电阻电路等效变换
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第三页
特例：两电阻并联
Req
R1R2 R1 R2
i1
R2 R1 R2
i
i2
R1 R1 R2
i
二、电阻的混联 —串、并联的组合
采用逐次等效的办法
第四页
例2－1 求Rab=?
6 15
5
①
5
③
① Re'q R3 R4 10 ②
③
Req
R1
R '' eq
6 6
12
② R'' eq
电阻电路等效变换
第一页
§2-1电阻的串联和并联
一、串联 电阻首尾相联，流过同一电流的连接方式，称为串联(图2－2a)
VAR:
u u1 u2 un R1i R2i Rni (R1 R2 Rn )i
VAR: u Reqi
即若干电阻串联等效于一个电阻，Req=R1+R2+···+Rn
①等效变换法 Rin,Req的计算方法： ②根据Rin的定义
i u
图2－18a
i u
图2－18b
第十八页
例2－8 求图2-19电路的输入电阻 Rin=?
i
u
l2
l1
i1
i2
图2－19
解: 标明电压、电流及参考方向, 则:
u Rin i
选择回路 l1, 列写KVL: 3i2 4i2 2i1 0 i2 2i1
R3 R1
例2－5 求图2-9a电路中电流 I1, I2, I3 , I4。
I I2 I1
解: 思路 Δ→Y
Req I
I1
I2
I3
I4
48
Rb 4 4 8 2, 同理,求得 : Rc 2, Rd 1, Req (1 Rb ) //(5 Rd ) Rc 4
I
18 2 Req
3A,
(2) 再将电流源与电阻并联等效为一个电压源与电阻串联， 得到图(c)所示单回路电路。由此求得
u (3 20 8)V 2 2V (2 3 4)
第二十三页
图2－13
由于单口与其等效电路的VCR方程完全相同，这种代替 不会改变电路其余部分N2(或 Nl)的电压和电流。
当仅需求解电路某一部分的电压和电流时，常用这种方法来简 化电路分析。现举例加以说明。
R2 Re'q R2 R34
1510 6 15 10
Req
R1 R2 //(R3 R4 ) R1
R2 (R3 R4 ) R2 R3 R4
6 15(5 5) 12 15 5 5
第五页
例 2-2 求图 1.6-9(a)电路 ab 端的等效电阻。
第六页
§2-2利用等电位点求等效电阻
任意电路与电压源并联等效
图12-16a
图12-16b
图12-17a
图12-17b
第十六页
例2－7 用等效变换求图2-17a的电流I=?
图2－17a
解:
图2－17b
将电压源模型等效变换为电流源与模型
图2－17c
将电流源模型并联 变换为电流源模型
图2－17d
将电流源模型等效 变换为电压源模型
第十七页
图2－17e
i i'
u
证明：
u Ri us
u Ri R(i is ) Ri Ris
第十二页
二、独立电源的串联和并联
1．电压源串联
2. 电流源并联
n
uS uSk k 1
与 uS 方向相同的电压源 uSk取正号, 相反则取负号
n
iS
iSk
k 1
与 iS 方向相同的电压源iSk 取正号, 相反则取负号
由分流公式,
可得:
I1
1
1 Rb Rb 5
Rd
I
1A, I2 I I1 2A
I3
U db 4
5 I1 1 I2 4
0.75 A,
I4 I1 I3 1.75A
第十一页
§2-3电源电路的等效变换
一、电压源模型与电流源模型 的等效变换
i
R'=R , is=us/R
u
R=R', us=Ris
两个电压完全相同的电压源才能并联；两个电流完全相同的电流源才能串联，否
则将违反 KCL、KVL和独立电源的定义。
第十三页
三、电压源模型串联
例2-6 图2-14a电路, 已知uS1=10V, uS2=20V, uS3=5V, R1=2, R2=4, R3=6 RL=3。 求电阻RL电流i
图 2-14a
R12 (R23 R31 ) R12 R23 R31
i1
i2
R1
R12
R12 R31 R23 R31
R2
R12
R23 R12 R23 R31
R3
R12
R31R23 R23 R31
R12
R1R2
R2 R3 R3
R3R1
R23
R1R2
R2 R3 R1
R3 R1
R31
R1R2
R2 R3 R2
选择回路 l2, 列写KVL: u 6u1 u1 4i2 14i1 4i2 6i1
Rin
u i
6i1 i1 i2
6i1 i1
6
注意:输入或等效电阻可以为负值!
