专题09 数列不等式的证明与求解参数(精编版)

专题09 数列不等式的证明与求解参数
◆题型一:数列不等式的证明 方法解密:
对于既不含参数也无需放缩的数列不等式,解题思路较为简单.通过数列求和的方法,错位相减或者裂项相消即可证明.大可分为两种题型,一是数列不等式的证明,二是通过不等式求解n 的取值范围.下面我们来看下数列不等式证明的例题.
【经典例题1】已知等比数列{}()n a n N *∈为递增数列，且2
36324,522==+a a a a a ．
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()42
n n
n b n N a *-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：6n S <．
【经典例题2】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()2
2221232341n c c c n c n +++
++=．
(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；
(2)设数列()()12
21log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪
⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．
【经典例题3】已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若13
2
a =，且()1122n n S S S n n *-≥∈N ，
，，成等差数列． (1)求证：数列1n S 是等比数列； (2)记数列1n S 的前n 项和为n T ，求证：211
43
n T ≤<．
总结:掌握此题型的关键是对数列求和,错位相减以及裂项相消有较为熟练的掌握与应用.以及要对裂项相消的常见的变换形式有一定的了解.在稍加练习的情况下即可掌握,难度不大.接下来看下通过不等式求解n 的取值范围的相关题型.
【经典例题4】等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且3616a a +=，981S =． (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设数列121n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若2
15n T >，求n 的最小值．
【练习1】等差数列{}n a 中，前三项分别为,2,54x x x -，前n 项和为n S ，且2550k S =. (1)求x 和k 的值； (2)求n T =
123
1111n
S S S S ++++ (3)证明: n T 1<
【练习2】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，342n n S a =-， (1)求数列{n a }的通项公式； (2)设33log 4n
n a b =，n T 为数列12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和.证明：12n T ≤<
【练习3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*
214n n S a n +=∈N ，数列{}n b 为等差数列，112b a =，且
()5435b b b =-．
(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)对任意的正整数n ，有2
12
n n n n n b c b b a +++=，求证：121n c c c ++⋅⋅⋅+<．
【练习4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，24a =，()112322n n n S S S n +-+=-≥. (1)证明：数列{}2n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
(2)记112n n n n b a a -+=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：11
123
n T ≤<.
◆题型二:数列不等式求解参数 方法解密:
对于此类含参数不等式题型,大部分可以通过分离参数等方式转化为最值问题.对于求最值,需要分析单调性,函数
类型可通过运算法则或者求导进行判断.数列可通过作差法进行判断.即+10n n a a ->对*n ∈N 恒成立,数列单调递增.+10n n a a -<对*n ∈N 恒成立,数列单调递减.
含参不等式问题又可以分为恒成立问题和存在性(有解)问题. (1) ( ) x D f x a ∀∈<恒成立，则max ()f x a < (2) ( ) x D f x a ∀∈>恒成立，则min ()f x a > 下面看一下有关恒成立问题的例题:
【经典例题1】已知23n a n n =+，若2n
n a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是_______．
【经典例题2】已知数列{}n a 满足114
a =，()110n n n n n a a a a a ++-=≠且12231n n n S a a a a a a +=+++．若对任意8n ≥，
*n ∈N ，不等式2
1
n S λ>
+恒成立，则正整数λ的最小值为______．
分离参数的关键是需要求谁的值以及范围,就将谁分离出来.然后观察是恒成立还是存在性问题,两种问法对于最值的选择是不同的.接下来是有关存在性问题的例题:
【经典例题3】数列{an }的通项公式为an ＝3n ，记数列{an }的前n 项和为Sn ，若*N x ∃∈使得()
3
362n S k n +≥-成立，
则实数k 的取值范围是______．
【经典例题4】已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且23()2
n n n
S n N *+=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n T 为数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在*n N ∈，使得10n n T a λ+-≥成立，求实数λ的取值范围．
【练习1】设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知12327a a a =，581a =，若存在m R ∈，使得272n n S a +≤12
m -成立，则m 的最小值为___．
【练习2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112
a =，当2n ≥时，2
n n n n S a S a =-. (1)求n S ；
(2)设数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()292n
n T n λ≤+⋅恒成立，求λ的取值范围.
【练习3】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，6
3
28S S =，数列{}n b 满足()33log 1n n b a =+． (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)若对任意的*n ∈N ，3n n b a λ<恒成立，求实数λ的取值范围．
【练习4】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若对任意的*N n ∈，不等式()1311n S n λ⋅+≥-恒成立，求实数λ的取值范围．。