2019-2020学年甘肃省武威六中高二(上)第一次段考数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年甘肃省武威六中高二（上）第一次段考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若集合A={x∈N|x>1}，B={x|x2<9}则A∩B等于()
A. {2}
B. {2,3}
C. (−3,1)
D. (1,3)
2.一批零件共160个，其中一等品48个，二等品64个，三等品32个，次品16个.从中抽取一个容量
为20的样本，对总体中每个个体被抽到的概率，用简单随机抽样为，用分层抽样为P2，用系统抽样为P3，则（）
A. B. C. P2>P3>P1 D.
3.下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是()
A. B.
C. D.
4.已知某组数据采用了四种不同的回归方程进行回归分析，则回归效果最好的相关指数R2的值是
()
A. 0.97
B. 0.83
C. 0.32
D. 0.17
5.若a<1，b>1，则下列不等式正确的是()
A. 1
a >1
b
B. b
a
>1 C. a2<b2 D. ab<a+b
6.设某总体是由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成的，利用下面的随机数表依次选取4
个个体，选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为________．
0618076545441816580979838619
7606835003105923460505266238
A. 07
B. 09
C. 16
D. 18
7.下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有()
①某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴参加某地救灾工作；
②箱子中有100支铅笔，从中选取10支进行试验，在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再
放回箱子；
③从50个个体中一次性抽取8个个体作为样本；
④一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；
⑤从2000个灯泡中逐个抽取20个进行质量检查．
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
8.已知甲、乙两组数据的茎叶如图所示，若它们的平均数相同，则下列关
于甲、乙两组数据稳定性的描述，正确的是()
A. 甲较稳定
B. 乙较稳定
C. 二者相同
D. 无法
判断
9.设变量x,y满足约束条件{x+y≥4
x−y≥−2
x≤2
，则目标函数z=y−2x的最大值为()
A. 2
B. 1
C. 0
D. 3
10.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2， (420)
抽取的人的编号在区间[241,360]内的人数是()
A. 7
B. 6
C. 5
D. 8
11.已知3xy−2x−y=2(x>0,y>0)，则2x+y的最小值为()
A. 2
B. 2√2
C. 3√2
D. 4
12.若不等式组{y≥0,
x+3y≤4,
3x+y≥4
所表示的平面区域被直线x=ky+4
3
分为面积相等的两部分，则k
等于
A. 7
3B. 3
7
C. 4
3
D. 3
4
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/ℎm2)如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，
则该组数据的方差为______ ．
14.某科研机构由行政人员、科技人员和后勤职工三种不同类型人员组成，现要抽取一个容量为45
的样本进行调查.已知科技人员共有60人，抽入样本的有20人，且行政人员和后勤职工人数比为2∶3，则后勤职工有_____人．
15.已知正实数x，y满足x+4y−xy=0，若x+y≥m恒成立，则实数m的取值范围为________．
16.已知a∈[−1,1]，不等式x2+(a−4)x+4−2a>0恒成立，则x的取值范围为_________．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.解下列不等式：
(1)3x2+5x−2>0；
<3．
(2)x+1
x
18.若不等式ax2+bx−1>0的解集是{x|1<x<2}．
(1)试求a，b的值；
>0的解集．
(2)求不等式ax+1
bx−1
19.某年级教师年龄数据如下表：
年龄(岁)人数(人)
22
28
29
30
31
32
40
合计
(Ⅰ)求这20名教师年龄的众数与极差；
(Ⅱ)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；
(Ⅲ)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．
20. 关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料
参考公式：
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂
=∑x i n i=1y i −nx .y .∑x i 2n i=1−nx
2,a ̂
=y .
−b ̂
x .
