动态圆-高考物理复习

和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强
磁场区域的面积(无需写出面积最小的证明过程).
答案
mv qr3
mv qr4
(12π－1)r32
(12π－1)r42
画出磁场区域面积最小时的情形，如图乙所示. 在Ⅰ、Ⅱ区域的磁场中，由几何关系可知带电 粒子运动的轨迹半径R3＝r3， 由洛伦兹力提供向心力有 qvB3＝mRv32，解得 B3＝mqrv3，
间可能是t0 C.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是32t0
√D.若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是
5 3t0
带电粒子以垂直于cd边的某一速度射入正方形内，经 过时间t0刚好从c点射出磁场，则知带电粒子的运动周 期T＝2t0.该粒子从O点以与Od成30°角的方向射入磁场， 随着粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射 点P为圆心、半径R＝ mv0 的圆上
qB
轨迹圆圆 心共圆
将一半径为R＝ mv0 的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探
界定方法
qB
索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
例2 (2023·浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy平 面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感 应强度大小记为B(B未知).坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不 断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离 子.在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标 为(0，a)，N点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时 离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点.不计 离子的重力及离子间的相互作用的影响，求:
基础落实练
1.(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为 B 的匀强磁场，磁场 方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC 边界的夹角∠DAC＝30°，边界 AC 与边界 MN 平行，Ⅱ区域宽度为 d.质量为 m、电荷量为＋q 的粒子可在边界 AD 上的不同点射入， 入射速度垂直 AD 且垂直磁场，若入射速度大小为qmBd，不计粒子重力，则 A.粒子在磁场中运动的半径为d2 B.粒子在距 A 点 0.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域
O点是cd边的中点.若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂
直于cd边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场.现设 法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以各种不同的速率
射入正方形内，那么下列说法正确的是
√A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B.若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时
域后宽度变为2r2，并沿x轴正方向射出.求该磁场磁 感应强度B2的大小和方向，以及该磁场区域的面积 (无需写出面积最小的证明过程)；
答案
mv qr2
垂直于纸面向里
πr22
粒子从O点进入下方虚线区域，若要从聚焦的O点飞入然后沿x轴正方 向飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径 等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图甲中所示，图中圆形磁场 即为最小的匀强磁场区域 磁场半径为 r2，根据 qvB2＝mvr22， 可知磁感应强度为 B2＝mqrv2 根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为S2 ＝πr22
πR A.6v0
√πR
C.3v0
πR B.4v0
πR D.2v0
粒子在磁场中做匀速圆周运动， 有 qv0B＝mvr02，解得 r＝2R， 如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心
角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长， 由于 sin α＝FrE，要使圆心角 α 最大，FE 最长， 经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁
渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG、FE、DC、BA 之间，不可能从四个顶点射出，故A正确. 由上述分析知粒子运动周期为 2t0，由图分析可知，从 ab 边射出的粒子所用 时间不可能为 t0，从 bc 边射出的粒子所用时间不超过23T＝43t0，所有从 cd 边 射出的粒子圆心角都是 300°，所用时间为56T＝53t0，故 B、C 错误，D 正确.
例5 (2021·湖南卷·13)带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的 关键技术之一.带电粒子流(每个粒子的质量为m、电荷量为＋q)以初速度 v垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用.对处在xOy平面内 的粒子，求解以下问题.
(1)如图(a)，宽度为2r1的带电粒子流沿x轴正方向射 入圆心为A(0，r1)、半径为r1的圆形匀强磁场中，若 带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点O，求该磁
动态圆
目标 1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对 要求 应临界状态或极值的轨迹.3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型.
内容索引
题型一 “平移圆”模型 题型二 “旋转圆”模型 题型三 “放缩圆”模型 题型四 “磁聚焦”与“磁发散”模型
“平移圆”模型
mv B. ae
√3mv
C. 4ae
3mv D. 5ae
磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做 圆周运动的半径为 r，由几何关系得 a2＋r2＝(3a－r)2，根据牛顿第二 定律和圆周运动知识得 evB＝mvr2，联立解得 B＝34maev，故选 C.
例4 (多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例.
