2023-2024学年湖南省长沙市长沙县八年级(下)期中数学试卷(含解析)

2023-2024学年湖南省长沙市长沙县八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若a−1有意义，则a的取值范围是( )
A. a≥1
B. a≤1
C. a≥0
D. a≤−1
2.已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC的面积是( )
A. 12
B. 15
C. 20
D. 24
3.下列条件不能判定“▱ABCD是菱形”的是( )
A. AB=BC
B. AC⊥BD
C. AD=CD
D. AC=BD
4.下列运算正确的是( )
A. 2×5=7
B. 82×1
16=1 C. 2×6=12 D. 12×3
4
=3
5.下列命题，其中是真命题的为( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
6.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. a：b：c=3：4：5
B. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
C. ∠A+∠B=∠C
D. a：b：c=1：2：3
7.下列不能表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D. y=2x+1
8.如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是( )
A. 4.5
B. 5
C. 5.5
D. 6
9.如图，四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，AH⊥BC于H，则AH
等于( )
A. 24
5
B. 48
5
C. 4
D. 5
10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，
EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( )
A. 1
B. 2
C. 4−22
D. 32−4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.把4
化为最简二次根式，结果是______．
3
12.平面直角坐标系中，点P(−3,4)到原点O的距离是．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB中点，CD=BC=2，则
AC=______．
14.顺次连接任意一个矩形四边的中点，得到的四边形是______．
15.已知y=x−3+3−x+8，求xy=______．
16.已知：如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=8，M在BC上，且BM=2，N是AC上一动点，则BN+MN的最小值为．
三、解答题：本题共9小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题6分)
计算：
(1)(1048−627+412)÷6；
(2)(3+25)2−(4+5)(4−5)．
18.(本小题6分)
如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，求这棵大树在折断前的高度为多少米？
19.(本小题8分)
先化简，再求值：x−2
x ÷(x−4
x
)，其中x=2−2．
20.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，点M，N分别是边AB，CD的中点．求证：AN=CM．
21.(本小题8分)
已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
化简|a|−(a+c)2+(c−a)2−b2．
22.(本小题8分)
如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF//CD交BC的延长线于点F，连接CD．
(1)求证：DE=CF；
(2)求EF的长．
23.(本小题8分)
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE//AC，AE//BD．
(1)求证：四边形AOBE是菱形；
(2)若∠AOB=60°，AC=4，求菱形AOBE的面积．
24.(本小题10分)
先来看一个有趣的现象：22
3=8
3
=22×2
3
=22
3
，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到
了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：33
8=33
8
，
44 15=44
15
等等．
(1)①请你写一个有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若a8
b =a8
b
(a,b为正整数)，则a+b的值为______．
(2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律；
25.(本小题10分)
如图，在等边△ABC中，BC=8cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)．
(1)连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
(2)①当t为______时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形(直接写出结果)；
②当t为______时，S△ACE=2S△FCE.(直接写出结果)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：若a−1有意义，则a−1≥0，
解得：a≥1．
故选：A．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵△ABC的三边长分别是6，8，10，
∴62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，
×6×8=24，
∴△ABC的面积是1
2
故选：D．
先根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据面积公式求出即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出△ABC是直角三角形是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3.【答案】D
【解析】解：不能判定“▱ABCD是菱形”的是AC=BD，
对角线相等不能判断为菱形．
故选：D．
根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可得出答案．
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
4.【答案】D
【解析】解：A、2×5=10，选项错误，不符合题意；
=22，选项错误，不符合题意；
B、82×1
16
C、2×6=23，选项错误，不符合题意；
=3，选项正确，符合题意；
D、12×3
4
故选：D．
直接利用二次根式的乘法运算法则依次计算进行判断即可．
本题考查了二次根式的乘法运算法则，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】
解：A、可能是等腰梯形，故本选项错误；
