八年级同步第14讲：正比例函数的图像及性质.doc

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正比例函数的图像及性质是八年级数学上学期第三章第二节内容，主要对正比例函数的图像及性质进行讲解，重点是对正比例函数的性质的理解，难点是正比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正比例函数的应用提供依据．
一、 正比例函数的图像
1、 一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过(00)，
，(1)k ，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =； 2、 图像画法：列表、描点、连线．
正比例函数的图像及性质
知识结构
模块一：正比例函数的图像
知识精讲
内容分析
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【例1】 已知正比例函数2y x =．
x
…… 2- 1.5- -1 0.5- 0 0.5 1 1.5 2 …… 2y x =
……
……
描点：分别以所取x 的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点． 连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接． 【难度】★ 【答案】 【解析】
【例2】 在同一直角坐标平面内画出下列函数图像．
（1）4y x =； （2）1
4y x = ；
（3）3
2
y x =-；
（4）3
2
y x =
． 【难度】★ 【答案】 【解析】
例题解析
【例3】 函数1
5
y x =-的图像是经过点________、________的________．
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例4】 （1）正比例函数y kx =的图像是____________，它一定经过点_______和_______．
（2）函数y kx =(0)k ≠的图像经过点1
(5)2
A -，，写出函数解析式，并说明函数图
像经过哪几个象限？
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例5】 已知2y -与x 成正比例，且x =2时，y =4； （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若点(m ，2m +7)，在这个函数的图象上，求m 的值．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例6】 已知正比例函数图像上的一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1:2，则此正比例函
数的解析式是________________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例7】 如果正比例函数的图像经过点(24)-，，说明(416)-，是否在这个图像上，
并作出该正比例函数的图像． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例8】 已知函数2(2)21y t x t =-+-,当t 为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析
式是什么？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例9】 一个正比例函数的图像经过点A (13)-，，B (1)a a ---，，求a 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例10】 已知y 是x 的正比例函数，且当6x =时，2y =-．
(1)求出这个函数的解析式；
(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；
(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；
(4)试问点A (62)-，
关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
x
【例11】 已知点(60)A -，，并且点(1)B m -，在直线3y x =-上，求OAB ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例12】 正比例函数的图像经过点（-2，5），过图像上一点A 作y 轴的垂线，垂足B 的坐
标是（0，-3），求点A 的坐标与AOB ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例13】 已知直线y kx =过点1(3)2
，，A 是直线y kx =上一点，若过点A 向x 轴引垂线，垂
足为B ，且5AOB S ∆=，求点B 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例14】 如图，长方形OABC 的边BC = 6，AB = 3， (1) 直线x 交边AB 于点P ，求k 的取值范围；
(2) 直线0x <把矩形OABC 的面积分成两部分，靠近x 轴的一部分记作S ，试写出S 关
于k 的解析式．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
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二、正比例函数(0)y kx k k =≠是常数，
的性质： （1） 当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值
也随着逐渐增大．
（2） 当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 则随着逐渐减小．
【例15】 直线(2)y m x =-经过一、三象限，则m ________．
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例16】 已知正比例函数()52y k x =-的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围.
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例17】 若正比例函数(3)y m x =-，y 的值随x 的增大而减小，则m _______.
【难度】★ 【答案】 【解析】
例题解析
知识精讲
模块二：正比例函数的性质
【例18】 (3)y x π=-图像经过_______象限，y 的值随x 的值增大而_______.
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例19】 当a =_______时，2(3)(9)y a x a =-+-是正比例函数，图像经过第______象限.
【难度】★ 【答案】 【解析】
【例20】
已知点（11,x y ），（22,x y ）在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例21】
已知正比例函数2
5
(3)m
m y m x +-=+，那么它的图像经过____________象限.
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例22】
正比例函数2
m
m
y mx +=的图像经过第一、三象限，求m 的值.
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例23】
已知0mn <，那么函数m
y x n
=
经过______象限，y 的值随x 的值增大而______.
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例24】
函数()2
(2)2k y k x -=-是正比例函数，且y 的值随着x 的减小而增大，求k 的值.
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例25】
如果正比例函数y kx =(0)k ≠的自变量增加5，函数值减少2，那么当3x =时，
y =_______.
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例26】 （1）已知y ax =
是经过第二、四象限的直线，且 求a 的取值范围．
（2）已知函数()21y m x =+的值随自变量x 的值增大而增大，且函数()31y m x =+的
值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例27】 正比例函数()41y m x =-的图像经过点11(,)A x y 和22(,)B x y ，且该图像经过第
二、四象限． (1)求m 的取值范围；
(2)当12x x >时，比较1y 与2y 的大小，并说明理由．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例28】
已知函数2y x =-，自变量x 的取值范围是
45
56
x <<，求y 的取值范围. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例29】 已知在正比例函数()()2
27
23m
f x m x -=-中，y 随x 的值减小而减小.
