湖南省长沙市长沙市第一中学2020届高三数学10月月考试题(含解析)

湖南省长沙市长沙市第一中学2020届高三数学10月月考试题（含解
析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{}2|log ,08A y y x x ==<≤，集合{}
|21x
B x =>，则A B I 等于（ ）
A. ()0,3
B. (]0,3
C. (],3-∞
D. R
【答案】B 【解析】 【分析】
分别求出集合A ，集合B ，由此能求出A B I
【详解】因为{}{}2|log ,08|3A y y x x y y ==<≤=≤，{}
{}|21|0x
B x x x =>=>，
所以(]0,3A B =I .
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.若,02πθ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，则复数cos sin z i θθ=+（i 为虚数单位）对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知角的范围可得cos 0θ>，sin 0θ<，则答案可求． 详解】,02πθ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
Q cos 0θ∴>，sin 0θ<
∴复数cos sin z i θθ=+对应的点在第四象限.
【点睛】本题考查三角函数的象限符号，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，则对实数a b 、，“>||a b ”是“()()f a f b >”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
本道题结合偶函数满足()()f x f x =-以及单调递增关系,前后推导,即可.
【详解】结合偶函数的性质可得()()f x f x =-,而当,a b a b a >-<<,所以结合()f x 在
[)0,+∞单调递增,得到()()()f a f a f b =->,故a b >可以推出()()f a f b >.举特殊例
子,()()()331f f f -=>,但是31-<,故由()()f a f b >无法得到a b >,故a b >是
()()f a f b >的充分不必要条件,故选A.
【点睛】本道题考查了充分不必要条件的判定,关键结合偶函数的性质以及单调关系,判定,即可,属于较容易的题.
4.若向量(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r
，则c r 等于
A. 1322a b -+r r
B. 3122a b -+r
r
C. 3122
a b -r r
D. 1322
a b -r r
【答案】D 【解析】
分析：设c a b λμ=+r r r
，利用两个向量坐标形式的运算法则，用待定系数法求出λ和μ的值，
即可求得答案.
详解：因为(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=-v v v
，设c a b λμ=+r r r ，则有(1,2)(,)λμλμ-=+-，
即12λμλμ+=-⎧⎨-=⎩，解得12
32λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以1322
c a b =-r r r
，故选D.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，在解题的过程中，先设出c a b λμ=+r r r
，之后根据向量的运算法则以及向量相等的条件，建立关于,λμ的等量关系式，求解即可得结果.
5.函数()e 21x
f x x =--的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，排除选项B ，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项,A D ，从而可得结果.
【详解】函数()21x
f x e x =--是偶函数，排除选项B ；
当0x >时，函数()21x
f x e x =-- ，可得()'2x
f x e =-，
当()0,ln 2x ∈时，()'0f x <，函数是减涵数，当ln 2x >时，函数是增函数，排除项选项,A D ，故选C.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象
6.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）
A. 1
B. 2
C.
12
D. 1-
【答案】D 【解析】 【分析】
易知当1024y =时，循环结束；再寻找x 的规律求解. 【详解】计算过程如下：
x
2 －1
12
2
1-
…
1-
y
0 1 2 3 4 … 1024 1024y <
是
是
是
是
是
是
否
当1024x =时，循环结束，所以输出1x =-. 故选D.
【点睛】本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时，要注意寻找规律.
7.已知0a b >>，b x a be =+，a
y b ae =+，b z b ae =+，则（ ） A. x z y << B. z x y << C. z y x << D. y z x <<
【答案】A 【解析】 【分析】
利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果. 【详解】∵b
a
x a be y b ae =+=+，，b z b ae =+， ∴(
)a b
y z a e e
-=-
又0e 1a b >>，＞，∴a b e e ＞ ∴y z ＞
()()()()
x 1b b z b a a b e a b e -=-+-=--，
又01b a b e ，＞>> ∴x z ＞ 综上：x z y << 故选：A
【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查作差法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.已知函数()()()cos 20f x x ϕπϕ=+-<<向右平移
4
π个单位后得到()g x ，当712x π
=
时，函数()g x 取得最大值，则6g π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为（ ）
A. B.
2
C. 12
-
D.
12
【答案】A 【解析】
【分析】
把函数()()()cos 20f x x ϕπϕ=+-<<向右平移
4
π
个单位后得到()g x ，根据()g x 在712x π=
取得最大值可求得ϕ，即可求6g π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值。