B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；
C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
6.【答案】B
【解析】解：A、正确，因为a：b：c=3：4：5，所以设a=3x，b=4x，c=5x，则(3x)2+(4x)2
=(5x)2，故为直角三角形；
B、错误，因为∠A：∠B：∠C=3：4：5，所以设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，故
3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形．
C、正确，因为∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形；
D、正确，12+(3)2=22符合勾股定理的逆定理，故成立；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可．
此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A.对于任意的x ，都有唯一的y 值与之对应，故本选项不符合题意；
B .当x >0时，有2个y 值与之对应，故本选项符合题意；
C .对于每一个x ，都有唯一的y 值与之对应，故本选项不符合题意；
D .对于任意的x ，都有唯一的y 值与之对应，故本选项不符合题意；
故选：B ．
根据函数的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查函数的定义，正确理解“设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数”是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据中线的性质，可得△AEF 的面积=12×△ABE 的面积=14×△ABD 的面积=18×△ABC 的面积=32，△AEG 的面积=32，根据三角形中位线的性质可得△EFG 的面积=14×△BCE 的面积=32，进而得到△AFG 的面积．
【解答】
解：∵点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，
∴AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线，CE 是△ACD 的中线，AF 是△ABE 的中线，AG 是△ACE 的中线，
∴△AEF 的面积=12×△ABE 的面积=14×△ABD 的面积=18×△ABC 的面积=32，
同理可得△AEG 的面积=32，
△BCE 的面积=12×△ABC 的面积=6，
又∵FG 是△BCE 的中位线，
∴△EFG 的面积=14×△BCE 的面积=32，
∴△AFG 的面积是32×3=92，
故选：A ．9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，AC =12，BD =16，
∴CO =12AC =6，BO =12BD =8，AO ⊥BO ，
∴BC = 62+82=10，
∴S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =12×16×12=96，
∵S 菱形ABCD =BC ×AH ，
∴BC ×AH =96，
∴AH =9610=485
故选：B ．
根据菱形的性质得出BO 、CO 的长，在Rt △BOC 中求出BC ，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC ×AH ，即可得出AH 的长度．
本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
10.【答案】C
【解析】解：在正方形ABCD 中，∠ABD =∠ADB =45°，
∵∠BAE =22.5°，
∴∠DAE =90°−∠BAE =90°−22.5°=67.5°，
在△ADE 中，∠AED =180°−45°−67.5°=67.5°，
∴∠DAE =∠AED ，
∴AD =DE =4，
∵正方形的边长为4，
∴BD =4 2，
∴BE =BD−DE =4 2−4，
∵EF ⊥AB ，∠ABD =45°，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF = 22BE = 22×(4 2−4)=4−2 2．
故选：C．
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角
线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的2
2
倍计算即可得解．
本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．
11.【答案】23
3
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确开平方是解题关键．
直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】
解：4
3=23
3
，
故答案为：23
3
．
12.【答案】5
【解析】解：根据勾股定理，得OP=(−3)2+42=5.
故答案为5．
此题考查了勾股定理以及与原点的距离，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理直接计算即可．
13.【答案】23
【解析】解：∵△ABC为直角三角形，且D为AB的中点，
∴CD=DB=DA，
而CD=BC，
∴△DBC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AC=3BC=23，
故答案为：23．
据直角三角形的性质得到△DBC 为等边三角形，得到∠A =30°，根据直角三角形的性质计算即可．本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14.【答案】菱形
【解析】解：如图，连接AC 、BD ．
在△ABD 中，
∵AH =HD ，AE =EB ，
∴EH =12
BD ，
同理FG =12BD ，HG =12AC ，EF =12AC ，
又∵在矩形ABCD 中，AC =BD ，
∴EH =HG =GF =FE ，
∴四边形EFGH 为菱形．
故答案是：菱形．
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状．
本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．15.【答案】2 6
【解析】解：∵y = x−3+ 3−x +8，
∴x−3≥0，3−x ≥0，
解得：x =3，
∴y =8，∴ xy = 3×8=2 6．
故答案为：2 6．
根据二次根式有意义求出x ，y 的值即可．
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．16.【答案】10
【解析】【分析】
过点B 作BO ⊥AC 于O ，延长BO 到B′，使OB′=OB ，连接MB′，交AC 于N ，此时
MB′=MN +NB′=MN +BN 的值最小，再根据勾股定理求解即可．
此题考查了勾股定理，最短路线的问题，确定动点N的位置是解题的关键．
【解答】
解：过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B′，使OB′=OB，连接MB′，交AC于N，
此时MB′=MN+NB′=MN+BN的值最小，
连接CB′，
∵BO⊥AC，AB=BC，∠ABC=90°，