如何解释？
第十九页
例2－9 求图2-20(a)电路中电流i 。
图2－20
解：可用电阻串并联公式化简电路。 具体计算步骤如下：
先求出3和1电阻串联再与4电阻并联的等效电阻Rbd
4(3 1)
Rbd
4 3 1
2
第二十页
得到图(b)电路。再求出6和2电阻串联再与8并联 的等效电阻Rad
8(6 2) Rad 8 6 2 4
得到图(c)电路。由此求得电流
i 32V 2A 12 4
第二十一页
例2－10 求图2-21(a)电路中电流i 。
例2－3 求ab两端的等效电阻
解：由于c、d 两点等电位，故可用导线短接，或将 这两点连接的元件7Ω(断开)去掉，则：
短接时，Req
2
//
3
4
//
6
23 23
4 4
6 6
18 5
3.6
断开时，Req
（2＋4）//(3
6)
69 69
54 15
3.6
结论：若电路中两点电位相等，则：
①可将这两点短路 ② 可将这两点之间连接的支路断开 对某些对称性电路可采用此方法处理
第七页
例2－4 图2－7所示电路每个电阻都是2Ω, 求a, b两端的等效电阻
d
c
e
根据电路的对称性, 可知 c, d, e三点等电位, 故可用导线短接。
Req
[(2 //1)
2] //(2 //1) 2
8 3
//
2 3
2
8 3 8
2
3 2
2
2-2电阻的Y－Δ等效变换
i4
R R R4
iS
1 18 1 5
3A
讨论：若要求电流 i1, i2, i3, 怎么办？ 回到原电路来分析！
u4 R4i4 15V i1 u4 / R1 5A i2 u4 / R2 2.5A
i3 u4 / R3 7.5A
第十五页
五、 须注意的特殊情况
任意电路与电压源并联等效
i1
对图2-9a, 令i3=0, 则: i1 i2
u12 R1i1 R2i2
(R1 R2 )i1
i3
i2
i3
故：
R1
R2
R12 (R23 R31 ) R12 R23 R31
同理,令i1=0, 可得:
R2
R3
R23 (R12 R31 ) R12 R23 R31
同理,令i2=0, 可得:
图2－21
解：用电源等效变换公式，将电压源与电阻串联等效变换为 电流源与电导并联，得到图(b)电路。用分流公式求得
i 1S (5A 5A) 4A (11 0.5)S
第二十二页
例2－10 求图2-16(a)电路中电压u。
图2－16
解：(1)将1A电流源与5电阻的串联等效为1A电流源。20V 电压源与10电阻并联等效为20V电压源，得到图(b)电路。
作业：2－1，2－4(g)，2－8(b)，2－10
第二十四页
} R1, R2, R3
R3, R4, R5
Y(星)形连接
} R1, R3, R4
R2, R3, R5
Δ(三角)形连接
如何求该一端口的Req?
