2016高三五月适应考卷B

华中师大一附中
2016 届高三五月适应性考试一试题
文科数学（ B 卷）
注意事项 :
1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题 )两部分。

答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在本试卷和答题卡的相应地点上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需变动，用
橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共 60分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1．已知全集U1,2,3,4,5 ，会合 A1,2,3，会合 B3,4 ，则 C U A B
A ．4B．2,3,4,5C．3,4,5 D ．2,3,4 2．计算sin 47 cos17cos47 cos107 的结果等于
A．12
C．
31 2
B．
2
D．
22
3．已知复数z
10
2i （此中i是虚数单位），则z= 3 i
A． 23B．2 2C． 32D． 33
4．已知五个数2, a, m,b,8组成一个等比数列，则圆锥曲线x2y 2
1的离心率为m2
A．2B．3C．2
或 3D． 2 或 6
2222
5．若f x e x ae x为偶函数，则 f x1e21的解集为
e
A．2,B．0,2C．,2D．,02,
6．ABC的外接圆圆心为O ，半径为 2 ，OA AB AC 为零向量，且 OA AB .则 CA在 BC
方向上的投影为
A．3B．3C．3D．3
7. 已知函数f ( x)sin x 3 cos x(0), f ( ) f ( ) 0, f ( x) 在区间 (,) 上单一，
6262
则
A． 2B． 3C． 1D． 5
8．已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的各侧面中，面积最小值
为
325
C．21
A．B．
2D．
222 9．阅读以下图的程序框图，则输出结果S 的值为
11
C.3
D.
1
A． B.
1616
82
10．直线y a 分别与曲线y x2ln x ，y x2交于点P、Q，则 PQ 的最小值为
．2． 2．
D ．
6
A B C 1
11．如图，AB是平面外固定的斜线段， B 为斜足，若点 C在平A 面内运动，且CAB 等于直线 AB 与平面所成的角，则动点 C
的轨迹为B A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
12．定义在R上的函数f ( x)是减函数，且函数y f ( x) 的图像对于原点中心对称，若足不等式 f (s22s) f (2t t 2 ) ，此中t k s ．则当 2 s 4 时， k 的取值范围是
1
B．(,0)[1, )C1
,0 1,
A,1．(,1] D.
．
2
2
第Ⅱ 卷（非选择题共 90分）
C s、t 满
本卷包含必考题和选考题两部分。

