东城区2018-2019高三第一学期文科试题

高三数学（文）（东城）第1页（共6页） 东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学 （文科）2019.1
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|20}A x x =-<≤，}{2,1,0,1,2B =--}，则A B =
（A ）{2,1}--（B ）{2,0}-（C ）{1,0}- （D ）{2,1,0}--
（2）下列复数为纯虚数的是
（A ）21i +（B ）2i i +（C ）11i - （D ）2(1i)-
（3）在平面直角坐标系xOy 中，角a 以Ox 为始边，终边在射线2(0)y x x =?上，则cos a 的值是
（A
）5（B
）5-C
）5 （D
）5
- （4）若,x y 满足223,,
,x y x x y ≤≤⎧⎪⎨⎪+⎩
≥则2x y +的最小值为
（A ）0
（B ）4（C ）5 （D ）10 （5）执行如图所示的程序框图，输入5,3n m ==，那么输出的p
值为
（A ）360
（B ）60 （C ）36
（D ）12
高三数学（文）（东城）第2页（共6页）
（6）设,,,a b c d 为实数，则“ ,a b c d >>”是“a c b d +>+”的
（A ）充分而不必要条件
（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度
为
（A ）2
（B
（C
）（D ）3
（8）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之
间的关系为lg 4.8 1.5E M =+. 已知两次地震里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12
E E 的值所在的区间为 （A ）(1,2)（B ）(5,6)（C ）(7,8)（D ）(15,16)
高三数学（文）（东城）第3页（共6页） 第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）已知向量(1,2)=-a ，(2,)m =b ，若^a b ，则m =.
（10）在ABC ∆中，已知1a =
，sin 10
A =，3cos 5C =-，则c =. （11）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111,2a b =-=，321a b +=-，试写出一组满足条件的数列
{}n a 和{}n b 的通项公式:n a =，n b =.
（12）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线，交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e =_________.
（13）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，
为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了
随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合
了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：
1271,01,20()19,130.520
x x f x x x -⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩ 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：
①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；
②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% ；
③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.
其中正确的结论序号有.（注：请写出所有正确结论的序号）
（14）已知函数3
()4f x x x =-，()sin (0)g x x w w =>.若[,]x a a "?，都有()()0f x g x £，则a 的
最大值为______；此时ω=_______.
高三数学（文）（东城）第4页（共6页） 三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）
已知等差数列{}n a 满足11a =, 2410a a +=.
(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ) 若2n a n n b a =+ ,求数列{}n b 的前n 项和.
（16）（本小题13分）
已知函数2()sin cos f x x x x =-
. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；
(Ⅱ)求证：对于任意的,36x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
，都有(
)f x ≥
高三数学（文）（东城）第5页（共6页）
某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，
[16,18)，[18,20]，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；
（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18,20]，现从课外阅读时间在[18,20]的样
本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间
的平均数.
（18）（本小题14分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1111A B B C ⊥，12AA AB ==，1BC =，E 为11AC 中点.
（I ）求证：1A B ⊥平面11AB C ；
(II) 求三棱锥1B ECC -的体积；
（III ）设平面EAB 与直线11B C 交于点H ，求线段1B H 的长.
高三数学（文）（东城）第6页（共6页） 已知函数21()2
x f x axe x x =--，a ∈R ． (Ⅰ) 当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ) 求()f x 的单调区间．
（20）（本小题14分）
已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率
为2
，其左焦点为1(1,0)F -.直线:(2)(0
l y k x k =+?交椭圆C 于不同的两点,A B ，直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为E . （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）当12
k =时，求1F AB ∆的面积； （III ）证明：直线AE 与x 轴垂直.。