若Y→Δ,即 R1, R2, R3 →Ra, Rb, Rc,
则： Req =(Ra//R4+ Rb//R5,)//Rc
问题：如何进行等效变换？ 保证伏安特性相同
R3
R1
R31 ( R12 R23 ) R12 R23 R31
特例, 若R12=R23=R31=RΔ,则: R1=R2=R3=RY,且 RΔ=3RY
反之, 可得:
第十页
i1
u12 f1(i1, i2 , i3 )
对图2-9b, 令i3=0, 则: i1 i2
u12 R12 //(R23 R31)i1
第二章电阻电路的等效变换电阻电路由电阻元件和独立电源受控源组成的电路激励独立电源响应所产生的电压和电流一端口单口网络具有两个外接端钮的电路一端口伏安特性vcr关联方向的电压与电流关系式uiifu?若两个一端口nn?的伏安特性相同则它们互为等效若n?为一电阻则称等效于一电阻req则称n等效于reqreq被称为一端口n的等效电阻
图 2-14b
解: 思路: 对于电路的局部分析计算问题, 可采用等效变换方法
uS uS2 uS1 uS3 20V 10V 5V 15V
R R2 R1 R3 4 2 6 12
i uS 15 1A R RL 12 3
u RLi 3V
第十四页
四、电流源模型并联
例2-3 图2-15a所示电路, 已知iS1=10A, iS2=1A, iS3=9A,
u12 f1(i1, i2 , i3 ) u23 f2 (i1, i2 , i3 ) u31 f3 (i1, i2 , i3 )
i3
i1
i2
i3
第九页
i1
u12 f1(i1, i2 , i3 )
u23 f2(i1, i2 , i3 )
u31 f3(i1, i2 , i3 )
i2
u12 f1(i1, i2 , i3 )
将电压源模型串联 变换为电压源模型
I 8 2 1A 22
§2-3 输入电阻
不含独立电源的一端口的输入电阻定义为：
u Rin i
(关联参考方向见图2－18a)
由Rin的定义知: 图2－18a的VAR为：u=Rin i 由Req的定义知: 图2－18b的VAR为：u=Rin i
故Rin=Req, 即输入电阻和等效电阻相等
uk
Rk i
Rk Req
u
—— 分压公式
第二页
二、线性电阻的并联
电阻首尾分别相联, 处于同一电压下的连接方式, 称为并联(图2－3a)。
VAR:
i i1 i2 in
u u u
R1 R2
Rn
1 R1
1 R2
1 Rn
u
VAR:
1 i u
Req
分流公式:
ik
u Rk
Req i Rk
即若干电阻并联等效于一个电阻, Req=1/R1+1/R2+···+1/Rn
R1=3 , G2=6 , G3=2 , R4=5 , 求电流 i4
i1 i2
i3
u4
图2-15a
图2-15b
解：为求电流 i4, 可将三个并联的电流源模型等效为一个电流源模型
iS iS1 iS2 iS3 10 1 9 18A
R R1 // R2 // R3 3 // 6 // 2 1
特例：两电阻并联
Req
R1R2 R1 R2
i1
R2 R1 R2
i
i2
R1 R1 R2
i
二、电阻的混联 —串、并联的组合
采用逐次等效的办法
第四页
例2－1 求Rab=?
6 15
5
①
5
③
① Re'q R3 R4 10 ②
③
Req
R1
R '' eq
6 6
12
② R'' eq
电阻电路等效变换
第一页
§2-1电阻的串联和并联
一、串联 电阻首尾相联，流过同一电流的连接方式，称为串联(图2－2a)
VAR:
u u1 u2 un R1i R2i Rni (R1 R2 Rn )i
VAR: u Reqi
即若干电阻串联等效于一个电阻，Req=R1+R2+···+Rn
①等效变换法 Rin,Req的计算方法： ②根据Rin的定义
i u
图2－18a
i u
图2－18b
第十八页
例2－8 求图2-19电路的输入电阻 Rin=?
i
u
l2
l1
i1
i2
图2－19
解: 标明电压、电流及参考方向, 则:
u Rin i
选择回路 l1, 列写KVL: 3i2 4i2 2i1 0 i2 2i1
R3 R1
例2－5 求图2-9a电路中电流 I1, I2, I3 , I4。
I I2 I1
解: 思路 Δ→Y
Req I
I1
I2
I3
I4
48
Rb 4 4 8 2, 同理,求得 : Rc 2, Rd 1, Req (1 Rb ) //(5 Rd ) Rc 4
I
18 2 Req
3A,
(2) 再将电流源与电阻并联等效为一个电压源与电阻串联， 得到图(c)所示单回路电路。由此求得
u (3 20 8)V 2 2V (2 3 4)
第二十三页
图2－13
由于单口与其等效电路的VCR方程完全相同，这种代替 不会改变电路其余部分N2(或 Nl)的电压和电流。
当仅需求解电路某一部分的电压和电流时，常用这种方法来简 化电路分析。现举例加以说明。
R2 Re'q R2 R34
1510 6 15 10
Req
R1 R2 //(R3 R4 ) R1
R2 (R3 R4 ) R2 R3 R4
6 15(5 5) 12 15 5 5
第五页
例 2-2 求图 1.6-9(a)电路 ab 端的等效电阻。
第六页
§2-2利用等电位点求等效电阻
任意电路与电压源并联等效
图12-16a
图12-16b
图12-17a
图12-17b
第十六页
例2－7 用等效变换求图2-17a的电流I=?
