甘肃省2013届高三数学第一次诊断考试试题 文(含解析)新人教A版

某某省2013年第一次高考诊断测试
数学（文）试题
注意事项：
1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的某某、某某号填写在本试卷和答题卡相应位置上．
2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合M={x|－3 <x≤5}，N={x|x<-5或x>5}，则M N=
A．{x|x<-5或x> -3} B．{x| -5 <x <5}
C．{x|-3 <x <5} D．{x|x< -3或x>5}
【答案】A
【解析】因为集合M={x|－3 <x≤5}，N={x|x<-5或x>5}，所以M N={x|x<-5或x> -3}。

2．i是虚数单位，复数10
2
i
i
= -
A．-2 +4i B．-2 -4i C．2+4i D．2 – 4i 【答案】A
【解析】
()
()()
102
101020
24 2225
i i
i i
i
i i i
+-+
===-+
--+。

3．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时,f（x）=2x2－x，则f（l）= A．3
B．-1
C．1
D．-3
【答案】D
【解析】因为当x≤0时，f（x）=2x2－x，所以()13
f-=，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以()13
f=-。

4．椭圆
22
1
168
x y
+=的离心率为
A．1
3
B．
1
2
C ．
3
3
D ．
22
【答案】D
【解析】因为2
2
2
2
2
216,8,8,2
c a b c a b e a ===-==
=所以所以。

5．如果执行右图的程序框图，输入n=6，m=4．那么输出的p 等于
A ．720
B ．360
C ．240
D ．120
【答案】B
【解析】13456360.p =⨯⨯⨯⨯=因此选B 。

6．4X 卡片上分别写有数字1,2，3，4，从这4X 卡片中随机抽取2X ，则取出的2X 卡片上的
数字之和为奇数的概率为 A ．
1
3 B ．
12
C ．2
3
D ．34
【答案】C
【解析】从这4X 卡片中随机抽取2X ，有()()()()()()1,21,31,42,32,43,4、、、、、，共6种取
法，其中取出的2X 卡片上的数字之和为奇数的有()()()()1,21,42,33,4、、、，共4种，
所以其概率为
42
=63。

7．设sin 1
()43πθ+=，则sin2θ=
A ．79-
B ．1
9
-
D ．
1
9
D ．
79
【答案】A
【解析】因为sin （
4π
θ+）=1
3
，即2212,sin cos =2233θθθθ+=+所以，两边平方，得：2+sin cos =
9θθ12，所以7sin 2=-9
θ2。

8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A ．23π
B ．83
π-
C ．8－23
π
D ．82π-
【答案】C
【解析】由三视图知：原几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥，正
方体的棱长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，所以该几何体的
体积为：3
2
12=2-12=8-3
3
V ππ⨯⨯⨯。

9．已知双曲线9y 2
一m 2x 2
=1（m>o ）的一个顶点到它的一条渐近 线的距离为
1
5
，则m= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】D
【解析】由9y 2
一m 2x 2
=1（m>o ）得：22
2
1,0119y x m m -=>因为，所以双曲线的一个顶点为10,3⎛⎫
⎪
⎝⎭
，一条渐近线方程为3m y x =，因为双曲线9y 2一m 2x 2=1（m>o ）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为
152
1013
,519
m -
=+解得m=4，因此选D 。

10．点P 是曲线y=x 2
一1nx 上任意一点，则点P 到直线y=x －2的距离的最小值是 A ．1 B 2C ．2
D ．2
【答案】B
【解析】当过P 的切线与直线y=x －2平行时，点P 到直线y=x －2的距离的最小值。

因为
y=x 2
一1nx ，所以'
12y x x =-
，由'
1121,12
y x x x x =-===-得或(舍)，所以P 点坐
标为（1,1），所以点P 到直线y=x －2=，因此选B 。

11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m ，n ），b=（p ，q ），令a⊙b= mq －np ，下面说法错误的是
A ．若a 与b 共线，则a⊙b =0
B ．a⊙b =b⊙a
C ．对任意的λ∈R ，有（λa ）⊙b =λ（a⊙b）
D ．（a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|2
【答案】B
【解析】由定义知：a⊙b= mq－np ：所以选项A 正确；又b⊙a =pn-mq ≠a⊙b= mq－np ，所
以选项B 错误；（λa ）⊙b =mq np λλ-，λ(a⊙b )=λ( mq －np)=mq np λλ-所以对任意的λ∈R ，有（λa ）⊙b =λ（a⊙b），选项C 正确；
（a⊙b ）2
+（a·b ）2
=( mq －np)2
+( mp+nq)2
=22222222
m q n p m p n q
+++，
|a|2
|b|2
=()()22
2
222222222m n p
q m q n p m p n q ++=+++，所以（a⊙b）2+（a·b）
2
= |a|2
|b|2
，因此D 正确。

