高中数学第2章推理与证明章末小结与测评课件选修12高二选修12数学课件
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高中同步新课标·数学
第八页，共三十八页。
一、填空题(本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分， 把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市．
答案：n2＋5n＋6(n∈N*)
第二十四页，共三十八页。
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14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三
角形数 1,3,6,10，…，第 n 个三角形数为nn2＋1＝12n2＋12n.
记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分 k 边
形数中第 n 个数的表达式：
答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大
第十一页，共三十八页。
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3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的 结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段 论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和 推理形式有关 解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一 定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论 一定也不正确．故②错误．
第十九页，共三十八页。
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解析：如图，设 P(x，y)，由xa22＋by22＝1 知 A(a，b)，B(－a，b)，由OP ＝mOA＋
n
OB
可
得
x＝m－na， y＝m＋nb，
代
入
x2 a2
＋
y2 b2
＝1 可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即 m2＋n2＝12，所以
m2＋2 n2＝14，即 m2，n2 的等差中项为14.
答案：14
第二十页，共三十八页。
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11．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC＝2 2.过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 A1 ；过点 A1 作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3 ；…，依此类推．设 BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝ a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.
由此可判断乙去过的城市为________．
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第九页，共三十八页。
解析：由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市，乙去过 A 城市或 C 城市，结合乙的回答可得乙去过 A 城市． 答案：A
第十页，共三十八页。
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2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到 空间，可以得到的结论是________． 解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类 比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球 的体积最大．
答案：1 000
第二十六页，共三十八页。
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二、解答题(本大题共 6 个小题，共 90 分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 14 分)设 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
1a＋1b＋a1b≥8.
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1. ∴1＝a＋b≥2 ab， ab≤12，ab≤14，
三角形数
N(n,3)＝12n2＋12n，
正方形数
N(n,4)＝n2，
五边形数
N(n,5)＝32n2－12n，
六边形数
N(n,6)＝2n2－n，
……
第二十五页，共三十八页。
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可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝________. 解析：N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以12为首项， 12为公差的等差数列；数列{bk}是以12为首项，－12为公差的等差 数列；所以 N(n,24)＝11n2－10n，当 n＝10 时，N(10,24)＝ 11×102－10×10＝1 000.
第七页，共三十八页。
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2．间接证明主要是反证法： 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推 理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明 的一种方法． 反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件 推出结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论， 而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
第十六页，共三十八页。
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8．已知 x，y∈R＋，当 x2＋y2＝________时，有 x 1－y2＋ y 1－x2＝1.
解析：要使 x 1－y2＋y 1－x2＝1， 只需 x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y 1－x2， 即 2y 1－x2＝1－x2＋y2. 只需使( 1－x2－y)2＝0， 即 1－x2＝y，∴x2＋y2＝1. 答案：1
解析：由题意知 T500＝2 004＝S1＋S2＋50…0 ＋S500，
则 T501＝3＋S1＋3＋S2＋5031＋…＋S500＋3
＝500×2 050041＋3×501＝2 003. 答案：2 003
第十八页，共三十八页。
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10．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，圆 x2＋y2 ＝r2(r＞0)内切于正方形 ABCD，任取圆上一 点 P，若OP ＝mOA＋nOB (m，n∈R)，则14是 m2，n2 的等差中项；现有一椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)内切于矩 形 ABCD，任取椭圆上一点 P，若OP ＝mOA＋nOB (m，n ∈R)，则 m2，n2 的等差中项为________．
第二十七页，共三十八页。
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∴a1b≥4当a＝12，b＝12时等号成立， 又1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥4.(当 a＝12，b＝12时等 号成立) ∴1a＋1b＋a1b≥8.