×90°=45°，
∴∠CBO=1
2
∵BO=OB′，BO⊥AC，
∴CB′=CB=8，
∴∠CB′B=∠OBC=45°，
∴∠B′CB=90°，
∴CB′⊥BC，
又MC=BC−BM=8−2=6
根据勾股定理可得MB′=MC2+CB´2=62+82=10，MB′的长度就是BN+MN的最小值．故答案为10．
17.【答案】解：(1)原式=(10×43−6×33+4×23)÷6
=(403−183+83)÷6，
=303÷6，
=303÷6，
=301
，
2
=30×2
，
2
=152；
(2)原式=9+125+20−(16−5)
=29+125−11，
=18+125．
【解析】(1)利用二次根式的性质先化简，合并后再进行二次根式的除法运算即可求解；
(2)利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可；
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：由勾股定理得，断下的部分为 32+42=5米，
折断前为5+3=8米．
【解析】根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单．
19.【答案】解：原式=
x−2x ÷(x 2x −4x )=x−2x ÷(x +2)(x−2)x =x−2x ⋅x (x +2)(x−2)
=1x +2，
当x = 2−2时，
原式=1
2−2+2=1 2= 22． 【解析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD ，AB =CD ．
∵M ，N 分别是AB 、CD 的中点，
∴CN =12CD ，AM =1
2AB ，
∴CN =AM
∵CN//AM ，
∴四边形ANCM 为平行四边形，
∴AN =CM ．
【解析】根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得AB//CD ，AB =CD ；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得AN =CM ．
本题考查了平行四边形的判定与性质，根据条件选择适当的判定方法是解题关键．21.【答案】解：由数轴可知：c <a <0<b ，
∴a +c <0，c−a <0，
则原式=−a +a +c−(c−a)−b =a−b ．
【解析】本题考查实数与数轴，以及绝对值和二次根式的化简，分析得出a +c 和c−a 的正负情况是解题关键．
首先根据数轴得出c <a <0<b ，然后分析a +c 和c−a 的正负情况，再化简绝对值和二次根式，然后计算加减即可．
22.【答案】解：(1)∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，
∴DE//BC ，DE =12BC ，
∵EF//CD
∴四边形DEFC 是平行四边形，
∴DE =CF ．
(2)∵四边形DEFC 是平行四边形，
∴DC =EF ，
∵D 为AB 的中点，等边△ABC 的边长是2，
∴AD =BD =1，CD ⊥AB ，BC =2，
∴DC =EF = 3．
【解析】(1)直接利用三角形中位线定理得出DE//BC ，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
(2)利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC =EF ，进而求出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．23.【答案】(1)证明：∵BE//AC ，AE//BD ，
∴四边形AOBE 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC =BD ，OA =OC =12AC ，OB =OD =12
BD ，
∴OA =OB ，
∴四边形AOBE 是菱形；
(2)解：作BF ⊥OA 于点F ，
∵四边形ABCD 是矩形，AC =4，
∴AC =BD =4，OA =OC =12AC ，OB =OD =12
BD ，
∴OA =OB =2，
∵∠AOB =60°，OA =OB
∴ΔOAB 是等边三角形
∴∠BAO=60°∴∠ABF=30°
∴AF=1
2
AB=1，
∴BF=3，
∴菱形AOBE的面积是：OA⋅BF=2×3=23．
【解析】(1)根据BE//AC，AE//BD，可以得到四边形AOBE是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到OA=OB，由菱形的定义可以得到结论成立；
(2)根据∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE边OA上的高，然后根据菱形的面积=底×高，代入数据计算即可．
本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积=底×高或者是对角线乘积的一半．
24.【答案】71
【解析】解：(1)①55
24=55
24
；
②由题意a=8，b=63，∴a+b=8+63=71．故答案为：71；
(2)结论：n+n
n2−1=n⋅n
n2−1
．
理由：n+n
n2−1=n3−n+n
n2−1
=n n
n2−1
．
(1)①答案不唯一可以举例说明55
24
．
②判断出a，b的值，可得结论；
(2)通过观察例子中数据的特点即可得出规律，再仿照例子即可证明．
本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质对二次根式进行化简是解决问题的关键．25.【答案】(1)证明：∵AG//BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∵在△ADE和△CDF中，
∠EAD=∠DCF
∠AED=∠DFC
AD=CD
，
∴△ADE ≌△CDF(AAS)；
(2)83或8s ；
(3) 165或163
【解析】【分析】
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
(1)由题意得到AD =CD ，再由AG 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证．
(2)①分别从当点F 在C 的左侧时与当点F 在C 的右侧时去分析，由当AE =CF 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
②当AE =2CF 时，12S △AEC =S △EFC ，由此构建方程即可解决问题．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)①当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE =tcm ，BF =2tcm ，
则CF =BC−BF =6−2t(cm)，
∵AG//BC ，
∴当AE =CF 时，四边形AECF 是平行四边形，
即t =8−2t ，
解得：t =83；
当点F 在C 的右侧时，根据题意得：AE =tcm ，BF =2tcm ，
则CF =BF−BC =2t−8(cm)，
∵AG//BC ，
∴当AE =CF 时，四边形AEFC 是平行四边形，
即t =2t−8，
解得：t =8；
综上可得：当t =83或8s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．
故答案为83或8s ．
②∵AG//BC ，∴当AE =2CF 时，12S △AEC =S △EFC ，∴t =2(8−2t)或t =2(2t−8)，解得t =165
或163，故答案为：165或163．。