2017-2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第三章 3.1 3.1.2 复数的几何意义 Word版含解析

[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．对于复平面，下列命题中真命题是( )
A ．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的
B ．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的
C ．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的
D ．实轴上一侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的
解析：A 中纯虚数所对应的点不在象限内；B 中的点应在第三象限；C 中若复数z 为负实数，则在x 轴负半轴上，故选D.
答案：D
2．当23
＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：∵23＜m ＜1，∴2＜3m ＜3，－13
＜m －1＜0， ∴0＜3m －2＜1，
∴z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限．
答案：D
3．下列命题中为假命题的是( )
A ．复数的模是非负实数
B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D ．复数z 1＞z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|
解析：A 中任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，∴A 正确；B 中
由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0
b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R)，若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，
∴|z 1|＝|z 2|，反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错．
答案：D
4．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( )
A ．(1，3)
B ．(1，5)
C ．(1,3)
D ．(1,5)
解析：∵|z |＝a 2＋1，a ∈(0,2)，∴|z |∈(1，5)．故选B.
答案：B
5．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )
A ．2cos α2
B ．－2cos α2
C ．2sin α2
D ．－2sin α2 解析：|z |＝ (1＋cos α)2＋sin 2α ＝2＋2cos α＝ 4cos 2α2， ∵π＜α＜2π，∴π2＜α2
＜π， ∴cos α2
＜0， ∴|z |＝－2cos α2
. 答案：B
6．复数(a －3)＋(b －2)i (a ，b ∈R)，在复平面内对应的点为坐标原点，则a ＋b ＝________. 解析：由题意知a －3＝0，b －2＝0，∴a ＋b ＝5.
答案：5
7．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．
解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－6x ＋5＜0x －2＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
1＜x ＜5x ＜2⇒1＜x ＜2. 答案：(1,2)
8．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．
解析：由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8.
答案：(x －2)2＋y 2＝8
9．在复平面上，复数i,1,4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C .求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数．
解析：由已知得向量OA →＝(0,1)，
OB →＝(1,0)，OC →＝(4,2)，
∴BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)，
∴BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)，
∴OD →＝OB →＋BD →
＝(3,3)，
即点D 对应的复数为3＋3i.
10．已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R ，当复数z 在复平面内对应的点满足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．
(1)在实轴上；
(2)在第三象限；
(3)在抛物线y 2＝4x 上．
解析：复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i 在复平面内对应的点是(a 2－1,2a －1)．
(1)若z 对应的点在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12
； (2)若z 对应的点在第三象限，则有
⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－1＜0，2a －1＜0.解得－1＜a ＜12； (3)若z 对应的点在抛物线y 2＝4x 上，则有
(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，
解得a ＝54
. [B 组 能力提升]
1．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应的点的轨迹是( )
A ．一个圆
B ．线段
C ．2个点
D ．2个圆
解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由|z |2－2|z |－3＝(|z |－3)(|z |＋1)＝0，得|z |＝3，即x 2＋y 2＝3，所以x 2＋y 2＝9，
故复数z 对应的点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．
答案：A
2．已知复数z ＝3＋4i 所对应的向量为O Z →，把O Z →依逆时针旋转θ得到一个新向量为O Z →1.若O Z →
1对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是( )
A ．3i
B ．4i
C ．5i
D ．－5i 解析：O Z →1＝|O Z →|＝32＋42＝5，由于新向量O Z →1对应的点Z 1在虚轴上，则新向量O Z →1＝(0,5)，即新向量O Z →
1对应的复数是5i.
答案：C
3．已知实数m 满足不等式|log 2m ＋4i|≤5，则m 的取值范围为________．
解析：由题意知(log 2m )2＋16≤25，即(log 2m )2≤9，－3≤log 2m ≤3，
所以2－3≤m ≤23，即18
≤m ≤8.
答案：18
≤m ≤8 4．设z 1＝1＋i ，z 2＝－1＋i ，复数z 1和z 2在复平面内对应点分别为A ，B ，O 为原点，则△AOB 的面积为________．
解析：在复平面内，z 1，z 2对应的点
A (1,1)，
B (－1,1)，
如图，连接AB 交y 轴于C.
∵|z 1|＝|z 2|＝2，
∴△AOB 是等腰三角形．
∵|AB |＝[1－(－1)]2＋(1－1)2＝2，
|OC |＝1，
∴S △AOB ＝12|AB |·|OC |＝12
×2×1＝1. 答案：1
5．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12
(3－m )(m ∈R)． (1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围；
(2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．
解析：(1)由已知，得
⎩⎪⎨⎪⎧
log 2
(1＋m )＜0， ①log 12
(3－m )＜0， ② 解①得，－1＜m ＜0.
解②得，m ＜2.
故不等式组的解集为－1＜m ＜0，
∴m 的取值范围是－1＜m ＜0.
(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12
(3－m ))在直线x －y －1＝0上， 即log 2(1＋m )－log 12
(3－m )－1＝0， ∴log 2(1＋m )(3－m )＝1，
∴(1＋m )(3－m )＝2，
∴m 2－2m －1＝0，
∴m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m ＞0，且
3－m ＞0，
∴m ＝1±2.
6．设全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C}，B ＝{z ||z |<1，z ∈C}，若z ∈A ∩(∁U B )， 求复数z 在复平面内对应的点的轨迹．
解析：因为z ∈C ，所以|z |∈R ，所以1－|z |∈R ，
由||z |－1|＝1－|z |得1－|z |≥0，
即|z |≤1，
所以A ＝{z ||z |≤1，z ∈C}．
又因为B ＝{z ||z |<1，z ∈C}，
所以∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C}．
因为z ∈A ∩(∁U B )等价于z ∈A ，且z ∈∁U B ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
|z |≤1，|z |≥1⇒|z |＝1，由复数模的几何意义知，复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆.。