．
21.某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160,180),[180,200)，
[200,220),[220,240)，[240,260)，[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如
图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求理科综合分数的众数和中位数；
(3)在理科综合分数为[220,240),[240,260)
，[260,280),[280,300]的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在[220,240)的学生中应抽取多少人？
22.(1)解不等式−3x2−2x+8≥0；
(2)解关于x的不等式(x−2)(ax−2)>0．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：集合A={x∈N|x>1}，
B={x|x2<9}={x|−3<x<3}，
∴A∩B={x∈N|1<x<3}={2}．
故选：A．
化简集合A，计算A∩B即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
2.答案：D
解析：简单随机抽样：；分层抽样，抽样比为1
8
，每个等级分别抽6个、8个、4个、2个，每个
个体被抽到的概率为P2=1
8；系统抽样：将总体分为20部分，P3=1
8
，∴.
3.答案：D
解析：
【分析】
观察两个变量的散点图，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有相关关系的图．
本题考查变量间的相关关系、散点图及从散点图上判断两个变量有没有线性相关关系，是基础题．【解答】
解：A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；
在两个变量的散点图中，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，对照图形：
BD样本点成直线形带状分布，B是负相关，D是正相关，C样本点不成直线形带状分布．
∴两个变量具有正相关关系的图是D．
故选D。

4.答案：A
解析：解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，
这个模型的拟合效果越好，
在所给的四个选项中0.97是相关指数最大的值，
∴拟合效果最好的模型是模型A．
故选：A
两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.97是相关指数最大的值，得到结果．
本题考查相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好
5.答案：D
解析：
【分析】
本题考查了不等式性质，利用特殊值法进行求解十分简便，属于基础题．
熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．利用不等式的基本性质即可得出．
【解答】
解：令a=−3，b=2，
得−1
3<1
2
，−2
3
<1，(−3)2>22，
则A，B，C选项均不正确，
由于a+b−ab=(a−1)(1−b)+1>0，
所以D选项正确，
故选D．
6.答案：B
解析：
【分析】
本题考查样本编号的求法，考查系统抽样等基础知识，
利用随机数表直接求解．
【解答】
解：设某总体是由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成的，
利用下面的随机数表依次选取4个个体：
0618076545441816580979838619
7606835003105923460505266238
选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的前4个个体的编号分别为：
18，07，16，09，
∴选出来的第4个个体的编号为09．
故选B．
7.答案：B
解析：解：①某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴参加某地救灾工作，它不是“逐个”抽取，故不是简单随机抽样；
因为任意地拿出一支铅笔进行质量检验后再把它放回箱子里，它是有放回抽样，故②不是简单随机抽样；
从50个个体中一次件抽取5个个体作为样本，它不是“逐个”抽取，故③不是简单随机抽样；
一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取，故④不是简单随机抽样；
⑤从2000个灯泡中逐个抽取20个进行质量检查，是简单随机抽样．
故选：B．
一般地，设一个总体含有N个个体，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，则这样的抽样方法叫做简单随机抽样，据此定义逐项判断即可．
本题主要考查简单随机抽样的概念，属于基础题，解答此题的关键是正确理解简单随机抽样的定义．8.答案：B
×(27+31+35+39)=33，
解析：解：根据茎叶图得，甲的平均数是x1=1
4
×(20+n+32+34+38)=33，解得n=8，
乙的平均数是x2=1
4
×[(27−33)2+(31−33)2+(35−33)2+(39−33)2]=20，
∴甲的方差s12=1
4
×[(28−33)2+(32−33)2+(34−33)2+(38−33)2]=13，
乙的方差s22=1
4
∵s12>s22，
∴乙组数据较稳定．
