基于平面束方程的关联公理的证明
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2019赤峰学院学报自然科学版journalofchifenguniversitynaturalscienceedition第35卷第9期2019年9月收稿日期院20190611基金项目院安徽省高校自然科学研究重点项目渊kj2017a569冤曰蚌埠学院自然科学研究重点项目渊2017zr08zd冤曰安徽省教学研究重点项目渊2017jyxm0541冤曰蚌埠学院质量工程项目渊2016jyxm18冤曰蚌埠学院教学团队渊2017jxtd2冤基于平面束方程的关联公理的证明鲁琦袁梅红袁孙西超袁陈华喜渊蚌埠学院理学院袁安徽蚌埠233030冤摘要院利用向量代数方法袁借助平面束方程和直线方程袁以及关联公理中的三个公理证明了院渊1冤不共线的三点决定唯一平面曰渊2冤至少有三点不在同一直线上曰渊3冤至少有四个点不在同一平面上
向量已经广泛应用于现代数学的研究中袁本文 在不改变[5]的公理化方法前提下袁尽可能少地借助 向量代数的一些概念和结论袁例如[5]直接定义了直 线和平面方程袁而本文用[6]中的向量垂直尧平行和 数量积的定义替换袁直线和平面方程即可由它们推 出.再利用平面束方程袁从[5]中第一组公理渊即关联 公理冤中的三个出发袁证明出其余五个公理袁从而使 得[5]在融入代数方法的前提下所用公理个数减少. 1 预备知识
[5]中将点作为直线几何的元素袁将点和直线作 为平面几何的元素袁将点尧线和平面作为空间几何 的元素.因此袁对于任意一条直线袁至少有一平面经 过该直线.下文考虑的均为三维空间的情形袁之后
的证明需要用到如下三个公理[5]院
公理 1 经过两个不同的点总是可以确定一
条直线.
公理 2 如果直线上有两点在平面上袁那么整
定理 1 若三点不共线袁则经过这三点袁有且
只有一张平面.
证 设不共线的三点分别为 A(a1,b1,c1)袁B(a2,b2,
c2)袁C(a3,b3,c3)袁可得直线
AB
的方程为
x-a1 a2-a1
=
y-b1 b2-b1
=
z-c1 c2-c1
袁
其中 a2-a1袁b2-b1袁c2-c1 不全为零.
不妨设
a2-a1屹0袁考虑方程
袁则
A1x+B1y+C1z+D1+姿 (A2x+B2y+C2z+D2)=0袁姿 为任
意常数袁表示经过 L 的几乎所有的平面渊不包括平
面 A2x+B2y+C2z+D2=0冤[6]. 下文证明中将用到的概念有向量尧向量平行及
垂直尧向量的数量积袁以及平面和直线几种形式的
方程袁可参见[6]袁这里不再赘述.
2 主要结果
渊蚌埠学院 理学院袁 安徽 蚌埠 233030冤
摘要院利用向量代数方法袁借助平面束方程和直线方程袁以及关联公理中的三个公理证明了院渊1冤不共 线的三点决定唯一平面曰渊2冤至少有三点不在同一直线上曰渊3冤至少有四个点不在同一平面上.
关键词院直线曰平面曰平面束曰关联公理 中图分类号：O153.3 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2019）09-0001-03
A1x+B1y+C1z+D1=0袁A2x+B2y+C2z+D2=0袁 则经过直线 AB 的平面束方程为
A1x+B1y+C1z+D1+姿(A2x+B2y+C2z+D2)=0 渊**冤 其中 姿 为任意常数.下证存在唯一的平面经过
A,B,C 三点袁先证存在性.
考虑 A1a3+B1b3+C1c3+D1+姿(A2a3+B2b3+C2c3+D2). 渊1冤 如果 A2a3+B2b3+C2c3+D2=0袁 则平面 A2x+
x(a2-a1)+y(b2-b1)+z(c2-c1)=0
渊*冤
可得
x=
b2-b1 a2-a1
y-
c2-c1 a2-a1
z袁
其中 y袁z 可取任意
收稿日期院2019-06-11 基金项目院安徽省高校自然科学研究重点项目渊KJ2017A569冤曰蚌埠学院自然科学研究重点项目渊2017ZR08zd冤曰安徽省教学研 究重点项目渊2017jyxm0541冤曰蚌埠学院质量工程项目渊2016JYXM18冤曰蚌埠学院教学团队渊2017jxtd2冤
-1-
数袁 故 渊*冤 有 无 穷 多 解 . 记 n軋=(x,y,z)袁 因 为 满 足 渊*冤 的
向量均和直线 AB 垂直袁所以n軋可作为经过直线 AB
的某平面的法向量.从渊*冤还可看出袁n軋是以原点为
起点袁终点在平面渊*冤上的向量袁这样的n軋有无穷多 个.由此可知袁至少存在两个不平行的非零向量和 直线 AB 垂直袁相应地袁就存在以这两个非零向量 为法向量且经过直线 AB 的两不同平面袁分别记为
第 35 卷第 9 期 2019 年 9 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） JournalofChifengUniversity（NaturalScienceEdition）
Vol.35 No.9 Sep. 2019
基于平面束方程的关联公理的证明
鲁 琦袁 梅 红袁 孙西超袁 陈华喜
条直线都在平面上.
