数期末复习必备-多元函数积分学——面积分 09.6.24
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2
=
2
t t 2 − x2 − y2
2 fx
+
2 fy
+1
, cos β =
± fy
2 2 fx + f y + 1
,
cos γ =
m1 . 2 2 fx + f y + 1
Σ： = x + y (1 ≤ z ≤ 2) z I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
2
2
= ∫∫ P ⋅ ( − f x )dxdy + Q ⋅ ( − f y )dxdy + Rdxdy
对坐标的 对坐标的 曲线积分 曲线积分
对坐标的 对坐标的 曲面积分 曲面积分
目 回 上 下 停
各种积分之间的联系
曲线积分 计算
Gr een 公式
定积分
Stokes公式 曲面积分
计算 重积分
计算 Guass公式
目 回 上 下 停
r 场论初步 A = { P , Q , R} ∂u r ∂u r ∂u r j+ k 梯度 gradu = i + ∂z ∂x ∂y
Σ
同理
∫∫ xdzdx = 0
Σ
被积函数对变 量x是偶函数
I = 0−0+
∫∫
Σ
z 2d x d y
=−
∫∫
0
( x 2 + y 2 )dxdy
( Dxy : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 )
D xy
= −∫
2π
dθ ∫ ρ 2 ⋅ ρ d ρ
1
2
15 = − π. 2
(方法2) 投影转换法
故
1 2 1 2 1 1 ( x + y + z ) dS = 1 + + ） x 2dS （ ∫∫ 2 4 2 4 ∫∫
2 Σ Σ
1 1 1 = （ + + ） ( x 2 + y 2 + z 2 ) dS 1 3 2 4 ∫∫
Σ
1 1 4 4 7 4 = 1 + + ） π a = πa （ 2 4 3 3
目
∑1
o
x
回 上
R y
下 停
xy =
−y 4 − y2
2 xy
, xx = 0 +
2 x z dydz
D : 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 6 = 2dydz 4− y dydz dy 4- y
2
dS = 1 +
故
2
,
z 2dS = 4 ∫∫ ∫∫
Σ
2z 2 4 − y2
D
= 8∫
6 2 2 z dz 0 0
dS = 1 + z x 2 + z y 2 dxdy
原式 = 4 ∫
π 1 2 2 d θ ρ cos θ sin θ ⋅ ρ 2 1 + 4 ρ2 ρ d ρ 0= 1 + ( 2 x )2 + ( 2 y)2 dxdy 0
∫
目
回
上
下
停
= 2 ∫ sin 2 θ d θ ∫ ρ 5 1 + 4 ρ 2 d ρ
解
用直接法 I = −
1≤ x 2 + y 2 ≤ 4
∫∫
e
x2 + y2
x2
+
y2
目
d xd y
回
上
下
停
I=−
1≤ x 2 + y 2 ≤ 4
∫∫
e
x2 + y2
x2
+
y2
d xd y
= −∫
2π
0
dθ ∫
2 eρ
1
ρ
⋅ρdρ
= −2π
ρ2 ⋅e
1
= 2π (e − e 2 ).
目
回
上
下
停
例5 计算曲面积分
( 2)
∫∫ P d y d z + Q d z d x + R d x d y 的计算 ,
Σ
Σ为有向曲面 .
方法： 1°性质 2°对称性的利用 3°直接法(化为重积分)
如：I = ∫∫ R( x , y , z ) d x d y ,
Σ
z Σ x O Dxy y
① Σ : z = z ( x , y ), 上侧, ( x , y ) ∈ D xy (下) _ I = + ∫∫ R( x , y , z ( x , y )) d x d y ,
λ→0
i =1 i i i
联 系 计 算
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫(Pcosα + Qcosβ + Rcosγ )dS Σ
Σ
∫∫ f ( x, y, z)ds Σ
2 = ∫∫ f [ x, y, z( x, y)] 1 + zx + z2dxdy y Dxy
∫∫ R( x, y, z)dxdy Σ
∑1 : z ≥ ∑2 : z <
∑2
z
x2 + y2 + z2 = t 2
z= x2 + y2
x 2 + y 2和 x2 + y2 .