故选：B．
根据甲、乙的平均数相等求出n的值，再计算甲、乙的方差，比较大小即可．
本题利用茎叶图考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．
9.答案：B
解析：
本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件{x +y ⩾4
x −y ⩾−2x ⩽2的可行域，再求出可行域中各角点
的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z =y −2x 的最小值．在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 【解答】
解：满足约束条件{x +y ⩾4
x −y ⩾−2x ⩽2
的可行域如图，
由图象可知：目标函数Z =y −2x 过点A(1,3)时z 取得最大值，z max =1， 故选B ．
10.答案：B
解析：解：若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查， 则样本间隔为420÷21=20，
则在区间[241,360]内共有360−241+1=120人， 则抽取人数为120÷20=6人， 故选：B
根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．
本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出抽取样本间隔是解决本题的关键．
11.答案：D
【分析】
本题考查了基本不等式的性质，一元二次不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于基础题．
由已知得3xy =2x +y +2≥2√2xy +2，设t =√xy.∴3t 2−2√2t −2≥0，解出t 即可． 【解答】
解：由已知，得3xy =2x +y +2≥2√2xy +2，当且仅当2x =y 时取等号． 设t =√xy.∴3t 2−2√2t −2≥0， ∴t ≥√2，即√xy ≥√2，即xy ≥2．
∴2x +y =3xy −2≥4，当且仅当2x =y =2时取等号． ∴2x +y 的最小值为4． 故选D ．
12.答案：A
解析：解：满足约束条件：{x ≥0
x +3y ≥43x +y ≤4，平面区域
如图示：
由图可知，直线y =kx +4
3恒经过点A(0,4
3)，当直线y =kx +4
3再经过BC 的中点D(12,5
2)时，平面区域被直线y =kx +43分为面积相等的两部分， 当x =1
2，y =5
2时，代入直线y =kx +4
3的方程得： k =73，
故选A ．
先根据约束条件：{x ≥0
x +3y ≥43x +y ≤4，画出可行域，求出
可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．
本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．
13.答案：0.02
解析：解：数据9.8，9.9，10.1，10，10.2的平均数是 x =1
5(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10， ∴该组数据的方差为
s2=1
5
[(10−9.8)2+(10−9.9)2+(10−10.1)2+(10−10)2+(10−10.2)2]
=1
5
[0.04+0.01+0.01+0+0.04]
=0.02．
故答案为：0.02．
根据平均数与方差的公式进行计算即可．
本题考查了求数据的平均数与方差的应用问题，是基础题目．
14.答案：45
解析：
【分析】
本题考查分层抽样的应用，解题的关键是求出每层的比例，是容易题．
列式直接求解即可．
【解答】
解：设行政人员为2x人，后勤职工为3x人，
由题意得45×60
60+2x+3x
=20,
解得：x=15．
故后勤职工有15×3=45(人)．
故答案为45．
15.答案：(−∞,9]
解析：
【分析】
本题考查基本不等式的应用，属基础题．
“乘1法”是基本不等式求最值问题的常见转化方法，
x>0，y>0，x+4y=xy⇒1
y +4
x
=1，则x+y=(x+y)(1
y
+4
x
)，展开利用基本不等式即可得解．
【解答】
解：x>0，y>0，x+4y=xy⇒1y+4x=1，则x+y=(x+y)(1y+4x)=x y+4y x+5
⩾2√x
y ⋅4y
x
+5=9，
当且仅当x=2y，x=6，y=3时取等号，
则x+y的最小值是9，
因为不等式m≤x+y恒成立，所以m≤(x+y)min=9．
故答案为(−∞,9]．
16.答案：(−∞,1)∪(3,+∞)
解析：
【分析】
本题主要考查了不等式恒成立问题．
转化为关于a 的函数，结合一次函数的图象和性质求解．
【解答】
解：由题意原不等式化为(x −2)a +x 2−4x +4>0对一切实数a ∈[−1,1]恒成立，
设g (a )=(x −2)a +x 2−4x +4，
{g (−1)>0g (1)>0
，解得x <1或x >3， 即x 的取值范围为(−∞,1)∪(3,+∞) ．
故答案为(−∞,1)∪(3,+∞)．
17.答案：解：(1)3x 2+5x −2>0，即(3x −1)(x +2)>0，
所以x >13或x <−2，
即不等式的解集为(−∞,−2)∪(13,+∞)．
(2)原不等可变形为
2x−1x >0，∴x(2x −1)>0， 可得x <0或x >12，
所以原不等式的解集为{x|x <0或x >12}．
解析：本题主要考查了一元二次不等式与分式不等式的解法，是基础题．