第13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都一定作答。

第 22 题～第 24 题为选考题，考生依据要求作答。

二 . 填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分。

13．若幂函数f ( x)(m23m 3) x m2m 2的图像可是原点，则m 的值为_________
14．从 {1,2,3,4,5} 中随机选用一个数为
a ，从 {1,2,3} 中随机选用一个数为
b ，则 b a 的概率
是 __________
15．在
ABC 中， tan A
1
,cos B
3 10 ，若最长边为 1，则最短边的长为 _______
2
10
16. 定义在 R 上的函数 f ( x) 对随意两个不等的实数
x , x 都
1 1
2 2 ) 1 22
1
，
12
x f ( x ) x f (x x f ( x ) x f (x )
则称函数 f (x) 为“ Z 函数” , 以下函数中为“ Z 函数”的序号为 ______
① y
x
3
1 ② y
3x
2sin x 2cos x ， ③ y
ln x , x 0 ④ y
x 2
4x, x 0
0, x
x 2
x, x
三 . 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分 12 分）设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 5 a 6 24, S 11 143,数列 b n
的
前 n 项和为 T n ，知足 2a n 1
T n a 1 (n N ) ．
(I) 求数列
a n 的通项公式及数列
1
的前 n 项和；
a n
a
n 1
(II) 判断数列 b n 能否为等比数列？并说明原因 .
18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直 角梯形， AD ∥ BC ， PD 底面 ABCD ， ADC 900 , AD 2BC ， Q 为 AD 的中点， M 为棱 PC 的中点．
(I) 证明： PA ∥平面 BMQ ；
(II) 已知 PD DC AD
2 ，求点 P 到平面 BMQ 的距离．
19.（本小题满分 12 分）某校高中三个年级共有学生
1800 名，各年级男生、女生的人数以下表：
高一年级 高二年级 高三年级 男生 290 b 344
女生
260
c
a
已知在高中学生中随机抽取一名同学时，抽到高三年级女生的概率为
0． 17．
（ I ）求 a 的值；
（ II ）现用分层抽样的方法在全校抽取60 名学生，则在高二年级应抽取多少名学生？
（ III ）已知 b
260, c 200 ，求高二年级男生比女生多的概率 .
2
y
2
20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x
2 2
1 a b 0 的离心率为
1
，过右焦点 F 且垂直
b
a
2
于 x 轴的直线与椭圆
C 订交于 M,N 两点，且 MN 3 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 l 经过点 F 且斜率为 k ， l 与椭圆 C 订交于 A, B 两点，与以椭圆
圆心的圆订交于 P, Q 两点（ A, P, B,Q 自下至上摆列） ， O 为坐标原
C 的右极点 E y
为
点．若 OA OB 9
，且 AP BQ ，求直线l和圆 E 的方程．5
21.（本小题满分12分）设函数 f ( x) ln x m
, m R x
（ I ）当m e（e为自然对数的底数）时，求 f ( x) 的最小值；
（ II ）议论函数g(x)
x
的零点的个数；
f ( x)
3
（ III ）若对随意b a0,f (b) f (a)
m 的取值范围.
b
1恒成立，务实数
a
请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一
题记分．
22.【选修 4-1：几何证明选讲】（本小题满分 10 分）
以下图，已知⊙ O1和⊙ O2订交于A、B两点，过A点作⊙ O1的切线交⊙ O2
于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙ O1、⊙ O2于点D、E，DE
与 AC订交于点 P.
（I）求证：AD∥EC；
（ II ）若AD是⊙ O2的切线，且PA 6，PC2， BD9 ，求 AD 的长．23. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】（本小题满分10 分）
在直线坐标系
x sin cos ,
xOy 中，曲线M的参数方程为
,
( 为参数 ) 若以该直角坐标系的原
y sin 2
点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为sin()2
t（其
42中 t 为常数）．
（ I）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t 的取值范围；
（ II ）当t 2 时，求曲线 M 上的点与曲线 N 上的点的最小距离．
24.【选修 4-5:不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知函数 f ( x) | x 2| |6x | m 的定义域为R．
（ I）务实数 m 的取值范围；
（ II ）若实数 m 的最大值为 n ，正数 a, b 知足82n ，求2a 3
b 的最小值．
3a b a 2b2
华中师大一附中
2016 届高三五月适应性考试一试题
文科数学（ B 卷）答案
一、 ： CDCABB,ADDADC
二 . 填空 ：
13． 1
或 2
14.
1
15．
5
16. ②④
5
三 . 解答 ：
5
17、解
(1) 数列
a n 的公差 d ，由 S 11
11a 6
143, a 6 13.
又 a 5 a 6
24,
a 5
11
， d
2 ，
解得
所以 a n 的通 公式是 a n
2n 1 (n N ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
所以
1
(2n
1
3)
1 (
1
1
1
) ，
a n
a
n 1
1)(2 n 2 2n 2n 3
进而前 n 的和
1
1
1
3 5 5
7
(2n 1)(2n
3)
1 (1
1 1 1
1 1 1 )
2
3 5 5
7
2n 2n 3
1 ( 1
1 )
n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
2 3 2n 3
6n 9
(2) 因 a 1 3 ，
