九年级数学下册 28.3 用频率估计概率讲解与例题 沪科版

用频率估计概率
1．用频率估计概率
(1)在我们的日常生活中存在着大量随机事件，我们已经学习了用列表法和画树状图法求某些随机事件发生的概率，但是当试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，可通过用频率估计某些随机事件发生的概率的大小．
(2)随机事件的概率虽然是随机的、无法预测的，但随着大量重复试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率逐渐稳定到某一个数值．正因为不确定现象发生的频率有这种趋于稳定的特点，我们可以用平稳时的频率估计这一随机事件在每次试验时发生的机会的大小．
(3)某一随机事件发生的频率无限地接近于理论概率．
一般地，在大量重复试验下，随机事件A 发生的频率m n (这里n 是总试验次数，它必须相当大，m 是在n 次试验中事件A 发生的次数)会稳定到某个常数p .于是，我们用p 这个常数表示事件A 发生的概率，即P (A )＝p .
用频率估计某些随机事件发生的概率的大小时，试验次数应足够多．
【例1】六一儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘
的次数n
100 150 200 500 800 1 000 落在“铅笔”区
域的次数m
68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区
域的频率m
n
0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 ．．．
A ．当n 很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70
B ．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70
C ．如果转动转盘2 000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次
D ．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒
解析：由表中提供的信息，我们可以知道，当n 很大时，指针落在“铅笔”区域的频率趋于0.70，由此，由频率与概率之间的关系可知，假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，如果转动转盘2 000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有2 000次×(1－0.7)＝600次，而将转盘转动10次，却不一定有3次获得文具盒．由表中提供的信息可知，只有“转动转盘10次，一定有3次获得文具盒”的判断不一定正确，故应选D ．
答案：D
2．运用随机事件出现的频率估计随机事件发生的概率大小
在随机事件中，虽然每次试验的结果都是随机的、无法预测的，但是不确定事件的发生并非完全没有规律．随着试验次数的增加，隐含的规律会逐渐显现，事件出现的频率会逐渐稳定到某一个值．大量试验表明：当试验次数足够多时，事件A 发生的频率会稳定到它发生的概率的附近，所以，我们常用频率估计事件发生的概率．用频率估计事件发生的概率时，需要说明以下几点：
(1)频率和概率是两个不同的概念，二者既有区别又有联系．事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近．
(2)通过试验用频率估计概率的大小，方法多种多样，但无论选择哪种方法，都必须保证试验应在相同的条件下进行，否则结果会受到影响．在相同条件下，试验的次数越多，就越有可能得到较准确的估计值，但每个人所得的值并不一定相同．
(3)频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的．如随机抛掷一枚硬币时，理论上“落地后国徽面朝上”发生的概率为12
，可抛掷1 000次硬币，并不能保证落地后恰好有500次国徽面朝上，但经大量的重复试验发现，
“落地后国徽面朝上”发生的频率就在12
附近波动． (4)事件的概率需要用稳定时的频率来估计．它需要做大量的试验才能较准确．需要注意的是一次试验的结果是随机的、无法预测的，不受概率的影响．
(5)我们不但可以运用事件出现的频率来估计这一事件在每次试验中发生概率的大小，同样，当我们预知某一事件在每次试验中发生的概率大小的值，就可以知道当试验次数很大时，这一事件出现的频率会逐渐接近于这个概率值，此外还应补充的一点是，虽然用试验的方法可以帮助我们估计随机事件发生的机会的大小，但有时恰好没有相关实物，或者用实物进行试验困难很大时，我们就需要用替代物进行模拟试验．
进行模拟试验时应注意：①模拟试验的多样性，即同一试验可以有多种多样
的替代物；②模拟试验必须在相同的条件下进行．
【例2－1】小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
(1)计算“3(2)小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大．”小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
(3)小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树形图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
解：(1)“3点朝上”出现的频率是660＝110，“5点朝上”出现的频率是2060＝13
. (2)小颖的说法是错误的．这是因为，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近．
小红的说法也是错误的，因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次．
(3)列表如下：
P (点数之和为3的倍数)＝1236＝1
3
.