(1)把3x 2+5x −2>0变形为(3x −1)(x +2)>0，即可得出不等式的解集；
(2)移项、通分，原不等式变形为2x−1x >0，再转化为x(2x −1)>0，即可得出不等式的解集．
18.答案：解：(1)∵不等式ax 2+bx −1>0的解集是{x|1<x <2}
∴a <0且方程ax 2+bx −1=0的解是1和2，
∴1+2=−b a ，1×2=−1a ，
∴a =−12，b =32; (2)ax+1bx−1>0化为
−12x+132x−1>0， 即x−2
3x−2<0，即(x −2)(3x −2)<0， 解得23<x <2，
∴不等式ax+1bx−1>0的解集为{x|2
3<x <2}．
解析：本题考查一元二次方程的根和一元二次不等式的解集之间的关系，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
(1)因为不等式ax 2+bx −1>0的解集是{x|1<x <2}，所以a <0且方程ax 2+bx −1=0的解是1和2，利用韦达定理求解即可；
(2)ax+1bx−1>0化为−1
2x+132x−1>0，即(x −2)(3x −2)<0，解出即可．
19.答案：解：(Ⅰ)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30， 极差为最大值与最小值的差，即40−22=18．
(Ⅱ)茎叶图如下：
(Ⅲ)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，
从其中任选2名教师共有C 72=21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，
4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，
所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21−9=12种，
所以P(A)=1221=47．
解析：本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题．
(Ⅰ)根据众数和极差的定义，即可得出；
(Ⅱ)根据画茎叶图的步骤，画图即可；
(Ⅲ)利用古典概型的概率计算，代入数据，计算即可．
20.答案：解：∵x .=2.5，y .=1.5，
∴b ∧=
0.5+2+4.5+12−4×2.5×1.51+4+9+16−5×2.52=−1.2， a ∧=1.5−4×(−1.2)=6.3，
∴线性回归方程为y ∧
=−1.2x +6.3．
解析：根据所给的数据，求出变量x ，y 的平均数，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数b ∧
，由样本中心点在线性回归方程上，求出a ∧的值，即可得出结论．
本题主要考查了回归分析的初步应用，解题时应根据公式求出x ，y 的平均数，再求回归系数，是基础题． 21.答案：解：(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x +0.005+0.0025)×20=1， 得x =0.0075，
∴直方图中x 的值为0.0075．
(2)理科综合分数的众数是220+2402=230，
∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5，
∴理科综合分数的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，
则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a −220)=0.5，
解得a =224，即中位数为224．
(3) 理科综合分数在[220,240)的学生有0.0125×20×100=25(位)，
同理可求理科综合分数为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15位、10位、5位， 故抽取比为1125+15+10+5=15，
∴从理科综合分数在[220,240)的学生中应抽取25×15=5人．
解析：本题考查了频率分布直方图，考查众数、中位数问题，考查分层抽样，是一道中档题．
(1)根据直方图求出x的值即可；
(2)根据直方图求出众数，设中位数为a，得到关于a的方程，解出即可；
(3)分别求出[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户数，根据分层抽样求出满足条件的概率即可．
22.答案：解：(1)原不等式可化为3x2+2x−8≤0，即(3x−4)(x+2)≤0.解得−2≤x≤4
，
3
}.
∴原不等式的解集为{x|−2≤x≤4
3
(2)当a=0时，x<2；
<x<2；
当a<0时，2
a
或x<2；
当0<a<1时，x>2
a
当a=1时，x≠2；
．
当a>1时，x>2或x<2
a
<x<2}；当综上，当a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}；当a<0时，原不等式的解集为{x|2
a
0<a<1时，原不等式的解集为{x|x>2
或x<2}；当a=1时，原不等式的解集为{x|x∈R,x≠2}；
a
或x>2}
当a>1时，原不等式的解集为{x|x<2
a
解析：本题考查一元二次不等式的解法．
(1)把原不等式可化为3x2+2x−8≤0，解x即可．
(2)对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法求解．。