【详解】()()cos 2sin 24g x x x πϕϕ⎡⎤⎛
⎫
=-
+=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，由712x π=时，函数()g x 取得最大值，
且0πϕ-<<，得23πϕ=-
，()2sin 23g x x π⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭，sin 63g ππ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】本题主要考查正、余弦函数的图象的特征，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．
9.已知P 是椭圆上一点，F 是椭圆的一个焦点，则以线段PF 为直径的圆和以椭圆长轴为直径的圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 内切 C. 内含 D. 相交
【答案】B 【解析】 【分析】
设F 、F '分别是椭圆的左右焦点，作出以PF 为直径的圆和以长轴为直径的圆2
2
2
x y a +=，设PF 的中点为M ，连结PF '，利用三角形中位线定理与椭圆的定义，证出11
||||||22
OM PF a PF '=
=-，得到两圆的圆心距等于它们半径之差，从而得到两圆的位置关系是相内切．
【详解】设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 、F '分别是椭圆的左右焦点，
作出以线段PF 为直径的圆和以长轴为直径的圆2
2
2
x y a +=，如图所示． 设PF 中点为M ，连结PF '，
OM ∴是PFF '∆的中位线，可得1
||||2OM PF '=，即两圆的圆心距为1||2
PF '
根据椭圆定义，可得||||2PF PF a '+=，
∴圆心距111
||||(2||)||222
OM PF a PF a PF '==-=-，
即两圆的圆心距等于它们半径之差，
因此，以PF 为直径的圆与以长半轴为直径的圆2
2
2
x y a +=相内切． 故选：B ．
【点睛】本题给出椭圆以一条焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆，求两圆的位置关系．着重考查了圆与圆的位置关系及其证明、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．
10.已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n
n f x x b x =-+的两个零点，则10
b 等于（ ） A. 24 B. 32 C. 48 D. 64
【答案】D 【解析】
试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n
n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以
122
12n n n n n n
a a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，
971
216a a a ==.
11
a =，所以
916
a =，又可知
9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.
考点：函数的零点、数列的递推公式
11.已知函数()sin 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
若方程()13f x =在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，
则()12sin x x -=（ ）
A. 13
- B. 12
-
C. D. 3
-
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可得1234
x x π+=
，得121324x x x π-=-，通过计算124x π-的范围，利用三角恒等变
化可求1cos 24x π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
的值，即可得出()12sin x x -。

【详解】24
2
x k π
π
π-
=
+Q 382k x ππ
∴=
+即函数()f x 的对称轴为382
k x ππ=+ ()1
3
f x =Q 在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <
12328x x π+∴=
2134
x x π∴=-
()12sin x x ∴-113sin 2cos 24
4x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-
=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
.
又因为12x x <，2134x x π=-，所以1388
x ππ
<<，
所以120,42x π
π⎛⎫-
∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 243x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，所以()12
sin 3x x -=-. 【点睛】本题考查正弦函数的性质以及三角恒等变换，属于中档题。

