四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三数学一诊模拟考试

成都龙泉中学高2014级高三上期期末考试模拟试题
数 学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)
注意事项：
1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设集合，则集合
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
2.在复平面内，复数z 与的对应点关于虚轴对称，则z=（ ）
A ．2﹣i
B ．﹣2﹣i
C ．2+i
D ．﹣2+i 3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A.64π+ B.124π+ C.612π+ D.1212π+
4.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．54 B ．81 C ．45 D ．18
5.若变量,x y 满足约束条件2,1,
20,x y x z x y y +≤⎧⎪
≥=+⎨⎪≥⎩
则的最大值和最小值分别为（ ） A. 32和 B. 20和 C. 43和 D. 42和 6. 函数)2
)(2sin(3)(π
ϕϕ<
+=x x f 的图像向左平移
6
π
个单位后关于原点对称, 则ϕ等于（ ）
侧视
A.
6
π B. 6π-
C.
3
π D.3π
-
7．△ABC 的内角A ，B ，C ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π
4，则△ABC 的面积为( ) A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1 8.设函数
)(x f 是定义在R 上的函数，且对任意的R x ∈，有
x
x
x f x f x f x f 2
63)()6(,23)()2(⋅≥-+⋅≤-+，若
,2016)0(=f ，则=)2016(f （ ）
A.201522016
+ B.201622015
+ C.20152
20114
+ D.201422013
+
9.若函数()1lg
a x
f x x b x
-=+-是其定义域上的偶函数，则函数()y f x =的图象不可能是
( )
10.已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1)
11.在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝120°，SA ＝AC ＝2，AB ＝1，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A ．π11
B ．
328π C ．310π D ．3
40π
12．函数⎩
⎨⎧≤+>+-=0,120
,2ln )(2x x x x x x x f 的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.45,=ABC a b B A ∆==
∠=∠中，则_________；
14. 已知数列{}n b 的通项公式是n b n =，则
1335
2121
11
1
n n b b b b b b -++++
= .
15. 已知函数2()244f x x tx t =---, 21
()(2)g x t x
=-+, 两个函数图象的公切线恰为3条, 则实数t 的取值范围为 .
16．给出下列命题：
①“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆否命题为真命题；
②命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是4a ≥； ③ 命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题；
④命题p ：函数x x y e e -=+为偶函数；命题q ：函数x x
y e e -=-在R 上为增函数，则()p q ∧⌝为真
命题
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17.（本小题满分12分）
实数m 取什么值时，复平面内表示复数
22(815)(514)z m m m m i =-++--的点
（Ⅰ）位于第四象限象限； （Ⅱ）位于直线y x =上.
18.(本小题满分12分) 已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期；
(Ⅱ)若函数在上的最大值与最小值之和为
，求实数的值.
19.（本小题12分）
递增数列}{n a 满足122++=+n n n a a a ，9,109173==+a a a a ． （1）求数列}{
2
1
21
+++n n n n a a a a 的前n 项和n S ； （2）求数列})1({
2
+-n n n
a a 的前n 项和n T ．
20．（本小题满分12分）
已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n （单位：百人）的关系有如下规定：当
n ∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n ∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n ∈[200,300)时，
拥挤等级为“拥挤”；当300n ≥时，拥挤等级为“严重拥挤”。

该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：
（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出b a ,的值，并估计该景区6月份游客人数的平
均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥
挤等级均为“优”的概率．
21.（本小题满分12分）
已知动圆P 与圆()2
21:381F x y ++=相切，且与圆()2
22:31F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点． （1）求曲线C 的方程；
（2）试探究MN 和2
OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由； （3）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值． 其中游客等级均为“优”的有)5,4(),5,1(),4,1(，共3种，故所求概率为10
3
.…………12分
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系及参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.
23.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集.
(1)求M ；
(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.
成都龙泉中学高2014级高三上期期末考试模拟试题
数学（文史类）参考答案
1—5 CAABD 6—10 DBACC 11—12 DD 13.
23
3
π
π或
14.21n n +
15. )+∞ 16. ①③
17．（12分）
(I)由题意知2
2815035
514027
m m m m m m m ⎧-+>⇒<>⎪⎨--<⇒-<<⎪⎩或 …………4分
23m ⇒-<<或57m << …………6分
（II ）由题意知 22815514m m m m -+=-- …………10分
29
3
m ⇒=
…………12分 18.
解：（Ⅰ）∵
……………………4分
∴函数的最小正周期 ………………………6分
(Ⅱ)∵，∴
∴当，即时，……8分
当，即时， ……10分
由题意，有
∴
……12分
19．解（1）由已知数列}{n a 为等差数列，且9,109191==+a a a a 又19a a >，所以9,191==a a ，
即n a n =， (3)
22222
1
21)1(1
1)1(12+-=++=+∴
++n n n n n a a a a n n n n ， 2
)1(1
1+-
=∴n S n (6)
（2）数列
]2
)1()1([21)211(2)1()2()1()1(2
2+---=+--=+-=-++n n n n n n a a n n n n n n n ， 令数列n
b n
n )1(-=，
则][2
1
][2121212534231+++--+=-++-+-+-=
n n n n n b b b b b b b b b b b b T ]2
)1(1)1(211[212
1+--+--+-=++n n n n )2)(1()1(2141++-⋅
+-=n n n ……….12 （另解：)
2)(1()
1()1()2()1()1(2+++-=+-=-=+n n n n n n a a c n n n n n n ，
])
2)(1()1()1()1([211
++--+-=+n n n n c n n n ，
所以])2)(1()1(21[211++---=+n n T n n )
2)(1()1(2141++-⋅+-=n n n
）
20.解：（Ⅰ）游客人数在)100,0[范围内的天数共有15天，
故15=a ，2
1
3015==
b ……………………3分 游客人数的平均数为12030
1
350152250311502150=⨯+⨯
+⨯+⨯（百人）…………6分 （Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：),5,3(),4,3(),5,2(),4,2(),3,2(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(
)5,4(，共10种，……………9分
21.
（2）设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+，
由221167x my x y
=⎧⎪⎨+=⎪
⎩可得：222
22
112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴2
232232112716112716m
x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
， ∴()222
22332221121112112716716716
m m OQ x y m m m +=+=+=+++ 由223
1167
x my x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩可得：()22
71642490m y my ++-=，∴12122
4249,716716m y y y y m m +=-=-++， ∴
21
MN y =
-
()22
561716m m +===+． ∴()
()22
2
22561171621121716
m MN
m m OQ
m ++==++∴MN 和2OQ 的比值为一个常数，这个常数为12．
22.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝π
4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.
由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形，所以△C 2MN 的面积为12.
23.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1
2，
1，－12<x <1
2，
2x ，x ≥12.
当x ≤－1
2时，由f (x )<2得－2x <2，
解得x >－1；
当－12<x <1
2时，f (x )<2； 当x ≥1
2时，由f (x )<2得2x <2， 解得x <1.
所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.
(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.。