2a n
1
4n ， T n 4n 3 .当 n
1 ， b 1
7 ；
当 n
2 ， b n
T n
T
n 1
4n 4n 1
3 4n 1 ；
所以 b n 1 4b n （ n
2 ．若 b n 是等比数列， 有
b 2 4b 1 ，而 b 1 7, b 2 12 ，所以与
b 2 4b 1 矛盾，
故数列
b n 不是等比数列．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
18、 (1) 明
接 AC 交 BQ 于 N ， 接 MN ，因
ADC 900 ，
Q
AD 的中点，所以 N
AC 的中点，
又 M
PC 的中点，故 MN ∥ PA ，又 MN
平面 BMQ ，所以
PA ∥平面 BMQ .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
(2) 解 由 (1)可知， PA ∥平面 BMQ ，所以点 P 到平面 BMQ 的距离等于点
A 到平面 BMQ 的距
离，
所以 V P BMQ
V
A BMQ
V M ABQ ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9 分
取CD 的中点 K ， 接 MK ，所以 MK ∥PD ，MK 1
PD 1.
又 PD 底面 ABCD ，所以 MK
底面 ABCD .
2
又 BC
1
AD 1， PD DC
2，所以 AQ 1,BQ
2 ，
2
MQ
3, NQ 1，
所以 V
P BMQ
V
A BMQ
V
M ABQ
1
，
3
S BMQ
2 ，
3V
P BMQ
2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分
点 P 到平面 BMQ 的距离 d
S
BMQ
.
2
19、解：（ 1）依据 意得高三年 女生抽到的概率 a
a 0.17
1800 ，所以
所以 a 1800 0.17
306 （人）
1800
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分
（ 2）由表格知高二年 的 人数 1800 (260 290) (344 306) 600 人，
所以高二年 抽取的人数
60
600 20 （人）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
1800
（ 3） 事件 A=“高二年 男生比女生多”，求概率
P( A)
用 b 表示高二年 男生的人数，用
c 表示高二年 女生的人数，且
b c 600 足
b 260,
c 200 的 (b, c) 配 的状况 (260,340), (261,339) (400,200) ，共有
141 种状况，
而事件 A 生的 (b, c) 配 的状况 (301,299), (302,298) ，
, (400,200) 共有 100 种状况，所
以高二年 男生比女生多的概率
P( A)
100 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
141
20． 解：（Ⅰ） F (c,0)
， 由 意得 c 2
a
2
b
2
， c 1 ， 2 b 2 3 ，
a 2 ,b
3 c ,
1
a 2 a
解 得 ∴
C 的 方 程
，
x 2
y 2
1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4 分
（Ⅱ）由 意，直
l 的斜率 k 存在． l 的方程 y k x
1 ，
立 方程得
3 4k 2 x 2 8k 2 x 4k 2 12 0 ．
A x , y ,
B x , y
， x
x
2 8k 2 ， x x
2 4k 2
12 ，
1 1
2
2
1
3 4k 2 1 3 4k 2
9k 2
∴ y y
2
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6 分
1 3 4k 2
12 5k 2 ．
∴ OA OB x 1x 2
y 1 y 2
3 4k 2
∵
OA OB
9
12 5k 2
9
，解得
k 2 3
8 分
5 ，∴
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3 4k 2 5 由 意可得，
AP
BQ 等价于 AB PQ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9 分
E 的半径 r
，
∵ AB
1 k
2 x 1
x 2
12 12k 2 ， PQ 2 r 2
k 2 ．
3 4k 2
k 2 1
将 k 2
3 代入 AB
PQ 解得 r 2
331
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11 分
100
故所求直 l 的方程 y 3 x
1 ，即 3x y
3 0 与 3x y3 0 ；
E 的方程
x
2
2
331
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
y 2
100
21 、 解 ： (1) 当 m
e ，
f (x)
ln x
e
， 易 知 函 数 f (x) 的 定 域 (0,
)，所以
x
1 e
x
e
f (x)
(0, e) ， f ( x) 0 ，此 f ( x) 在 (0, e) 上是减函数；当
x x 2 x 2 ，当 x
x e
x
( e, ) ， f ( x)
0 ，此 f ( x) 在 (e, ) 上是增函数，所以当
f ( x) 获得极 ， 小 f (e)
ln e e 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
e x 1 m
x ( x
1
x 3
(2)因 函数 g ( x) f ( x) 0), 令 g ( x) 0 ，得 m x(x
0),
3 x x 2 3
3
h( x)
1 x 3 x(x 0), 所以 h ( x)
x 2 1
(x 1)( x 1), 当 x (0,1) ， h ( x)
0 ，此
3
h( x) 在 (0,1) 上 增函数；当
x (1,
) ， h (x) 0 ，此 h( x) 在 (1,
) 上 减函数，所以
当 x
1 ， h( x) 取极大 h(1)
1 1
2 ，令 h( x) 0 ，即 1 x
3 x 0 ，解得 x 0 或
3 3 3
x 3 ，所以由函数 h( x) 的 像知： 当 m 2
m 和函数 y h( x) 无交点； 当
，函数 y
2 ，函数 y m 和函数 y
h( x) 有且 有一个交点；
当 0 m
2 m ，函数 y m 和函
3
3
数 y
h( x) 有两个交点；④当 m
0 ，函数 y
m 和函数 y h( x) 有且 有一个交点。