12.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外
接球，底边3BC =，侧棱AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. []2,4ππ
C. 9,44ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D.
11,44ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
设BDC ∆的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，可得223(3)R R =+-，解得2R =，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．
【详解】如图，设BDC ∆的中心为1O ，球O 的半径为R ， 连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，
则12
3sin603
O D =⨯
=o
13AO ==， 在Rt △1OO D 中，223(3)R R =+-，解得2R =， 3BD BE =Q ，2DE ∴=
在1DEO ∆中，11O E =
∴
OE 过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，
=2π． 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． 故答案为[2π，4]π
【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.
13.某年级有1000名学生，一次数学测试成绩(
)2
105,10X N :，()951050.34P X ≤≤=，
则该年级学生数学成绩在115分以上的
人数大约为______. 【答案】160 【解析】 【分析】
根据考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．得到考试的成绩X 关于105X =对称，根据(95105)0.34P X =剟，得到1
(115)(10.68)0.162
P X =-=…，根据频率乘以样本容量得到这个分
数段上的人数．
【详解】Q 考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．
∴考试的成绩X 关于105X =对称，
(95105)0.34P X =Q 剟， 1(115)(10.68)0.162
P X ∴=-=…，
∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.161000160⨯=
故答案为：160．
【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于105X =对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
14.已知平面向量,a b r
r 满足()
3b a b ⋅+=r r r ，且1,2a b ==r r ，则a b +=r r ________
【解析】 【分析】
由已知可求a b ⋅r r ，然后结合向量的数量积的性质a b +=v v ，代入即可求解．
【详解】∵()
3b a b ⋅+=r r r ，∴2
3b a b ⋅+=r r r ， ∵1a =r ，2b =r ，1a b ⋅=-r r
，
则a b +===r r .
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．
15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2233cos 0a b ab C -+=，则
cos cos A B c a
b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为__________．
【答案】2 【解析】 【分析】
利用余弦定理将2233cos 0a b ab C -+=及cos cos A B c a b ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
化为三角形边的关系，可得2221
33
c a b =+，再利用基本不等式可得最小值.
【详解】根据题意，
由余弦定理得2222
2
2
2
222
91333cos 3302222
a b c a b ab C a b ab a b c ab +--+=-+⋅=+-=，
得22
2
1
33
c a b =+，
依据正弦定理：()sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin sin C A B A B A B B A c C a
b A B A B ++⎛⎫
+=⋅= ⎪
⎝⎭
22sin 32sin sin 3C c a b
A B ab b a
===+≥，当且仅当
33a b b a =时取等号，综上所述，答案为2. 故答案为2.
【点睛】本题主要考查了正余弦定理和基本不等式的交汇，解答本题的关键是将角化成边，利用基本不等式求最值要验证条件 “一正”“二定”“三相等”.
16.定义在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上的奇函数()f x 的导函数为()'f x ，且()10f =.当0x >时，
()()'tan 0f x x f x ->，则不等式()0f x <的解集为______.
【答案】(),10,12π⎛⎫
--⋃ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】 令()
()sin f x g x x
=
，根据函数的单调性求出不等式的解集即可． 【详解】当02
x π
<<
时，由()()'tan 0f x x f x ->，得()()'sin cos 0f x x f x x ->，得
()'0sin f x x ⎛⎫> ⎪
⎝⎭
，所以()()sin f x g x x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上递增， ∵()g x 为偶函数，∴()g x 在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上递减，且()()()1110sin1
f g g -===，
()()()()010sin 0sin 0g x g f x g x x x ⎧>=-<⇔<⇔⎨<⎩或()()
01sin 0
g x g x ⎧<=⎨>⎩，
可得12
x π
-
<<-或01x <<，
所以，()0f x <的解集为(),10,12π⎛⎫
--⋃ ⎪⎝⎭
.
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及解不等式问题，是一道中档题．
三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.已知正项等比数列{}n a 为递增数列，n S 为其前n 项和，且37S =，12311174
a a a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若23log 2n n b a =+，数列11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，若n T λ<对任意*n N ∈恒成立，
求λ的最小值.
【答案】（1）1
2n n a -=.（2）
1
6
【解析】 【分析】
（1）已知{}n a 为正项等比数列，根据37S =，1231117
4
a a a ++=构造方程组，解得1a 与q ，即可求出数列{}n a 的通项公式。

（2）由（1）的通项公式计算出n b 的通项公式，利用裂项相消法求出数量11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项
和n T ，可求λ的最小值。

【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，
则12312212313221111a a a a a a a a a a a a +++++=+=3222277
4
S a a ===，得22a =. 31232227S a a a q q =++=
++=，解得2q =，或1
2
q =（舍）， 所以2
212222n n n n a a q
---==⨯=. （2）∵23log 231n n b a n =+=-，
∴
()()111111313233132n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭
， 1111111325583132n T n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪
-+⎝⎭
()111111323264633
26
n n n n ⎛⎫=-==-< ⎪
+++⎝⎭， ∴1
6λ≥
，即λ的最小值为16
. 【点睛】（1）利用基本量法构造方程组求数列{}n a 的通项公式。

