江苏省淮安市郑梁梅中学2020年高二数学理下学期期末试题含解析

江苏省淮安市郑梁梅中学2020年高二数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图,在三棱锥A—BCD中,侧面ABD、ACD是以AD为公共斜边的全等
直角三角形, ,且AD=,BD=CD=1，侧面ABC是正三角形。

现在线段AC
上找一点E，使得直线ED与面BCD成30°角，这样的点E（）
A．不存在 B．存在且为中点 C．存在且 D．存在且
参考答案：
D
略
2. 已知椭圆（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线
与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据菱形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．
【解答】解：由题意得，椭圆（a＞b＞0，c为半焦距）
的左焦点为F，右顶点为A，
则A（a，0），F（﹣c，0），
∵抛物线y2=（a+c）x于椭圆交于B，C两点，
∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）
∵四边形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，则m=（a﹣c），
将B（m，n）代入抛物线方程得，
n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），
∴n2=b2，则不妨设B（（a﹣c），b），再代入椭圆方程得，+=1，
化简得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．
故选D．
【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，菱形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．
3. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）
A．232 B．252 C．472 D．484
参考答案：
C
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】排列组合．
【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．
【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472
故选C．
【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．
4. “”是“不等式对一切实数x恒成立”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
不等式对一切实数x恒成立，故选A。

5. 已知函数，若，则实数a的值为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
D
6. 双曲线的实轴长是
（A）2 （B） 2（C） 4 （D）4
参考答案：C
7. 下列等于1的积分是（）
A． B．C． D．
参考答案：
C
8. 设函数,则（）
A.为f(x)的极大值点
B.为f(x)的极小值点
C .为f(x)的极大值点 D.为f(x)的极小值点
参考答案：
D
9. 关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是
A． B． C． D．或
参考答案：
D
10. 设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=f′，f（2）（x）=f′，…，f（n）（x）=f′，则f（1）（150）+f（2）（150）+f（3）（150）+…+f（2017）（150）的值是（）
A．B．C．0 D．1
参考答案：
A
【考点】63：导数的运算．
【分析】求函数的导数，得到函数导数具备周期性，结合三角函数的运算公式进行求解即可．【解答】解：f（0）x=sinx，则f（1）x=cosx，f（2）（x）=﹣sinx，f（3）（x）=﹣cosx，
f（5）x=sinx，则f（5）x=f（1）（x），即f（n+4）（x）=f（n）（x），
则f（n）（x）是周期为4的周期函数，
则f（1）（x）+f（2）（x）+f（3）（x）+f（4）（x）=sinx+cosx﹣sinx﹣cosx=0，
则f（1）（150）+f（2）（150）+f（3）（150）+…+f（2017）（150）=f（1）（150）（150）=cos15°=cos（450﹣
300）
=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据条件得到函数的导数具备周期性是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点，且. 则P 点的轨迹方程是____________________．
参考答案：
提示：设动点为，则过
.
代入椭圆方程, 整理得：
(※)
若直线椭圆交于，，则是方程(※)的两个根, 且
①
②
又∵，.
∴.
将①、②代入并整理得：
（）12. 设a＞0，b＞0，且a+b=1，则+
的最小值为．
参考答案：
4
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】根据基本不等式的应用，即可求+的最小值．
【解答】解：∵a+b=1，
∴+=（a+b）（+）=2+，
当且仅当，即a=b=时，取等号．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的三个条件．
13. 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足，对任意正数m，n，若
，则与的大小关系是______（请用，或）
参考答案：
解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f（x），
∴f′(x)≤f(x)/ x ≤0
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减或常函数
∵n＜m
∴f（m）≥f（n）
∴mf（n）≤nf（m）
14. 当用反证法证明来命题：“若，则”时，应首先假设
“______________”成立.
参考答案：
a,b中至少有一个不为0
15. 将五种不同的文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个
抽屈至多放一种文件，则文件被放在相邻的抽屉内且文件
被放在不相邻的抽屉内的概率
是。

参考答案：
16. 执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y 的值为
．
参考答案：
﹣
【考点】
EF ：程序框图．
【分析】根据程序框图依次计算框图运行的x 、y 值，直到满足条件|y ﹣x|＜1终止运行，输出y 值． 【解答】解：由程序框图得第一次运行y==1，
第二次运行x=1，y=×1﹣1=﹣，
第三次运行x=﹣，y=
×（﹣
）﹣1=﹣
，此时|y ﹣x|=
，满足条件|y ﹣x|＜1终止
运行，输出﹣． 故答案是﹣
．
17. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则O 到平面ABC 1D 1的距离为 .
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）某校高一年级共有320人，为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间（指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间）情况，学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n 名学生进行问卷调查．根据问卷得到了这n 名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据（单位：分钟），按照以下区间分为七组：①[0，10），②[10，20），③[20，30），④[30，40），⑤[40，50），⑥[50，60），⑦[60，70），得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人． （1）求n 的值；
（2）若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟，则学校需要减少作业量．根 据以上抽样调查数据，学校是否需要减少作业量？（注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中 点值作为代表）
参考答案：
（1）由图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06， 则n×（0.02+0.06）=4，解得n=50
（2）设第i 组的频率和频数分别是p i 和x i ，由图知p 1=0.02，p 2=0.06，p 3=0.3，p 4=0.4，p 5=0.12，p 6=0.08，p 7=0.02，则由x i =50×p i ，
可得x 1=1，x 2=3，x 3=15，x 4=20，x 5=6，x 6=4，x 7=1
则高一学生每天平均自主支配时间是33.6分钟，则学校需要减少作业量
19. (13分)不等式的解集为A，不等式的解集为B,且有, 求实数的取值范围.
参考答案：
解析：先解A=，B=, A∩B=B即B⎨A *
当a=0时，B={x|x>1},不满足*式
当a>0时，B=，也不满足*式
当a<0时，B=，要使B⎨A，只要解得-100≤a<-
20. 已知数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，，且.
(1)求数列的前n项和R n；
(2)求{b n}的通项公式.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）先将表示为，然后利用裂项求和法可求出；
（2）先求出数列的前项和，于是得出，然后利用作差法
可求出数列通项公式。

【详解】（1）因为，
所以；（2）因为，
所以.
当时.；
当时，.
故
【点睛】本题考查裂项法求和以及作差法求数列的通项公式，求通项要结合递推式的结构选择合适的方法求数列通项，求和则需考查数列通项的结构合理选择合适的求和方法进行计算，属于常考题。

21. 已知二次函数f(x)满足：函数f(x+1)为偶函数，f(x)的最小值为-4，函数f(x)的图象与x轴交点A、B的距离为4.
(Ⅰ)求二次函数的解析式；
(Ⅱ)求函数f(x)，t ≤x≤t+2的最大值g(t).
参考答案：
解：(Ⅰ)∵f(x)的最小值为-4
故，可设……………………………2分
则
∵ 函数f(x+1)为偶函数
∴
即
h=1 ……………………………………………4分
由
∴ A、B的距离为
即a=1
………………………………6分 (Ⅱ)由二次函数的图象，知
①
故， (8)
分
②
故，…………………………10分
③
故， (12)
分
④
故，
综上述
(14)
分
22. 如图，三棱柱中，侧棱于底面垂直，，，，
分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面 .
参考答案：
（1）证明：依题意，，，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则由已知，，，，，，，，
∴，，，，
易知，
∴平面 .
（2）证明：连接，由（1）得，，，，设平面的一个法向量为
则，
∴由取，得，
∴平面的一个法向量为
此时，
故平面 .。