【例2－2】在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率m
n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近__________．
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是__________，摸到黑球的概率是__________．
(3)试估计口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？
(4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了．这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品．．．．．．．．．．．)？请你应用统计与概率的思想和方法．．．．．．．．．．．．．解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．
解：(1)0.6 (2)0.6 0.4
(3)∵20×0.6＝12,20×0.4＝8，∴估计口袋中有黑球8个，白球12个．
(4)①先从不透明的口袋里摸出a 个白球，都涂上颜色(如黑色)，然后放回口袋里，搅拌均匀；②将搅匀后的球从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断大量重复n 次，记录摸出黑球频数为b ；③根据用频数估计概率的方法可得出白球数为an b
.
3．用频率估计概率的应用
通过大量试验，估计概率，解决现实问题，根据频率与概率的关系，通过大量试验，估计事件发生的概率，认定这个概率等于其理论概率，从而估计所需数据．也可通过抽样调查估计概率，通过多次抽样调查，求出样本中被调查对象与总体的比值的平均水平，据此估计所需数据．
如，王老汉为了与客户签订购销合同，对自己的鱼塘中的鱼的总质量进行估计．第一次捞出100条鱼，称得质量约为184 kg ，并将每条鱼都做上记号，再放回鱼塘中．当它们混合于鱼群后，又捞出200条，称得质量为416 kg ，且有记号的鱼有20条．
如果设鱼塘中有x 条鱼，这时估计鱼塘中的鱼满足100x ＝20200
.从而求得鱼塘中鱼的总条数，进一步可对鱼的总质量进行估计．
第一次打捞的鱼平均质量为184÷100＝1.84(kg)．
第二次打捞的鱼中没有做记号的鱼有(200－20)条，总质量为416－1.84×20＝379.2(kg)．
∴鱼塘中的每条鱼的平均质量为(184＋379.2)÷(200－20＋100)≈2.011(kg)．
因此，鱼塘中鱼的总质量约为2.011×1 000＝2 011(kg)．
在统计的过程中，为了使所得的结果比较准确、减少误差，应将统计过程的步骤细化，例如上述过程中求每条鱼的平均质量．求鱼塘中每条鱼的平均质量，还会出现如下结果：(184＋416)÷(100＋200)＝2(kg)．
这种结果不如上面的结果准确．但在实际生活中利用(184＋416)÷(100＋200)，求平均质量还是很实用的．
再者，像本题这样不宜多次试验或不可能多次试验的实际问题，必须利用样本估计总体．【例3－1】在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(如图，转盘被平均分成16份)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．
(1)求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
(2)如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．
分析：这是一道概率与统计知识综合应用的问题，顾客每转动一次转盘，指针落在每个区域的机会是均等的，而获得50元、30元、20元的购物券的机会要看各种颜色区域的分布情况，因为转盘被平均分为16份，所以根据各种颜色区域的分布情况就可以计算出“每转动一次转盘所获购物券金额的平均数”，这样就可以做出“选择转转盘还是直接获得购物券”的判断了．
解：(1)50×1
16＋30×
2
16
＋20×
4
16
＝11.875(元)．
(2)∵11.875元＞10元，∴选择转转盘．
【例3－2】研究“掷一个图钉，针尖朝上”的概率，两个小组用同一个图钉做试验进掷图钉的次数50100200300400
钉尖朝上的次数第一小组233979121160 第二小组244181123164
(1)
(2)你认为哪一个小组的结果更准确？为什么？
解：(1)第一小组所得的概率是0.4，第二小组所得的概率是0.41.
(2)不知道哪个更准确．因为试验数据可能有误差，不能确定误差偏向(这两个小组的试验条件可能不一致)．。