图2－17a
解:
图2－17b
将电压源模型等效变换为电流源与模型
图2－17c
将电流源模型并联 变换为电流源模型
图2－17d
将电流源模型等效 变换为电压源模型
第十七页
图2－17e
i i'
u
证明：
u Ri us
u Ri R(i is ) Ri Ris
第十二页
二、独立电源的串联和并联
1．电压源串联
2. 电流源并联
n
uS uSk k 1
与 uS 方向相同的电压源 uSk取正号, 相反则取负号
n
iS
iSk
k 1
与 iS 方向相同的电压源iSk 取正号, 相反则取负号
由分流公式,
可得:
I1
1
1 Rb Rb 5
Rd
I
1A, I2 I I1 2A
I3
U db 4
5 I1 1 I2 4
0.75 A,
I4 I1 I3 1.75A
第十一页
§2-3电源电路的等效变换
一、电压源模型与电流源模型 的等效变换
i
R'=R , is=us/R
u
R=R', us=Ris
两个电压完全相同的电压源才能并联；两个电流完全相同的电流源才能串联，否
则将违反 KCL、KVL和独立电源的定义。
第十三页
三、电压源模型串联
例2-6 图2-14a电路, 已知uS1=10V, uS2=20V, uS3=5V, R1=2, R2=4, R3=6 RL=3。 求电阻RL电流i
图 2-14a
R12 (R23 R31 ) R12 R23 R31
i1
i2
R1
R12
R12 R31 R23 R31
R2
R12
R23 R12 R23 R31
R3
R12
R31R23 R23 R31
R12
R1R2
R2 R3 R3
R3R1
R23
R1R2
R2 R3 R1
R3 R1
R31
R1R2
R2 R3 R2
选择回路 l2, 列写KVL: u 6u1 u1 4i2 14i1 4i2 6i1
Rin
u i
6i1 i1 i2
6i1 i1
6
注意:输入或等效电阻可以为负值!
如何解释？
第十九页
例2－9 求图2-20(a)电路中电流i 。
图2－20
解：可用电阻串并联公式化简电路。 具体计算步骤如下：
先求出3和1电阻串联再与4电阻并联的等效电阻Rbd
4(3 1)
Rbd
4 3 1
2
第二十页
得到图(b)电路。再求出6和2电阻串联再与8并联 的等效电阻Rad
8(6 2) Rad 8 6 2 4
得到图(c)电路。由此求得电流
i 32V 2A 12 4
第二十一页
例2－10 求图2-21(a)电路中电流i 。
例2－3 求ab两端的等效电阻
解：由于c、d 两点等电位，故可用导线短接，或将 这两点连接的元件7Ω(断开)去掉，则：
短接时，Req
2
//
3
4
//
6
23 23
4 4
6 6
18 5
3.6
断开时，Req
（2＋4）//(3
6)
69 69
54 15
3.6
结论：若电路中两点电位相等，则：
①可将这两点短路 ② 可将这两点之间连接的支路断开 对某些对称性电路可采用此方法处理
第七页
例2－4 图2－7所示电路每个电阻都是2Ω, 求a, b两端的等效电阻
d
c
e
根据电路的对称性, 可知 c, d, e三点等电位, 故可用导线短接。
Req
[(2 //1)
2] //(2 //1) 2
8 3
//
2 3
2
8 3 8
2
3 2
2
2-2电阻的Y－Δ等效变换
i4
R R R4
iS
1 18 1 5
3A
讨论：若要求电流 i1, i2, i3, 怎么办？ 回到原电路来分析！
u4 R4i4 15V i1 u4 / R1 5A i2 u4 / R2 2.5A
i3 u4 / R3 7.5A
第十五页
五、 须注意的特殊情况
任意电路与电压源并联等效
i1
对图2-9a, 令i3=0, 则: i1 i2
u12 R1i1 R2i2
(R1 R2 )i1
i3
i2
i3
故：
R1
R2
R12 (R23 R31 ) R12 R23 R31
同理,令i1=0, 可得:
R2
R3
R23 (R12 R31 ) R12 R23 R31
同理,令i2=0, 可得:
图2－21
解：用电源等效变换公式，将电压源与电阻串联等效变换为 电流源与电导并联，得到图(b)电路。用分流公式求得
i 1S (5A 5A) 4A (11 0.5)S
第二十二页
例2－10 求图2-16(a)电路中电压u。
图2－16
解：(1)将1A电流源与5电阻的串联等效为1A电流源。20V 电压源与10电阻并联等效为20V电压源，得到图(b)电路。
作业：2－1，2－4(g)，2－8(b)，2－10
第二十四页
} R1, R2, R3
R3, R4, R5
Y(星)形连接
} R1, R3, R4
R2, R3, R5
Δ(三角)形连接
如何求该一端口的Req?