公理 3 若两平面有一公共点袁则它们至少还
有一个公共点.
由公理 1-3袁可知两平面若相交袁则它们有公
共直线袁故直线可以看作由两平面相交而成.在[7]
有轴平面束方程的基础上袁可以引入如下形式的平
面束方程院
嗓 设直线 L 的方程为
A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0
证.再证唯一性.
前文已经证明出袁若不妨设 a2-a1屹0袁则由渊*冤
可得
x=-
b2-b1 a2-a1
y-
c2-c1 a2-a1面里袁至少存在一平面不经过
点 C.反证法袁若经过直线 AB 的平面都经过点 C袁
线性方程和线性方程组的解法我国早在叶九章 算术曳中就已提及袁西方也于 18 世纪提出.之后袁数 学家们便将一些几何图形袁例如直线和平面袁建立 了相应的方程袁并将坐标和向量融入对几何问题的 研究中[1-2].1844 年至 1862 年袁德国数学家格拉斯曼 渊H.G.Grassmann冤 建立了较为系统的向量理论袁其 中定义了向量和向量的运算袁包括加法尧数乘向量 以及向量的数量积等运算.1899 年袁 德国数学家希 尔伯特 渊D.Hilbert冤 在其著作 叶The Foudations of Geometry曳渊叶几何基础曳冤一书中用公理化方法证明 了几何问题袁 并在其中规定了平面和直线的方程. 他们的著作被译为多种语言出版[3-5].[5]所用的公理 体系被现今的数学工作者广泛认可袁然而[5]虽定义 坐标等概念袁 但由于其利用公理化方法研究问题袁 未借鉴 Grassmann 的向量理论袁使得平面和空间直 线的方程作为定义引入袁不是通过向量的运算推出 的袁同时关联公理中包含了八个公理.
B2y+C2z+D2=0 经过点 C. 渊2冤如果 A2a3+B2b3+C2c3+D2屹0袁取
姿=-
A1a3+B1b3+C1c3+D1 A2a3+B2b3+C2c3+D2
袁则
A1a3+B1b3+C1c3+D1+姿 (A2a3+B2b3+C2c3+D2)=0袁说 明渊**冤中至少存在一平面经过点 C袁故存在性得
向量已经广泛应用于现代数学的研究中袁本文 在不改变[5]的公理化方法前提下袁尽可能少地借助 向量代数的一些概念和结论袁例如[5]直接定义了直 线和平面方程袁而本文用[6]中的向量垂直尧平行和 数量积的定义替换袁直线和平面方程即可由它们推 出.再利用平面束方程袁从[5]中第一组公理渊即关联 公理冤中的三个出发袁证明出其余五个公理袁从而使 得[5]在融入代数方法的前提下所用公理个数减少. 1 预备知识
[5]中将点作为直线几何的元素袁将点和直线作 为平面几何的元素袁将点尧线和平面作为空间几何 的元素.因此袁对于任意一条直线袁至少有一平面经 过该直线.下文考虑的均为三维空间的情形袁之后
的证明需要用到如下三个公理[5]院
公理 1 经过两个不同的点总是可以确定一
条直线.
公理 2 如果直线上有两点在平面上袁那么整
定理 1 若三点不共线袁则经过这三点袁有且
只有一张平面.
证 设不共线的三点分别为 A(a1,b1,c1)袁B(a2,b2,
c2)袁C(a3,b3,c3)袁可得直线
AB
的方程为
x-a1 a2-a1
=
y-b1 b2-b1
=
z-c1 c2-c1
袁
其中 a2-a1袁b2-b1袁c2-c1 不全为零.
不妨设
a2-a1屹0袁考虑方程
袁则
A1x+B1y+C1z+D1+姿 (A2x+B2y+C2z+D2)=0袁姿 为任
意常数袁表示经过 L 的几乎所有的平面渊不包括平
面 A2x+B2y+C2z+D2=0冤[6]. 下文证明中将用到的概念有向量尧向量平行及
垂直尧向量的数量积袁以及平面和直线几种形式的
方程袁可参见[6]袁这里不再赘述.