x
O
y
∴ ∫∫ f ( x , y , z )dS = 0.
t2 2 2 Σ1在xOy面上的投影区域 D为x + y ≤ ; 2 −x −y 2 2 2 z = t − x − y , zx = 2 2 2 , z y = 2 2 2 , t −x −y t −x −y dS = 1 + z2 x + z 2 d xd y y
目 回 上 下 停
x
y
∴ 原式 = 4∫∫ xyz dS
= 4 ∫∫ xyz dS
Σ1
( Σ 1为第一卦限部分曲面)
Σ1
= 4 ∫∫ xy( x 2 + y 2 ) 1 + ( 2 x )2 + ( 2 y )2 dxdy
D′ xy
其中 D′ = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} xy
cos α d xd y = − fx d xd y d y d z = cos α d S = cos γ cos β d z d x = cos β d S = d xd y = − fy d xd y cos γ d x d y = cos γ d S r Σ 的法向量：n = ± ( f x , f y ,−1) cos α = ± fx
x 2 + y 2 ≤1
12 d x d y + ∫∫
x 2 + y2 ≤4
22 d x d y ) ∫∫
= 2 ∫ z ⋅ π z 2 d z − ( − π + 4 ⋅ 4 π)
1
2
z Σ2 2
D(z )
Σ
15 15 = π − 15 π = − π. 2 2
Σ1 1 O x y
2. 直接法的利用
目
回
上
下
停
ez d x d y，Σ : z = x 2 + y 2 例4 I = ∫∫ x2 + y2 Σ z (1 ≤ z ≤ 2)下侧. R Σ2 2 Σ 分析 Q R在z轴上无定义 Σ1 1 ∴ 此题不能通过补面 y O Σ1：z = 1(下侧)， x Σ 2：z = 2(上侧)，直接用高斯公式.
0 0
π 2
1
1 5 u−1 2 = ∫ u( ) du 4 1 4
令 u = 1 + 4 ρ2
125 5 − 1 = . 420
目
回
上
下
停
例2 计算曲面积分 其中∑是球面
1 2 1 2 ∫∫ ( x + 2 y + 4 z ) dS ,
2 Σ 2
x2 + y + z2 = a2 .
Σ Σ Σ
解 由轮换对称性知： x 2 dS = ∫∫ y 2 dS = ∫∫ z 2 dS , ∫∫
= ∫∫∫ (0 + 0 + 2 z ) d v − ( ∫∫ + ∫∫ )( ydydz − xdzdx + z 2dxdy)
Ω
Σ1 Σ2
= 2 ∫∫∫ z d v − ( ∫∫ + ∫∫ )( ydydz − xdzdx + z 2dxdy)
Ω
2
Σ1 Σ2
= 2∫ z d z
1
D( z )
∫∫ d x d y − (−
计算 I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z 2dxdy , 其中 ∑ 为 例3
Σ
锥面 z =
x 2 + y 2 被平面 z = 1, z = 2 所截部分的外侧．
解(方法1) Σ分为前后两片曲面， 在yOz 坐标面上的投影均为 D yz : z ≥ y , 1 ≤ z ≤ 2,
∑
D
∫∫ ydydz = 0
目 回 上 下 停
6°高斯公式 无奇点 ① Σ封闭 有奇点： 恒等变形去掉奇点
② Σ不封闭：补面法
目
回
上
下
停
曲面积分
对面积的曲面积分
n Σ
对坐标的曲面积分
n
i
定 ∫∫ f ( x, y, z)ds = lim∑ f (ξ ,η ,ζ )Δs ∫∫ R( x, y, z)dxdy= lim∑R(ξi ,ηi ,ζ i )(ΔSi )xy λ→0 i =1 Σ 义
Σ
:
r 以速度 v = { P , Q , R } 穿过 Σ 指定侧的流体的流量 .