（1）求m 的值；
（2）求23f ⎛⎫
⎪⎝⎭
（3）在直角坐标平面内画出函数图像，并根据图像说明，当x 取何值时，2y ≤-？
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【例30】
已知正比例函数过A (2，-4)，点P 在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面
内另有一点B （0，4），且8ABP S ∆=，求：点P 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
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【例31】
两个正比例函数11y k x =与22y k x =，当2x =-时，122y y +=，当2x =时，
12y y -=52．
(1) 求这两个函数的解析式；
(2) 当x = 3时，求2212y y -的值．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【习题1】 在同一直角坐标系内画出下列函数的图像：3y x =-与1
3
y x =-．
【难度】★ 【答案】 【解析】
【习题2】 若点P 在直线2y x =-上，且点P 的横坐标为1，那么点P 的坐标是________． 【难度】★ 【答案】 【解析】
【习题3】 若正比例函数的图像经过（-1，3），则正比例函数的解析式是________． 【难度】★ 【答案】 【解析】
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【习题4】 已知11(,)x y 和22(,)x y 是直线4y x =-上的两点，且12x x >，则1y 与2y 的大小
关系是（ ）．
A ．12y y >
B ．12y y <
C ．12y y =
D ．以上都有可能
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【习题5】 正比例函数y kx =（k 为常数，0k <）的图象依次经过第________象限，函数
值随自变量的增大而_________． 【难度】★ 【答案】 【解析】
【习题6】 正比例函数(0)y kx k =≠的图像经过一、三象限，且经过点(221)k k ++，，则
k ==________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【习题7】 如果正比例函数(0)y kx k =≠的自变量取值增加1，函数值相应地减少4，则
k =________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【习题8】 已知y 是x 的正比例函数，且当x =时，y =2，求y 与x 之间的比例系数，
写出函数解析式，并求当y =x 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【习题9】 已知23y -与45x +成正比例，且当x =1时，y =15，求y 与x 的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【习题10】 如图，在同一直角坐标系内，已知函数1y k x =中，y 随x 的增大而减小，函数
2y k x =，满足120k k +=，则1y k x =与2y k x =的图像大致为( )．
A B
C D
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【习题11】 已知正比例函数的图像经过点(28)-，
，经过图像上一点A 作x 轴的垂线，垂足为点B (06)，，求：（1）点A 的坐标；（2）AOB ∆的面积．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
D
P
A 【习题12】 已知平面直角坐标系内一点点(23)P a a ，，
过点P 作y 轴的垂线，垂足为点H ，如果15POH S ∆=．
求：(1) 点P 的坐标；
(2) 直线OP 的解析式．
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【习题13】 如果正比例函数的图像经过点(4,3)-，请判别(2,4)A -、3
(2,2
B -中哪一点离
这个正比例函数的图像距离近？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【习题14】 如图，已知长方形ABCD 的长AB = 4cm ，宽BC = 3cm ，动点P 从点B 出发，
沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为xcm ，△ABP 的面积为y 2cm ， (1) 当动点P 在BC 上运动时，求y 关于x 的解析式及其定义域； (2) 当动点P 在DC 上运动时，怎样表示y ？并求x 的取值范围；
(3) 当x 取何值时，△ABP 的面积为22cm ？
【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【作业1】 在同一直角坐标系内画出下列函数的图像：4y x =与1
2
y x =-．
【难度】★ 【答案】 【解析】
【作业2】 已知点A （m ，-3）在直线3y x =上，那么m =________． 【难度】★ 【答案】 【解析】
【作业3】 已知正比例函数(64)y k x =-的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围． 【难度】★ 【答案】 【解析】
【作业4】 已知函数2
(1)m y m x =-是正比例函数，m =________；函数的图象经过
________象限；y 随x 的减少而________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【作业5】 已知y 与x 成正比例，且x = 2时y = -6，则y = 9时x =________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
课后作业
x
【作业6】 点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm 的蜡烛，点燃6分
钟后，缩短3.6cm ．设蜡烛点燃x 分钟后，缩短ycm ，求y 的函数解析式和x 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】 【解析】
【作业7】 在函数5y x =的图象上取一点P ，过P 点作P A ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为2-，
求POA S ∆的面积（O 为坐标原点）． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】
【作业8】 如图，在直角坐标系中，OA = 3，OB = 4，直线OP 与线段AB 相交于点P ， (1) 求△ABO 的面积；
(2) 若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式；
(3) 若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P ，使△AOP 与△BOP 中，一个面积是另一个面积的4倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】。