苏教版高中数学选修1-1导数的应用1

导数的应用
【考点透视】 一、考纲指要
1．理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数判断函数的单调性，求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

2．会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题．
3．会用导数的方法分析和研究函数的性质问题，进一步能解决与解析几何、不等式有关的一些综合问题． 二、命题落点
1．高考考查的热点集中在求导法则以及导数在函数研究上的应用．
2．函数的单调性是函数一条重要性质．利用导数与函数的单调性的关系，研究函数的性质（比初等方法精确细微）是高考的重点，如例3、例4．
3．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便，如例1和例2． 【典例精析】
例1已知函数d ax bx x x f +++=2
3)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－
1））处的切线方程为076=+-y x . （1）求函数)(x f y =的解析式； （2）求函数)(x f y =的单调区间.
解析：应用导数知识及函数思想方法，解决函数的单调性问题。

函数()y f x =在点
0x 处的导数的几何意义，就是()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率。

（1）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以
,2)(2
3+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='
由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知
.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即
.3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即
故所求的解析式是 .233)(2
3+--=x x x x f （2）
.012,0363.363)(222
=--=----='x x x x x x x f 即令
解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时
故)21,(233)(2
3--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，
在),21(+∞+内是增函数.
一般地，设函数()y f x =在某区间内可导，则当()0f x '>时，()f x 为增函数，当
()0f x '<时，()f x 为减函数，若在某区间内，恒有()0f x '=，则()f x 为常数．
例2：设0≠t ，点P （t ，0）是函数
c bx x g ax x x f +=+=2
3)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线.
（1）用t 表示a ，b ，c ；
（2）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围. 解析：函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义，就是()y f x =在点00(,())P x f x 处
的切线的斜率，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率为0()f x '
． （1）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），所以0)(=t f ，
即03=+at t .因为,0≠t 所以2
t a -=.
.,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即
又因为)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，所以).()(t g t f '='
而
.23,2)(,3)(2
2bt a t bx x g a x x f =+='+='所以 将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，
.3
t c -= （2）
))(3(23,)()(2
23223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=. 当0))(3(<-+='t x t x y 时，函数)()(x g x f y -=单调递减.
由0<'y ，若
t x t t <<-
>3,0则；若
.3,0t
x t t -<<<则 由题意，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，则
).
3,()3,1(),3()3,1(t
t t t -⊂--⊂-或
所以
.39.333≥-≤≥-
≥t t t
t 或即或
又当39<<-t 时，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减. 所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞
例3：已知
1,0,()b c f x x b >->=+函数的图象2()g x x bx c =++与函数的图象相切. （1）求b 与c 的关系式（用c 表示b ）；
（2）设函数),()()()(+∞-∞=在x g x f x F 内有极值点，求c 的取值范围.
解析：本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力。

（1）依题意，令
.21,12),()(b
x b x x g x f -=
=+'='故得
211()(),(1)4.
22
1,0,1b b f g b c b c b --=+=>->∴=-+由于得
（2）
.43)(.)(2)()()(2
2223c b bx x x F bc x c b bx x x g x f x F +++='++++==
:)(,0)(,0).
3(4)(1216.043,0)(022222的变化如下且有一个实根则若则即令x F x x F c b c b b c b bx x x F '='=∆-=+-=∆=+++='
于是0x x =不是函数)(x F 的极值点.
)()(,0)(,02121x F x x x x x F '<='>∆且有两个不相等的实根则若的变化如下：
由此，)
(,)(21x F x x x F x x 是函数的极大值点
是函数==的极小值点. 综上所述，当且仅当.),()(,0上有极值点
在函数时+∞-∞=∆x F 24(3)0111077(0,7(7).b c b b b c c c ∆=-><>=-+∴-+<-+><<->+-⋃++∞由得解之得故所求的取值范围是
【常见误区】
1．我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性：
（1）0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系．
0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。

如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单
调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件． （2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系．
若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。

∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件．
（3）0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系．
)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为
0)(>'x f 或0)(='x f 。

当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数
不具有单调性。

∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件．
我们一定要把握好以上三个关系，为解决单调区间的端点问题，一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。

但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理．
2．函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个，最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。

注意：极值≠最值．
3．判断极值，需结合函数的单调性说明．f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值。

但是，当x=x0时，函数有极值⇒ f/(x0)＝0． 【基础演练】
1．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'(f x ()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大
致是（ ）
2．函数32
()31f x x x =-+是减函数的区间为
（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(,2)-∞
C ．(,0)-∞
D ．(0,2)
3．函数
3
()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）
A ．0>a
B ．0≥a
C ．0<a
D ．0≤a
4．函数
93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a 的 值为
（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
5．已知32
()32f x x ax bx =-+在点1x =处有极小值1-，则a = ，b = ． 6．设函数
32
()21f x x x x =-++，[1,2]x ∈-，则函数的最小值为 ． 7．已知函数
x bx ax x f 3)(2
3-+=在1±=x 处取得极值． （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程． 8．（2004·湖南）如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)
与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O ，A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B ，D.
（1）写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系式S=f(t);
（2）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.
9．已知a 为实数，))(4()(2
a x x x f --=
（1）求导数)(x f '；
（2）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[-2，2] 上的最大值和最 小值；
（3）若)(x f 在（—∞，—2）和[2，+∞]上都是递增的，求a 的取值范围.。