第二十八页，共三十八页。
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16．(本小题满分 14 分)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an＋1＝ 15n(n∈N*)，若 Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，bn＝ 6Tn－5nan，类比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方 法，求数列{bn}的通项公式． 解：因为 Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，① 所 以 5Tn ＝ a1·5 ＋ a2·52 ＋ a3·53 ＋ … ＋ an － 1·5n － 1 ＋ an·5n，② 由①＋②得：
立方体中 6＋8－12＝2，由此归纳可得 F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
第十三页，共三十八页。
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5．在平面上，若两个正三角形的边长比为 1∶2，则它们的 面积比为 1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱 长比为 1∶2，则它们的体积比为________． 1 解析：VV12＝313SS12hh12＝SS12·hh12＝14×12＝18.
章
知识网络
末
构建
小 结 与
核心要点 归纳
测 评
阶段质量 检测
第一页，共三十八页。
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第二页，共三十八页。
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第三页，共三十八页。
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一、合情推理和演绎推理 1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事 实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后 提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体， 个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理 是由一般到特殊的推理．
1 ·2x 2 2＋2x.
1＋ 1 ·2x
∴f(x)＋f(1－x)＝
2 2＋2x
＝
22，发现
f(x)＋f(1－x)正好是一个
定值，∴2S＝ 22×12.∴S＝3 2.
答案：3 2
第十五页，共三十八页。
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7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出 正四面体的一个性质为________． 解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在 的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各 正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个 侧面各正三角形的中心． 答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心
第十七页，共三十八页。
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9．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，令 Tn＝S1＋S2＋n …＋Sn，称
Tn 为数列 a1，a2，…，an 的“理想数”．已知数列 a1，a2，…，
a500 的“理想数”为 2 004，那么数列 3，a1，a2，…，a500
的“理想数”为________．
解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形 ABC 中， 斜边 BC＝2 2，所以 AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝ 2， A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1× 226＝14.
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第二十一页，共三十八页。
法二：求通项：等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC＝2 2， 所以 AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝ 2，…，An－1An＝an＋ 1＝sinπ4·an＝ 22an＝2× 22n，故 a7＝2× 226＝14. 答案：14
答案：①③④
第十二页，共三十八页。
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4．(陕西高考)观察分析下表中的数据：
多面体 三棱柱 五棱锥 立方体
面数(F) 5 6 6
顶点数(V) 6 6 8
棱数(E) 9 所满足的等式是_______．
解析：三棱柱中 5＋6－9＝2；五棱锥中 6＋6－10＝2；
答案：nn
第二十三页，共三十八页。
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13．如图，第 n 个图形是由正 n＋2 边形“扩展”而来(n＝ 1,2,3，…)，则第 n 个图形中共有________个顶点．
解析：设第 n 个图形中有 an 个顶点， 则 a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…， an－2＝n＋n·n， an＝(n＋2)2＋n＋2＝n2＋5n＋6.
答案：1∶8
第十四页，共三十八页。
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6．设函数 f(x)＝2x＋1
，利用课本中推导等差数列前 2
n
项和
公式的方法，可求得 S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)
＋f(6)的值为________．
解析：∵f(x)＝2x＋1
2，f(1－x)＝21－x1＋
2＝2＋2x2·2x＝
第二十九页，共三十八页。
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6Tn＝a1＋(a1＋a2)·5＋(a2＋a3)·52＋…＋(an－1＋an)·5n－1＋ an·5n ＝1＋15×5＋152×52＋…＋15n－1×5n－1＋an·5n ＝n＋an·5n， 所以 6Tn－5nan＝n， 所以数列{bn}的通项公式为 bn＝n.
第五页，共三十八页。
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二、直接证明和间接证明 1．直接证明包括综合法和分析法： (1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺 着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒… ⇒Bn⇒B(A 为已经证明过的命题，B 为要证的命题)．它的 常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．
第二十二页，共三十八页。
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12．已知 x>0，不等式 x＋1x≥2，x＋x42≥3，x＋2x73≥4，…，
可推广为 x＋xan≥n＋1，则 a 的值为________．
解析：由
x＋
1 x
≥2，
x＋x42＝x＋x222≥3
，
x＋2x73 ＝
x＋
33 x3
≥4，…，可推广为 x＋nxnn≥n＋1，故 a＝nn.