（2）裂项相消法求和法：
适用情形：①分式型数列；②分母中有两个或两个以上的因式，且因式结构相似. 裂项的基本原理：将分子视为分母两因式之差的倍数. 常见的裂项公式：
111111n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（其中d 为等差数列{}n a 的公差，且0d ≠），()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
；
18.如图所示，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，120BCD ∠=o ，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.
（1）求证：EF ⊥平面BCF ；
（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，试求cos θ的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）71cos ,72θ⎤
∈⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）通过证明BC AC ⊥．AC CF ⊥，转化证明AC ⊥平面BCF ，然后推出EF ⊥平面
BCF ；
（2）建立空间直角坐标系，设1AD CD BC CF ====，求出相关点的坐标，求出平面MAB
的一个法向量，令(0FM λλ=≤≤，由题意可得平面FCB 的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，即可求cos θ的取值范围． 【详解】（1）证明：设1AD CD BC ===， ∵AB CD ∥，120BCD ∠=o ，∴2AB =， ∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅=o ， ∴222AB AC BC =+，则BC AC ⊥. ∵四边形ACFE 为矩形，∴AC CF ⊥，
而,CF BC ⊂平面BCF ，且CF BC C =I ，∴AC ⊥平面BCF . ∵EF AC P ，∴EF ⊥平面BCF .
（2）以C 为坐标原点，分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令(0FM λλ=≤≤，则()0,0,0C
，)
A
，()0,1,0B ，(),0,1M λ，
所以()
AB =uu u r
，(),1,1BM λ=-uuu r
，
设()1,,n x y z =u r
为平面MAB 的一个法向量，
由1100n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v
u v u u u u v
，得0
0y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩
， 取1x =
，所以()
1n λ=u r
，
因为()21,0,0n =u u r
是平面FCB 的一个法向量.
所以
12
12
cos n n n n θ⋅==u r u u r u r u u
r =
.
因为0λ≤≤，所以当0λ=时，
cos θ有最小值
7
， 当λ=cos θ
有最大值1
2，所以1cos 72θ⎤∈⎥⎣⎦
.
【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力
19.长沙某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕.根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：C o ）有关，如果最高气温不低于25C o ，需求量为600桶；如果最高气温（单位：C o ）位于区间[)20,25，需求量为400桶；如果最高气温低于20C o ，需求量为200桶.为了确定今年九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温（C o
） [)10,15 [)15,20
[)20,25
[)25,30
[)30,35
[]35,40
天数 2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求九月份这种冰激凌一天的需求量X （单位：桶）的分布列；
（2）设九月份一天销售这种冰激凌的利润为Y （单位：元），当九月份这种冰激凌一天的进货量n （单位：桶）为多少时，Y 的均值取得最大值？
【答案】（1）见解析；（2）当400n =时，Y 的数学期望()E Y 取得最大值640。