答案2Biblioteka 3如图乙所示，由动态圆分析结果可知， 能打到收集板上的离子分布在速度方向与x轴正 方向成60°角的范围内， 因为放射源均匀打出离子， 因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例为112800°°＝23.
“放缩圆”模型
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入 适用条件 匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨
迹半径随速度的变化而变化 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运 动半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运 动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 轨迹圆圆 心共线
界定 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹 方法 圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
相互作用，则v2∶v1 为
A. 3∶2
B. 2∶1
场磁感应强度B1的大小；
答案
mv qr1
粒子垂直y轴进入圆形磁场，在坐标原点O汇聚，
满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径
等于圆形磁场的半径r1，粒子在磁场中运动，洛 伦兹力提供向心力，qvB1＝mvr12 解得 B1＝mqrv1
(2)如图(a)，虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何 中心位于C(0，－r2).在虚线框内设计一个区域面积最 小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区
“磁聚焦”与“磁发散”模型
1.带电粒子的会聚 如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形 磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒 子将从磁场圆的最低点B点射出.(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对 边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点 发出的带电粒子必然经过B点.
界定方法
qB
这种方法叫“平移圆”法
例 1 如图所示，在 xOy 平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为 O、半径为 R 的半圆形匀强磁场，线状粒子源从 y 轴左侧平行于 x 轴正方向不断射 出质量为 m、电荷量为 q、速度大小为 v0 的带正电粒子.磁场的磁感应强 度大小为2mqvR0、方向垂直平面 xOy 向里.不考虑粒子间的相互作用，不计 粒子受到的重力.所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时 间最长为
2.带电粒子的发散 如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量 质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有 界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径 相等，则所有粒子射出磁场的方向平行.(发散) 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、 入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形， O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同 (即水平方向).
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线
上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的 适用条件 半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝mqBv0，如图所示
轨迹圆圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该
心共线 直线与入射点的连线平行
将半径为R＝mv0的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，
√C.粒子在距 A 点 1.5d 处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为πqmB √D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为3πqmB
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
带电粒子在磁场中的运动半径 r＝mqBv＝d，选项 A 错误； 设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC 相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AO－EO ＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误； 粒子在距 A 点 1.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为 半圆，运动的时间为 t＝T2＝πqmB，选项 C 正确； 进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为 d，与 半径相同，故对应圆心角为 60°，最短时间为 tmin＝T6＝3πqmB，选项 D 正确.
Ⅱ中磁场区域的面积 S1＝2×14πr32－12r32＝π2－1r32. 在Ⅲ、Ⅳ区域的磁场中，由几何关系可知带电粒子运动的轨迹半径R4 ＝r4，
由洛伦兹力提供向心力有 qvB4＝mRv42， 解得 B4＝mqrv4， Ⅳ中磁场区域的面积 S4＝2×14πr42－12r42＝π2－1r42.
课时精练
场时，粒子在磁场中运动的时间最长，
有 sin αm＝OrE′，解得 αm＝π6，
从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长， π
且 tm＝26π·2vπ0r，解得 tm＝3πvR0，故选 C.
“旋转圆”模型
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁 场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度 适用 大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝mqBv0，如图所示 条件
(1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间； 答案 3πva0或53πva0
由题意可知，沿x轴正方向出射的离子，经半圆到达N点， 由此可得r＝a，可知通过M点的离子有两个出射方向， 如图甲，一个轨迹转过的圆心角为60°， 即 t1＝16T，另一个轨迹转过的圆心角为 300°， 即 t2＝56T，离子做匀速圆周运动，周期 T＝2vπ0r， 即 T＝2vπ0a，解得 t1＝3πva0，t2＝53πva0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场
边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内
沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的 出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分 布在三分之一圆周上.不计重力及带电粒子之间的
(3)如图(b)，虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于r3的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为 边长等于r4的正方形.在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的 匀强磁场，使宽度为2r3的带电粒子流沿x轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到 坐标原点O，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为2r4，并沿x轴 正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束.求Ⅰ
例3 (2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分
别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图
所示.一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为m，
电荷量为e，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区
域内，磁场的磁感应强度最小为
3mv A. 2ae