第六页，共三十八页。
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(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的 充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知 想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定 义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻 辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要 证……只需……”或“⇐”．
第四页，共三十八页。
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2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确， 有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前 提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中 所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成 的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的 内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理 提供方向和思路．
第八页，共三十八页。
一、填空题(本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分， 把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市．
答案：n2＋5n＋6(n∈N*)
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14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三
角形数 1,3,6,10，…，第 n 个三角形数为nn2＋1＝12n2＋12n.
记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分 k 边
形数中第 n 个数的表达式：
答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大
第十一页，共三十八页。
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3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的 结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段 论”形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和 推理形式有关 解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一 定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论 一定也不正确．故②错误．
第十九页，共三十八页。
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解析：如图，设 P(x，y)，由xa22＋by22＝1 知 A(a，b)，B(－a，b)，由OP ＝mOA＋
n
OB
可
得
x＝m－na， y＝m＋nb，
代
入
x2 a2
＋
y2 b2
＝1 可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即 m2＋n2＝12，所以
m2＋2 n2＝14，即 m2，n2 的等差中项为14.
答案：14
第二十页，共三十八页。
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11．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC＝2 2.过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 A1 ；过点 A1 作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3 ；…，依此类推．设 BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝ a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.
由此可判断乙去过的城市为________．
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第九页，共三十八页。
解析：由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市，乙去过 A 城市或 C 城市，结合乙的回答可得乙去过 A 城市． 答案：A
第十页，共三十八页。
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2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到 空间，可以得到的结论是________． 解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类 比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球 的体积最大．
答案：1 000
第二十六页，共三十八页。
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二、解答题(本大题共 6 个小题，共 90 分．解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 14 分)设 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
1a＋1b＋a1b≥8.
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1. ∴1＝a＋b≥2 ab， ab≤12，ab≤14，
三角形数
N(n,3)＝12n2＋12n，
正方形数
N(n,4)＝n2，
五边形数
N(n,5)＝32n2－12n，
六边形数
N(n,6)＝2n2－n，
……
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可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝________. 解析：N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以12为首项， 12为公差的等差数列；数列{bk}是以12为首项，－12为公差的等差 数列；所以 N(n,24)＝11n2－10n，当 n＝10 时，N(10,24)＝ 11×102－10×10＝1 000.
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2．间接证明主要是反证法： 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推 理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明 的一种方法． 反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件 推出结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论， 而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
第十六页，共三十八页。
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8．已知 x，y∈R＋，当 x2＋y2＝________时，有 x 1－y2＋ y 1－x2＝1.
解析：要使 x 1－y2＋y 1－x2＝1， 只需 x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y 1－x2， 即 2y 1－x2＝1－x2＋y2. 只需使( 1－x2－y)2＝0， 即 1－x2＝y，∴x2＋y2＝1. 答案：1
解析：由题意知 T500＝2 004＝S1＋S2＋50…0 ＋S500，
则 T501＝3＋S1＋3＋S2＋5031＋…＋S500＋3
＝500×2 050041＋3×501＝2 003. 答案：2 003
第十八页，共三十八页。
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10．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，圆 x2＋y2 ＝r2(r＞0)内切于正方形 ABCD，任取圆上一 点 P，若OP ＝mOA＋nOB (m，n∈R)，则14是 m2，n2 的等差中项；现有一椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)内切于矩 形 ABCD，任取椭圆上一点 P，若OP ＝mOA＋nOB (m，n ∈R)，则 m2，n2 的等差中项为________．
第二十七页，共三十八页。
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∴a1b≥4当a＝12，b＝12时等号成立， 又1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥4.(当 a＝12，b＝12时等 号成立) ∴1a＋1b＋a1b≥8.