目 回 上 下 停
2. 计算法
(1)
∫∫ f ( x , y, z ) d S 的计算
Σ
方法： 1°性质 2°对称性的利用
① 面对称性 (被积函数有相应 的奇偶性) ② 轮换对称性
3°直接法(化为重积分)
目
回
上
下
停
通量
Φ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
r ∂P ∂ Q ∂R + + 散度 divA = ∂x ∂ y ∂ z
环流量 Γ = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
r i ∂ ∂x P
r j ∂ ∂y Q
r k ∂ ∂z R
旋度
r ∂R ∂Q r ∂P ∂R r ∂Q ∂P r rotA = ( − )i + ( − ) j + ( − )k ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
目 回 上 下 停
=
二、常考题型
1. 对称性的利用 例1 计算 ∫∫ | xyz | dS ,
Σ
z
其中 Σ 为抛物面 z = x 2 + y 2 （ 0 ≤ z ≤ 1）.
解 依对称性知：
抛物面 z = x 2 + y 2 关于 yoz 面， zox 面对称，
被积函数 xyz 关于 x , y为偶函数
∫
= 288 π.
目
回
上
下
停
例6
求F ( t ) =
x2 + y + z =t
f ∫∫ 2 ( x2, y, z )dS , 其中 2
x2 + y2 , x2 + y2 .
⎧ x 2 + y 2 ,当 z ≥ ⎪ f ( x, y, z) = ⎨ ⎪ 0, 当z< ⎩
解 将x 2 + y 2 + z 2 = t 2分成
D xy
目 回 上 下 停
② Σ是母线 // z轴的柱面时 ,
I = ∫∫ R( x , y , z ) d x d y = 0
Σ
z O y
4°两类曲面积分的关系 5°投影转换法
x
cos α d xd y = − fx d xd y d y d z = cosα d S = cos γ cos β d xd y = − fy d xd y d z d x = cos β d S = cos γ d x d y = cos γ d S
15 = − π. 2
z (方法3) 高斯公式 Σ不封闭，补面： Σ1 : z = 1, 下侧
Σ 2 : z = 2, 上侧 Σ + Σ1 + Σ 2
I =(
Σ2 2 Σ1 1 O x
Σ
y
封闭，取外侧 .
Σ+Σ1 + Σ2
∫∫
−
Σ1 +Σ2
)( ydydz − xdzdx + z 2dxdy) ∫∫
∫∫ ( y, − x, z
Σ
2
)⋅(
−x x +y
2 2
,
−y x +y
2 2
,1 )dxdy
= ∫∫ z 2dxdy
∑
Σ： = x 2 + y 2 (1 ≤ z ≤ 2),下侧 z
2
= − ∫∫ ( x + y )dxdy
2 D xy
= −∫
2π
0
dθ ∫ ρ 2 ⋅ ρ dρ
1
2
D xy : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4
= ± ∫∫ R[ x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
目
回
上
下
停
对弧长的 对弧长的 曲线积分 曲线积分
对面积的 对面积的 曲面积分 曲面积分
定定 义义
曲曲 线线 积积 分分
定定 义义
联 系
计计 算算
联 系
计计 算算
曲曲 面面 积积 分分
Σ
= ∫∫ [ P ⋅ ( − f x ) + Q ⋅ ( − f y ) + R]dxdy
Σ
=
=
∫∫ ( P , Q, R) ⋅ (− f x , − f y , 1) dxdy
Σ
向量点积法
, 1 ) d xd y
∫∫ ( y,− x, z
Σ
2
)⋅ (
−x x +y
2 2
,
−y x +y
2 2
I=
第十章(2)
曲面积分
一、主要内容
曲面积分 1. 背景
(1)
∫∫ f ( x, y, z ) d S
Σ
( f ( x, y, z ) ≥ 0 )
1) 以f (x,y,z )为面密度的曲面构件的质量； 2) 当 f (x, y, z) ≡1 时， (2)
∫∫ dS 为 Σ的面积 .
Σ
∫∫ P d y d z + Q d z d x + R d x d y
∫∫ z d S ,
Σ
∑ 是柱面 x 2 + y 2 = 4介于0 ≤ z ≤ 6的部分 .
解 应当将柱面 ∑ 投影到 yOz 或 xOz 平面上 .
由对称性，只需算柱面在第一卦限 部分 ∑1 的4倍. z ∑1 在yOz面上的投影 H D : 0 ≤ y ≤ 2,0 ≤ z ≤ 6.