若Y→Δ,即 R1, R2, R3 →Ra, Rb, Rc,
则： Req =(Ra//R4+ Rb//R5,)//Rc
问题：如何进行等效变换？ 保证伏安特性相同
R3
R1
R31 ( R12 R23 ) R12 R23 R31
特例, 若R12=R23=R31=RΔ,则: R1=R2=R3=RY,且 RΔ=3RY
反之, 可得:
第十页
i1
u12 f1(i1, i2 , i3 )
对图2-9b, 令i3=0, 则: i1 i2
u12 R12 //(R23 R31)i1
第二章电阻电路的等效变换电阻电路由电阻元件和独立电源受控源组成的电路激励独立电源响应所产生的电压和电流一端口单口网络具有两个外接端钮的电路一端口伏安特性vcr关联方向的电压与电流关系式uiifu?若两个一端口nn?的伏安特性相同则它们互为等效若n?为一电阻则称等效于一电阻req则称n等效于reqreq被称为一端口n的等效电阻
图 2-14b
解: 思路: 对于电路的局部分析计算问题, 可采用等效变换方法
uS uS2 uS1 uS3 20V 10V 5V 15V
R R2 R1 R3 4 2 6 12
i uS 15 1A R RL 12 3
u RLi 3V
第十四页
四、电流源模型并联
例2-3 图2-15a所示电路, 已知iS1=10A, iS2=1A, iS3=9A,
u12 f1(i1, i2 , i3 ) u23 f2 (i1, i2 , i3 ) u31 f3 (i1, i2 , i3 )
i3
i1
i2
i3
第九页
i1
u12 f1(i1, i2 , i3 )
u23 f2(i1, i2 , i3 )
u31 f3(i1, i2 , i3 )
i2
u12 f1(i1, i2 , i3 )
将电压源模型串联 变换为电压源模型
I 8 2 1A 22
§2-3 输入电阻
不含独立电源的一端口的输入电阻定义为：
u Rin i
(关联参考方向见图2－18a)
由Rin的定义知: 图2－18a的VAR为：u=Rin i 由Req的定义知: 图2－18b的VAR为：u=Rin i
故Rin=Req, 即输入电阻和等效电阻相等
uk
Rk i
Rk Req
u
—— 分压公式
第二页
二、线性电阻的并联
电阻首尾分别相联, 处于同一电压下的连接方式, 称为并联(图2－3a)。
VAR:
i i1 i2 in
u u u
R1 R2
Rn
1 R1
1 R2
1 Rn
u
VAR:
1 i u
Req
分流公式:
ik
u Rk
Req i Rk
即若干电阻并联等效于一个电阻, Req=1/R1+1/R2+···+1/Rn
R1=3 , G2=6 , G3=2 , R4=5 , 求电流 i4
i1 i2
i3
u4
图2-15a
图2-15b
解：为求电流 i4, 可将三个并联的电流源模型等效为一个电流源模型
iS iS1 iS2 iS3 10 1 9 18A
R R1 // R2 // R3 3 // 6 // 2 1