第二十八页，共三十八页。
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16．(本小题满分 14 分)已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an＋1＝ 15n(n∈N*)，若 Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，bn＝ 6Tn－5nan，类比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方 法，求数列{bn}的通项公式． 解：因为 Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，① 所 以 5Tn ＝ a1·5 ＋ a2·52 ＋ a3·53 ＋ … ＋ an － 1·5n － 1 ＋ an·5n，② 由①＋②得：
立方体中 6＋8－12＝2，由此归纳可得 F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
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5．在平面上，若两个正三角形的边长比为 1∶2，则它们的 面积比为 1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱 长比为 1∶2，则它们的体积比为________． 1 解析：VV12＝313SS12hh12＝SS12·hh12＝14×12＝18.
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末
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核心要点 归纳
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一、合情推理和演绎推理 1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事 实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后 提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体， 个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理 是由一般到特殊的推理．
1 ·2x 2 2＋2x.
1＋ 1 ·2x
∴f(x)＋f(1－x)＝
2 2＋2x
＝
22，发现
f(x)＋f(1－x)正好是一个
定值，∴2S＝ 22×12.∴S＝3 2.
答案：3 2
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7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出 正四面体的一个性质为________． 解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在 的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各 正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个 侧面各正三角形的中心． 答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心
第十七页，共三十八页。
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9．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，令 Tn＝S1＋S2＋n …＋Sn，称
Tn 为数列 a1，a2，…，an 的“理想数”．已知数列 a1，a2，…，
a500 的“理想数”为 2 004，那么数列 3，a1，a2，…，a500
的“理想数”为________．
解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形 ABC 中， 斜边 BC＝2 2，所以 AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝ 2， A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1× 226＝14.
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法二：求通项：等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC＝2 2， 所以 AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝ 2，…，An－1An＝an＋ 1＝sinπ4·an＝ 22an＝2× 22n，故 a7＝2× 226＝14. 答案：14
答案：①③④
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4．(陕西高考)观察分析下表中的数据：
多面体 三棱柱 五棱锥 立方体
面数(F) 5 6 6
顶点数(V) 6 6 8
棱数(E) 9 所满足的等式是_______．
解析：三棱柱中 5＋6－9＝2；五棱锥中 6＋6－10＝2；
答案：nn
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13．如图，第 n 个图形是由正 n＋2 边形“扩展”而来(n＝ 1,2,3，…)，则第 n 个图形中共有________个顶点．
解析：设第 n 个图形中有 an 个顶点， 则 a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…， an－2＝n＋n·n， an＝(n＋2)2＋n＋2＝n2＋5n＋6.
答案：1∶8
第十四页，共三十八页。
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6．设函数 f(x)＝2x＋1
，利用课本中推导等差数列前 2
n
项和
公式的方法，可求得 S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)
＋f(6)的值为________．
解析：∵f(x)＝2x＋1
2，f(1－x)＝21－x1＋
2＝2＋2x2·2x＝
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6Tn＝a1＋(a1＋a2)·5＋(a2＋a3)·52＋…＋(an－1＋an)·5n－1＋ an·5n ＝1＋15×5＋152×52＋…＋15n－1×5n－1＋an·5n ＝n＋an·5n， 所以 6Tn－5nan＝n， 所以数列{bn}的通项公式为 bn＝n.
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二、直接证明和间接证明 1．直接证明包括综合法和分析法： (1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺 着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒… ⇒Bn⇒B(A 为已经证明过的命题，B 为要证的命题)．它的 常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．
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12．已知 x>0，不等式 x＋1x≥2，x＋x42≥3，x＋2x73≥4，…，
可推广为 x＋xan≥n＋1，则 a 的值为________．
解析：由
x＋
1 x
≥2，
x＋x42＝x＋x222≥3
，
x＋2x73 ＝
x＋
33 x3
≥4，…，可推广为 x＋nxnn≥n＋1，故 a＝nn.
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(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的 充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知 想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定 义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻 辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要 证……只需……”或“⇐”．
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2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确， 有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前 提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中 所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成 的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的 内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理 提供方向和思路．