上所
述，当 m
2 2 或 m 0 ，函数 g( x) 有且 有一个零点，当
，函数 g (x) 无零点；当 m
3
3
2
0 m
，函数 g ( x) 有两个零点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
3
（ 3） 随意 b
a
0, f (b)
f (a)
1 恒成立，等价于
f (b) b
f (a)
a 恒成立，
b a
( x)
f (x)
x
ln x
m
x(x 0), ( x) 在 (0,
) 上 减，所以
x
( x)
1 m
1
0在 (0,
) 上恒成立， 所以 m
x
2 x
(x
1 )
2 1 ) 上恒成
x
x 2
2 在 (0,
4
立，因 x
0, x 2
x 1 ，所以 m
1 ，当且 当 x
1 ， m
1 ，所以 数 m 的取 范
4 4
2
4
是 1
,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
4
22. （ I ） 明： 接 AB ， AC 是⊙ O 1 的切 ，
BAC
D ，又
BAC E ，
DE ，
AD ∥ EC ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5
分
（ II ）解： BP x ， PE
y ， PA 6，PC 2，
xy 12 ①
AD ∥ EC ，
DP
AP ，
9 x 6
y ②
PE
PC
2
由①②可得
x 3 或 x
12
（舍去） . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8 分
y 4 y
1
DE 9 x
y 16 ,
AD 是⊙ O 2 的切 ，
AD 2
DB DE 9 16 144 ，
AD
12 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
23. 解： 于曲
M ，消去参数，得一般方程
y 2
1,| x |
2 ，曲 M 是抛物 的一部分；
x 于曲 N ，化成直角坐 方程 x
y t ，曲 N 是一条直 ．
（ 1）若曲 M , N 只有一个公共点， 直
N 点(
2,1) 足要求，而且向左下方平行
移 直到 点 (
2,1) 以前 是保持只有一个公共点，再接着从 点
( 2,1) 开始向左下方平行
移 直到相切以前 是有两个公共点，此 不合 意，所以
2 1 t 2 1 足要求．
相切仍旧只有一个公共点，由t x x2 1 ，得 x2x 1 t 0, 1 4(1 t ) 0，求得t
5 ．
4
上，可得 t 的取范是21t2 1 或 t 5
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分4
（ 2）当t2，直 N : x y 2 ，M上的点
2
1),| x0 | 2 ，( x0 , x0
2x
01|( x01)23
32
曲 M 上的点到直N 的距离 d | x024
228，
当 x01
取等号，足 | x0 | 2 ，所以所求的最小距离3
2
．⋯⋯⋯⋯ 10 分28
24. 解：（ 1）由意知 x26x m0 在R上恒成立，即 m x26x 恒成立．
x26x(x2)(6x)8 （当且当 ( x2)(6x)0即2x6等号成立）m,8........................5分
（ 2）由（ 1）知n 8，即
82
8 ，3a b a2b
2a3b 1
3a b a 2b13a b a 2b (8
a
2)
22163a b2b
1
(3a b 8
a2b
2
)2=
1
32
9当且当
（）
163a b a8
2b16
a3b a 9
20 等号成立
82
8即
3a b a2b b 3 20
2a 3
b 的最小是9 ．..............................10分28。