【解析】 【分析】
（1）由已知得，X 的可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20为事件1A ，最高气温位于区间[20，25)为事件2A ，最高气温不低于25为事件3A ，结合频数分布表，用频
率估计概率，能求出六月份这种冰激凌一天的需求量X （单位：桶）的分布列．
（2）结合题意得当200n …时，()2400E Y n =…，分别求出当200400n <…，400600n <…，
600n >时的数学期望，由此能求出当400n =时，Y 的数学期望()E Y 取得最大值640．
【详解】（1）由已知得，X 的可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20为事件
1A ，最高气温位于区间[20，25)为事件2A ，最高气温不低于25为事件3A ，
根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率， 可知123181362362
(200)(),(400)(),(600)()905905905
P X P A P X P A P X P A ===
=========， 故六月份这种冰激凌一天的需求量X （单位：桶）的分布列为：
（2）结合题意得当200n …时，()2400E Y n =…， 当200400n <…时，
146
()[2002(200)(2)]2160(400,640]555
E Y n n n =⨯⨯+-⨯-+⨯⨯=+∈，
当400600n <…时，
122
()[2002(200)(2)][4002(400)(2)]2555E Y n n n =⨯⨯+-⨯-+⨯⨯+-⨯-+⨯⨯
2
800[560,640)5
n =-+∈，
当600n >时，
122
()[2002(200)(2)][4002(400)(2)][6002(600)(2)]
555E Y n n n =⨯⨯+-⨯-+⨯⨯+-⨯-+⨯⨯+-⨯-17602560n =-<，
所以当400n =时，Y 的数学期望()E Y 取得最大值640．
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查频率分布列的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20.已知点M 到点()3,0F 的距离比它到直线:50l x +=距离小2 （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）过点()(),00P m m >作互相垂直的两条直线12,l l ，它们与（Ⅰ）中轨迹E 分别交于点
,A B 及点,C D ，且,G H 分别是线段,AB CD 的中点，求PGH ∆面积的最小值.
【答案】（Ⅰ）212y x =；（Ⅱ）36 【解析】 【分析】
（Ⅰ）可知点M 到点()3,0F 的距离与到直线:30l x '+=距离相等，根据抛物线定义可得方程；（Ⅱ）设直线11:l x t y m =+，与抛物线方程联立后利用韦达定理和中点坐标公式可求得G 点坐标，同理可求得H 点坐标；从而用12,t t 表示出,PG PH ，根据两条直线互相垂直得到
121t t =-，代入三角形面积公式，利用基本不等式可求得面积的最小值.
【详解】（Ⅰ）由题意知，点M 到点()3,0F 的距离与到直线:30l x '+=距离相等 由抛物线的定义知，轨迹E 是以()3,0F 为焦点，以直线:30l x '+=为准线的物线
M ∴的轨迹E 的方程为：2
12y x =
（Ⅱ）设直线11:l x t y m =+
联立12
12x t y m y x
=+⎧⎨
=⎩得：2
112120y t y m --= 设()11,A x y ，()22,B x y
则12112y y t +=，()2
1211212122x x t y y m t m +=++=+ ()
2116,6G t m t ∴+
设直线22:l x t y m =+.同理可得：(
)
2
226,6H t m t +
6PG t ∴=
6PH t =12l l 、的斜率存在且均不为0 12
11
1t t ∴⋅=-，即：121t t =-
11
sin 18362
PGH S PG PH PGH t t ∆∴=
∠===
当且仅当121t t ==时取等号
PGH ∴∆面积的最小值为36
【点睛】本题考查根据抛物线的定义求解抛物线的方程、直线与抛物线综合应用中的三角形面积的最值求解问题.求解三角形面积最值的关键是能够结合韦达定理求得所需点的坐标和线段长，从而利用变量表示出三角形面积，利用基本不等式求得最值.
21.已知函数()21
x
e f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数.
（1）若1b =，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围； （2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()123
12f x f x e a
+<+<. 【答案】（1）10,2
a ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
；（2）详见解析
【解析】 【分析】
（1）若1b =，且当0x …
时，()1f x …总成立，分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数a 的取值范围；
（2）求出函数的导数，构造新的函数，根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）当1b =，则()21x
e f x ax x =++，22
12()()(1)x a
e ax x a
f x ax x -+'=++
g g ，
当1
02
a <…时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞ 上单调递增，()(0)1f x f ≥=； 当12
a >时，()f x 在[0，21
]a a -上单调递减， 在21
[
a a
-，)+∞上单调递增， 21
()()(0)1min a f x f f a
-<==，不成立， 1
02a ∴<…
即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
（2）当0b =时，2222
(21)
(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++， 因为()f x 存在两个极值点，2440a a ->即1a > 有条件知1x ，2x 为2210ax ax -+=两根，12121
2,x x x x a
+==， 不妨设12x x <则12012x x <<<<
121212
2112221212()()11222
x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++g g ，
由（1）知当1b =，12a =，0x ≥，211
x
e ax x ≥++，即2112x e x x ++≥（当且仅当0
x =取等号）
所以当0x >时，恒有2
112
x
x e x >
++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>
+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦ ()12121211422x x x x x x ⎡⎤
=
++++⎢⎥⎣⎦
16222a ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
3
12a
=
+ 又()211121122111
()()222
x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22x
x
h x xe
x e -=+-()01x <<
则()()()
`210x x
h x x e e
-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增，()()12h x h e <=，从而12()()f x f x e +< 综上可得：()()123
12f x f x e a
+
<+< 【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩
（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫⋅-
= ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 切线，切点为A ，B ，求四边形AMBC （点C 为圆C 的圆心）面积的最小值.
【答案】（1）圆C 的普通方程为()2221x y ++=，
直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.（2
）.
【解析】
【分析】
（1）根据参数方程和极坐标方程与普通方程
关系进行转化求解即可．
（2）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）由圆C 的参数方程2cos sin x y θθ=-+
⎧⎨=⎩
（θ为参数）得圆C 的普通方程为()2221x y ++=，
由cos 4πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
cos sin 2ρθρθ+=， ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.
（2）圆心()2,0C -到直线l ：20x y +-=的距离为d =
=， 由于M 直线l 上任意一点，所以MC d ≥=
∴四边形AMBC 面积
122S AC MA =⨯⨯⨯===
∴四边形AMBC .
【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查学生的运算和转化能力．
23.已知关于x 的不等式()320x x m m m -+-≥>的解集为R .
（1）求m 的最大值；
（2）若1a b c ++=，求()()()222112a b c -++++的最小值.
【答案】（1）1；（2）3
【解析】
【分析】
（1）利用()()3333x x m x x m -+-≥---=-，列不等式求解即可。

（2）利用重要不等式，可得()()()222112a b c -++++的最小值及此时a ，b ，c 的值。

【详解】（1）令()3f x x x m =-+-，则关于x 的不等式()320x x m m m -+-≥>的解集为R 等价于()max 2f x m ≥. ∵()()3333x x m x x m -+-≥---=-（当且仅当()()30x x m --≤时取等号）， ∴()max 3f x m =-， 由320m m
m ⎧-≥⎨>⎩得01m <≤，所以1m =.
（2）∵()()()2112a b c -++++⎡⎤⎣⎦
()()()()()222
112211a b c a b =-+++++-+()()()()212221b c c a +++++- ()()()2223112a b c ⎡⎤≤-++++⎣⎦
又1a b c ++=，所以()()()2221123a b c -++++≥，当且仅当2a =，0b =，1c =-时取“=”.
所以()()()222111a b c -++++的最小值为3.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的几何意义和解法以及重要不等式的应用，属于一般题。