人教版数学九年级上册21 实际问题与一元二次方程(1课时)教案与反思

21.3 实际问题与一元二次方程(1课时)
祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。

《老子·五十八章》
涵亚学校陈冠宇
一、基本目标
【知识与技能】
1．会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解．
2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．
【过程与方法】
经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用．
【情感态度与价值观】
体会数学来源于实践，反过来又作用于实践，增强数学的应用意识．
二、重难点目标
【教学重点】
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．
【教学难点】
利用一元二次方程解决实际问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P19～P21的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有1＋x人患了流感，
第二轮后共有1＋x＋x(x＋1)人患了流感．
可列方程 1＋x＋x(x＋1)＝121.
解方程，得x1＝－12(不合题意，舍去),_x2＝10.
所以平均一个人传染了10个人．
2．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01) 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．
①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5000(1－x)2元．
依题意，得5000(1－x)2＝3000.
解得x1≈0.23，x2≈1.77.
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为23%.
②设乙种药品成本的年平均下降率为y.
依题意，得6000(1－y)2＝3600
解得y1≈0.23，y2≈1.77(不合题意，舍去)．
所以两种药品成本的年平均下降率相同．
提示：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】小组讨论(师生互学)
【例1】某林场计划修一条长750 m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2，上口宽比渠深多2 m，渠底比渠深多0.4 m.
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
(2)如果计划每天挖土48 m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
【互动探索】引发学生思考)(1)怎样用渠深表示上口宽和渠底，怎样计算梯
形面积？(2)渠道的体积怎样计算？
【解答】(1)设渠深为x m ，则渠底为(x ＋0.4)m ，上口宽为(x ＋2)m. 依题意，得12
(x ＋2＋x ＋0.4)x ＝1.6， 整理，得5x 2＋6x －8＝0，
解得x 1＝45
＝0.8，x 2＝－2(舍去), ∴上口宽为2.8 m ，渠底为1.2 m.
(2)果计划每天挖土48 m3，需要1.6×75048
＝25(天)才能挖完渠道． 【互动总结】(学生结，老师点评)解答本题的关键是掌握梯形面积的计算方法，正确用未知数表示出相关数量．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C )
A ．2和4
B ．6和8
C ．4和6
D ．8和10
2．某种植物的主干长出若数目的支干，每个支干长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x 个小分支， 则1＋x ＋x ·x ＝91.解得x 1＝9或x 2＝－10(舍去)．故每个支干长出9个小分支．
3．如图，要设计一幅长30 cm 、宽20 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的错误!未定义书签。

，应如何设计彩条的宽度？(精确到0.1 cm)
解：横彩条宽为1.8 cm ，竖彩条宽为1.2 cm.
【教师点拨】设横彩条的宽度为3x cm ，则竖彩条的宽度为2x cm.根据题意，
得(30－4x )(20－6x )＝⎝
⎛⎭⎪⎫1－14×20×30.解得x 1≈0.61或x 2≈10.2(舍去)． 4.用一根长40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75 cm2.
(1)此长方形的宽是多少？
(2)能围成一个面积为101 cm2的长方形吗？若能，说明围法；若不能，说明理由；
解：(1)5 cm.
(2)不能．设宽为x cm，则长为(20－x) cm，由x(20－x)＝101，即x2－20x ＋101＝0，由Δ＝202－4×101＝－4＜0，∴方程无解，故不能围成一个面积为101 cm2的长方形．
【活动3】拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.
【互动探索】(引发学生思考)AB与BC之间的数量关系是怎样的？BC还应满足什么条件？
【解答】设AB＝x m，则BC＝(50－2x)m.
根据题意，得x(50－2x)＝300.
解得x1＝10，x2＝15，
当x＝10时，BC＝50－10－10＝30＞25，
则x1＝10不合题意，舍去．
故可以围成AB长为15 m，BC长为20 m的矩形花园．
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用一元二次方程解决实际问题时，要注意检验方程的根是否符合实际问题．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；
(3)“解”，即求出所列方程的根；
(4)“检验”，即验证是否符合题意；
(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．请完成本课时对应练习！
【素材积累】
指豁出性命，进行激烈的搏斗。

比喻尽醉大的力量，极度的努力，去实现自己的目标。

逆水行舟，不进则退。

人生能有几回搏，此时不搏何时搏。

——容国团 .生当作人杰，死亦为鬼雄。

——李清照贝多芬拼搏成长大作曲家贝多芬小时候由于家庭贫困没能上学，十七岁时患了伤寒和天花之后，肺病、关节炎、黄热病、结膜炎等又接踵而至，二十六岁不幸失去了听觉，爱情上也屡遭挫折，摘这种境遇下，贝多芬发誓“要扼住生命的咽喉”。

摘与生命的顽强拼搏中，他的意志占了上风，摘乐曲创作事业上，他的生命之火燃烧得越来越旺盛了。