∑1 方程x = 4 − y 2 , −y 则x y = , x x = 0得 2 4− y
=
2
t t 2 − x2 − y2
2 fx
+
2 fy
+1
, cos β =
± fy
2 2 fx + f y + 1
,
cos γ =
m1 . 2 2 fx + f y + 1
Σ： = x + y (1 ≤ z ≤ 2) z I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
2
2
= ∫∫ P ⋅ ( − f x )dxdy + Q ⋅ ( − f y )dxdy + Rdxdy
对坐标的 对坐标的 曲线积分 曲线积分
对坐标的 对坐标的 曲面积分 曲面积分
目 回 上 下 停
各种积分之间的联系
曲线积分 计算
Gr een 公式
定积分
Stokes公式 曲面积分
计算 重积分
计算 Guass公式
目 回 上 下 停
r 场论初步 A = { P , Q , R} ∂u r ∂u r ∂u r j+ k 梯度 gradu = i + ∂z ∂x ∂y
Σ
同理
∫∫ xdzdx = 0
Σ
被积函数对变 量x是偶函数
I = 0−0+
∫∫
Σ
z 2d x d y
=−
∫∫
0
( x 2 + y 2 )dxdy
( Dxy : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 )
D xy
= −∫
2π
dθ ∫ ρ 2 ⋅ ρ d ρ
1
2
15 = − π. 2
(方法2) 投影转换法
故
1 2 1 2 1 1 ( x + y + z ) dS = 1 + + ） x 2dS （ ∫∫ 2 4 2 4 ∫∫
2 Σ Σ
1 1 1 = （ + + ） ( x 2 + y 2 + z 2 ) dS 1 3 2 4 ∫∫
Σ
1 1 4 4 7 4 = 1 + + ） π a = πa （ 2 4 3 3
目
∑1
o
x
回 上
R y
下 停
xy =
−y 4 − y2
2 xy
, xx = 0 +
2 x z dydz
D : 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 6 = 2dydz 4− y dydz dy 4- y
2
dS = 1 +
故
2
,
z 2dS = 4 ∫∫ ∫∫
Σ
2z 2 4 − y2
D
= 8∫
6 2 2 z dz 0 0
dS = 1 + z x 2 + z y 2 dxdy
原式 = 4 ∫
π 1 2 2 d θ ρ cos θ sin θ ⋅ ρ 2 1 + 4 ρ2 ρ d ρ 0= 1 + ( 2 x )2 + ( 2 y)2 dxdy 0
∫
目
回
上
下
停
= 2 ∫ sin 2 θ d θ ∫ ρ 5 1 + 4 ρ 2 d ρ
解
用直接法 I = −
1≤ x 2 + y 2 ≤ 4
∫∫
e
x2 + y2
x2
+
y2
目
d xd y
回
上
下
停
I=−
1≤ x 2 + y 2 ≤ 4
∫∫
e
x2 + y2
x2
+
y2
d xd y
= −∫
2π
0
dθ ∫
2 eρ
1
ρ
⋅ρdρ
= −2π
ρ2 ⋅e
1
= 2π (e − e 2 ).
目
回
上
下
停
例5 计算曲面积分
( 2)
∫∫ P d y d z + Q d z d x + R d x d y 的计算 ,
Σ
Σ为有向曲面 .
方法： 1°性质 2°对称性的利用 3°直接法(化为重积分)
如：I = ∫∫ R( x , y , z ) d x d y ,
Σ
z Σ x O Dxy y
① Σ : z = z ( x , y ), 上侧, ( x , y ) ∈ D xy (下) _ I = + ∫∫ R( x , y , z ( x , y )) d x d y ,
λ→0
i =1 i i i
联 系 计 算
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫(Pcosα + Qcosβ + Rcosγ )dS Σ
Σ
∫∫ f ( x, y, z)ds Σ
2 = ∫∫ f [ x, y, z( x, y)] 1 + zx + z2dxdy y Dxy
∫∫ R( x, y, z)dxdy Σ
∑1 : z ≥ ∑2 : z <
∑2
z
x2 + y2 + z2 = t 2
z= x2 + y2
x 2 + y 2和 x2 + y2 .
x
O
y
∴ ∫∫ f ( x , y , z )dS = 0.