2 主要结果
渊蚌埠学院 理学院袁 安徽 蚌埠 233030冤
摘要院利用向量代数方法袁借助平面束方程和直线方程袁以及关联公理中的三个公理证明了院渊1冤不共 线的三点决定唯一平面曰渊2冤至少有三点不在同一直线上曰渊3冤至少有四个点不在同一平面上.
关键词院直线曰平面曰平面束曰关联公理 中图分类号：O153.3 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2019）09-0001-03
A1x+B1y+C1z+D1=0袁A2x+B2y+C2z+D2=0袁 则经过直线 AB 的平面束方程为
A1x+B1y+C1z+D1+姿(A2x+B2y+C2z+D2)=0 渊**冤 其中 姿 为任意常数.下证存在唯一的平面经过
A,B,C 三点袁先证存在性.
考虑 A1a3+B1b3+C1c3+D1+姿(A2a3+B2b3+C2c3+D2). 渊1冤 如果 A2a3+B2b3+C2c3+D2=0袁 则平面 A2x+
x(a2-a1)+y(b2-b1)+z(c2-c1)=0
渊*冤
可得
x=
b2-b1 a2-a1
y-
c2-c1 a2-a1
z袁
其中 y袁z 可取任意
收稿日期院2019-06-11 基金项目院安徽省高校自然科学研究重点项目渊KJ2017A569冤曰蚌埠学院自然科学研究重点项目渊2017ZR08zd冤曰安徽省教学研 究重点项目渊2017jyxm0541冤曰蚌埠学院质量工程项目渊2016JYXM18冤曰蚌埠学院教学团队渊2017jxtd2冤
-1-
数袁 故 渊*冤 有 无 穷 多 解 . 记 n軋=(x,y,z)袁 因 为 满 足 渊*冤 的
向量均和直线 AB 垂直袁所以n軋可作为经过直线 AB
的某平面的法向量.从渊*冤还可看出袁n軋是以原点为
起点袁终点在平面渊*冤上的向量袁这样的n軋有无穷多 个.由此可知袁至少存在两个不平行的非零向量和 直线 AB 垂直袁相应地袁就存在以这两个非零向量 为法向量且经过直线 AB 的两不同平面袁分别记为
第 35 卷第 9 期 2019 年 9 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） JournalofChifengUniversity（NaturalScienceEdition）
Vol.35 No.9 Sep. 2019
基于平面束方程的关联公理的证明
鲁 琦袁 梅 红袁 孙西超袁 陈华喜
条直线都在平面上.
公理 3 若两平面有一公共点袁则它们至少还
有一个公共点.
由公理 1-3袁可知两平面若相交袁则它们有公
共直线袁故直线可以看作由两平面相交而成.在[7]
有轴平面束方程的基础上袁可以引入如下形式的平
面束方程院
嗓 设直线 L 的方程为
A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0
证.再证唯一性.
前文已经证明出袁若不妨设 a2-a1屹0袁则由渊*冤
可得
x=-
b2-b1 a2-a1
y-
c2-c1 a2-a1面里袁至少存在一平面不经过
点 C.反证法袁若经过直线 AB 的平面都经过点 C袁
线性方程和线性方程组的解法我国早在叶九章 算术曳中就已提及袁西方也于 18 世纪提出.之后袁数 学家们便将一些几何图形袁例如直线和平面袁建立 了相应的方程袁并将坐标和向量融入对几何问题的 研究中[1-2].1844 年至 1862 年袁德国数学家格拉斯曼 渊H.G.Grassmann冤 建立了较为系统的向量理论袁其 中定义了向量和向量的运算袁包括加法尧数乘向量 以及向量的数量积等运算.1899 年袁 德国数学家希 尔伯特 渊D.Hilbert冤 在其著作 叶The Foudations of Geometry曳渊叶几何基础曳冤一书中用公理化方法证明 了几何问题袁 并在其中规定了平面和直线的方程. 他们的著作被译为多种语言出版[3-5].[5]所用的公理 体系被现今的数学工作者广泛认可袁然而[5]虽定义 坐标等概念袁 但由于其利用公理化方法研究问题袁 未借鉴 Grassmann 的向量理论袁使得平面和空间直 线的方程作为定义引入袁不是通过向量的运算推出 的袁同时关联公理中包含了八个公理.
B2y+C2z+D2=0 经过点 C. 渊2冤如果 A2a3+B2b3+C2c3+D2屹0袁取
姿=-
A1a3+B1b3+C1c3+D1 A2a3+B2b3+C2c3+D2
袁则
A1a3+B1b3+C1c3+D1+姿 (A2a3+B2b3+C2c3+D2)=0袁说 明渊**冤中至少存在一平面经过点 C袁故存在性得