12．已知函数f （x ）=sin （2x+ϕ），其中ϕ为实数，若f （x ）≤()6
f π
对x∈R 恒成立，
且()()2
f f π
π>，则f （x ）的单调递增区间是
A ．,()3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B ．,()2k k k Z πππ⎡
⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
C ．2,()6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．,()2k k k Z π
ππ⎡
⎤
-
∈⎢⎥⎣
⎦
【答案】C
【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin(
)16
3
f ππ
ϕ=+=，所以
,32k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，,6k k Z πϕπ=+
∈.由()()2
f f π
π>，
（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以72,6
k k Z π
ϕπ=+∈，代入
()sin(2)f x x ϕ=+，得7()sin(2)6
f x x π
=+，由7222262k x k πππππ-
++，得563
k x k ππππ--，故选C.
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知变量x ，y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
，则目标函数：z= 3x -y 的最大值是。

【答案】6
【解析】画出约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
的可行域，由可行域知：目标函数过点（2,0）时取最
大值，最大值为max 3206z =⨯-=。

14．已知F 是抛物线y 2
=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB 的
中点到y 轴的距离为。

【答案】
54
【解析】由抛物线的定义知：115
3,=442
A B A B AF BF x x x x +=+
++=+所以，所以线段AB 的中点到y 轴的距离为
5
=24
A B x x +。

15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosA=35，cosB=5
13
，b=3则c=。

【答案】
14
5
【解析】因为cosA=
35，cosB=513，所以412sin ,sin 513
A B ==，由正弦定理得：313
,,412sin sin 5513
a b a a A B ===
即所以，由余弦定理得：2222169182cos ,9255a b c bc A c c =+-=+-即，解得14
5
c =.
16．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为lcm ，那么该棱柱的表面积为cm 2。

【答案】2+
【解析】设正四棱柱的高为h ，因为球的直径为2cm ，所以正四棱柱的体对角线为2cm ，又
正四棱柱的底面边长为lcm ，所以根据勾股定理得：2
2
2
2
211h =++，
所以h =，
所以该棱柱的表面积为112142s =⨯⨯+=+ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2=5，a 5 =11． （ I ）求数列{a n }的通项公式a n ；
（Ⅱ）令*2
1
()1
n n b n N a =
∈-，求数列{b n }的前n 项和T n 。

18．（本小题满分12分）
已知ABCD 是矩形，AD =2AB ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点，PA⊥平面ABCD ． （ I ）求证：DF⊥平面PAF ；
（Ⅱ）在棱PA 上找一点G ，使EG∥平面PFD ，并说明理由．
19．（本小题满分12分）
某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎
叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（I ）甲班10名同学成绩标准差____乙班10名同学成绩标准差（填“>”或“=”或
“<”）；
（Ⅱ）从甲班4名及格同学中抽取两人，从乙班2名80分以下的同学中取一人，求三
人平均分不及格的概率．
20．（本小题满分12分）
已知点F 1、F 2分别为椭圆C ：22
22x y a b
+=1（a>b>0）的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一
点，且|F 1F 2 | =2，∠F 1PF 2=3
π
，△F 1 PF 2的面积为33．
（I ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）点M 的坐标为（
5
4
，0），过点F 2且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，对于任意的k ∈R ，MA ·MB 是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由． 21．（本题满分12分）
已知函数f （x ）=ax －1－lnx （a ∈R ）．
（I ）讨论函数f （x ）在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ）若函数f （x ）在x=l 处取得极值，对(0),()2x f x bx ∀∈∞≥-恒成立，某某数
b 的取值X 围；
（Ⅲ）当x>y>e －l 时，求证：e
x －y
>
1(1)
1(1)
n x n y ++．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1；几何证明选讲
如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使CD =AC ，连接AD
交⊙O 于点E ，连接BE 与AC 交于点F 。

（I ）判断BE 是否平分∠ABC，并说明理由； （Ⅱ）若AE =6，BE =8，求EF 的长。

23．（本小题满分10分）选修4－5；不等式选讲已知函数f （x ）=log 2（|x +1|+|x －2|－m ）． （I ）当m=7时，求函数f （x ）的定义域；
（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≥2的解集是R ，求m 的取值X 围． 24．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程 已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与菇轴的正半轴重合，且长度单
位相同。

圆C 的参数方程为12cos (12sin x y ααα
=+⎧⎨
=-+⎩为参数）
，点Q 的极坐标为（2，74π
）． （I ）化圆C 的参数方程为极坐标方程；
（Ⅱ）若点P 是圆C 上的任意一点，求P ，Q 两点间距离的最小值。