140°，则∠CBD 的
B
O
C
A
E
F
C
D
G
O
例3
度数为（ ）
A 、40°
B 、50°
C 、70°
D 、110°
例3图
例3：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD=1600, 则∠BAD 的度数是 ，∠BCD 的度数是 .
例4：已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂
上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．
（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？
题型3：直径所对圆周角的度数
例1：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．
例2：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为 ⊙O 的直径，AD=6，则BC ＝ 。

例3：如图，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙O1与⊙O 的弦AC 交于点D ，如果∠BAC=30°，OD=5cm ，那
·
O
A
D
B C 例2图
A
O
C
D
P B
图
A
O
C D
P B
图
· · O O '
C
B
A
D 例3图
O
A B
C
例1图 _ . . .
_D
_C
_B _A _O
例1图 例2图
么AB=_________。

例4：如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO =∠BCD ．
（2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径．
例5：如图，AD 为△ABC 的外接圆O 的直径，AE ⊥BC 于E ，求证：∠BAD=∠EAC 。

小试牛刀：
1、如图, 已知CD 为⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ,若∠D 的度数是50o ,则∠C 的度数是__________
2、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在弧AB 上，则∠DPC = .
E
D B
A
O C
E
A O
D
C
1题
、已知，如图：AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝450。

给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.50，；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧⋂
AE 是劣弧⋂
DE 的2倍； ⑤AE ＝BC 。

其中正确结论的序号是 。

6、如图， AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC, D 是»BC 上一点， P 是»AC 上一点，若∠BDC=1500, 则∠APC .
7、如图， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB, E 是AD 上一点，若∠BCD=350， 求∠AED 的度数．
8、如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°． （1）求∠B 的大小；
（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．
5题
•
E D C
B
A
O 20 题图（第6题）。