t2 2 2 Σ1在xOy面上的投影区域 D为x + y ≤ ; 2 −x −y 2 2 2 z = t − x − y , zx = 2 2 2 , z y = 2 2 2 , t −x −y t −x −y dS = 1 + z2 x + z 2 d xd y y
目 回 上 下 停
x
y
∴ 原式 = 4∫∫ xyz dS
= 4 ∫∫ xyz dS
Σ1
( Σ 1为第一卦限部分曲面)
Σ1
= 4 ∫∫ xy( x 2 + y 2 ) 1 + ( 2 x )2 + ( 2 y )2 dxdy
D′ xy
其中 D′ = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} xy
cos α d xd y = − fx d xd y d y d z = cos α d S = cos γ cos β d z d x = cos β d S = d xd y = − fy d xd y cos γ d x d y = cos γ d S r Σ 的法向量：n = ± ( f x , f y ,−1) cos α = ± fx
x 2 + y 2 ≤1
12 d x d y + ∫∫
x 2 + y2 ≤4
22 d x d y ) ∫∫
= 2 ∫ z ⋅ π z 2 d z − ( − π + 4 ⋅ 4 π)
1
2
z Σ2 2
D(z )
Σ
15 15 = π − 15 π = − π. 2 2
Σ1 1 O x y
2. 直接法的利用
目
回
上
下
停
ez d x d y，Σ : z = x 2 + y 2 例4 I = ∫∫ x2 + y2 Σ z (1 ≤ z ≤ 2)下侧. R Σ2 2 Σ 分析 Q R在z轴上无定义 Σ1 1 ∴ 此题不能通过补面 y O Σ1：z = 1(下侧)， x Σ 2：z = 2(上侧)，直接用高斯公式.
0 0
π 2
1
1 5 u−1 2 = ∫ u( ) du 4 1 4
令 u = 1 + 4 ρ2
125 5 − 1 = . 420
目
回
上
下
停
例2 计算曲面积分 其中∑是球面
1 2 1 2 ∫∫ ( x + 2 y + 4 z ) dS ,
2 Σ 2
x2 + y + z2 = a2 .
Σ Σ Σ
解 由轮换对称性知： x 2 dS = ∫∫ y 2 dS = ∫∫ z 2 dS , ∫∫
= ∫∫∫ (0 + 0 + 2 z ) d v − ( ∫∫ + ∫∫ )( ydydz − xdzdx + z 2dxdy)
Ω
Σ1 Σ2
= 2 ∫∫∫ z d v − ( ∫∫ + ∫∫ )( ydydz − xdzdx + z 2dxdy)
Ω
2
Σ1 Σ2
= 2∫ z d z
1
D( z )
∫∫ d x d y − (−
计算 I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z 2dxdy , 其中 ∑ 为 例3
Σ
锥面 z =
x 2 + y 2 被平面 z = 1, z = 2 所截部分的外侧．
解(方法1) Σ分为前后两片曲面， 在yOz 坐标面上的投影均为 D yz : z ≥ y , 1 ≤ z ≤ 2,
∑
D
∫∫ ydydz = 0
目 回 上 下 停
6°高斯公式 无奇点 ① Σ封闭 有奇点： 恒等变形去掉奇点
② Σ不封闭：补面法
目
回
上
下
停
曲面积分
对面积的曲面积分
n Σ
对坐标的曲面积分
n
i
定 ∫∫ f ( x, y, z)ds = lim∑ f (ξ ,η ,ζ )Δs ∫∫ R( x, y, z)dxdy= lim∑R(ξi ,ηi ,ζ i )(ΔSi )xy λ→0 i =1 Σ 义
Σ
:
r 以速度 v = { P , Q , R } 穿过 Σ 指定侧的流体的流量 .
目 回 上 下 停
2. 计算法
(1)
∫∫ f ( x , y, z ) d S 的计算
Σ
方法： 1°性质 2°对称性的利用
① 面对称性 (被积函数有相应 的奇偶性) ② 轮换对称性
3°直接法(化为重积分)
目
回
上
下
停
通量
Φ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
r ∂P ∂ Q ∂R + + 散度 divA = ∂x ∂ y ∂ z
环流量 Γ = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
r i ∂ ∂x P
r j ∂ ∂y Q
r k ∂ ∂z R
旋度
r ∂R ∂Q r ∂P ∂R r ∂Q ∂P r rotA = ( − )i + ( − ) j + ( − )k ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
目 回 上 下 停
=
二、常考题型
1. 对称性的利用 例1 计算 ∫∫ | xyz | dS ,
Σ
z
其中 Σ 为抛物面 z = x 2 + y 2 （ 0 ≤ z ≤ 1）.
解 依对称性知：
抛物面 z = x 2 + y 2 关于 yoz 面， zox 面对称，
被积函数 xyz 关于 x , y为偶函数
∫
= 288 π.
目
回
上
下
停
例6
求F ( t ) =
x2 + y + z =t
f ∫∫ 2 ( x2, y, z )dS , 其中 2
x2 + y2 , x2 + y2 .
⎧ x 2 + y 2 ,当 z ≥ ⎪ f ( x, y, z) = ⎨ ⎪ 0, 当z< ⎩
解 将x 2 + y 2 + z 2 = t 2分成
D xy
目 回 上 下 停
② Σ是母线 // z轴的柱面时 ,
I = ∫∫ R( x , y , z ) d x d y = 0
Σ
z O y
4°两类曲面积分的关系 5°投影转换法
x
cos α d xd y = − fx d xd y d y d z = cosα d S = cos γ cos β d xd y = − fy d xd y d z d x = cos β d S = cos γ d x d y = cos γ d S
15 = − π. 2
z (方法3) 高斯公式 Σ不封闭，补面： Σ1 : z = 1, 下侧
Σ 2 : z = 2, 上侧 Σ + Σ1 + Σ 2
I =(
Σ2 2 Σ1 1 O x
Σ
y
封闭，取外侧 .
Σ+Σ1 + Σ2
∫∫
−
Σ1 +Σ2
)( ydydz − xdzdx + z 2dxdy) ∫∫
∫∫ ( y, − x, z
Σ
2
)⋅(
−x x +y
2 2
,
−y x +y
2 2
,1 )dxdy
= ∫∫ z 2dxdy
∑
Σ： = x 2 + y 2 (1 ≤ z ≤ 2),下侧 z
2
= − ∫∫ ( x + y )dxdy
2 D xy
= −∫
2π
0
dθ ∫ ρ 2 ⋅ ρ dρ
1
2
D xy : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4
= ± ∫∫ R[ x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
目
回
上
下
停
对弧长的 对弧长的 曲线积分 曲线积分
对面积的 对面积的 曲面积分 曲面积分
定定 义义
曲曲 线线 积积 分分
定定 义义
联 系
计计 算算
联 系
计计 算算
曲曲 面面 积积 分分
Σ
= ∫∫ [ P ⋅ ( − f x ) + Q ⋅ ( − f y ) + R]dxdy
Σ
=
=
∫∫ ( P , Q, R) ⋅ (− f x , − f y , 1) dxdy
Σ
向量点积法
, 1 ) d xd y
∫∫ ( y,− x, z
Σ
2
)⋅ (
−x x +y
2 2
,
−y x +y
2 2
I=
第十章(2)
曲面积分
一、主要内容
曲面积分 1. 背景
(1)
∫∫ f ( x, y, z ) d S
Σ
( f ( x, y, z ) ≥ 0 )
1) 以f (x,y,z )为面密度的曲面构件的质量； 2) 当 f (x, y, z) ≡1 时， (2)
∫∫ dS 为 Σ的面积 .
Σ
∫∫ P d y d z + Q d z d x + R d x d y
∫∫ z d S ,
Σ
∑ 是柱面 x 2 + y 2 = 4介于0 ≤ z ≤ 6的部分 .
解 应当将柱面 ∑ 投影到 yOz 或 xOz 平面上 .
由对称性，只需算柱面在第一卦限 部分 ∑1 的4倍. z ∑1 在yOz面上的投影 H D : 0 ≤ y ≤ 2,0 ≤ z ≤ 6.
∑1 方程x = 4 − y 2 , −y 则x y = , x x = 0得 2 4− y