2022湖南株洲中考数学试卷+答案解析

2022年湖南株洲中考数学
一、选择题(本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分)
1.－2的绝对值等于()
A.2
B.1
2C.－1
2
D.－2
2.在0、1
3
、－1、√2这四个数中，最小的数是()
A.0
B.1
3
C.－1
D.√2
3.不等式4x－1<0的解集是()
A.x>4
B.x<4
C.x>1
4D.x<1
4
4.某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为()
A.63
B.65
C.66
D.69
5.下列运算正确的是()
A.a2·a3=a5
B.(a3)2=a5
C.(ab)2=ab2
D. a 6
a2
=a3(a≠0)
6.在平面直角坐标系中，一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为 ()
A.(0，－1)
B.(−1
5,0) C.(1
5
,0) D.(0，1)
7.对于二元一次方程组{y=x−1,①
x+2y=7,②
将①式代入②式，消去y可以得到
()
A.x+2x－1=7
B.x+2x－2=7
C.x+x－1=7
D.x+2x+2=7
8.如图所示，等边△ABC的顶点A在☉O上，边AB、AC与☉O分别交于点
D、E，点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE 的度数为()
A.115°
B.118°
C.120°
D.125°
9.如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作
CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定
．．．正确的是()
CE
A.OB=1
2
B.△ACE是直角三角形
C.BC=1
AE
2
D.BE=CE
10.已知二次函数y=ax2+bx－c(a≠0)，其中b>0、c>0，则该函数的图象可能为
()
A B C D
二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
11.计算：3+(－2)=.
12.因式分解：x2－25=.
13.某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖。

若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率
是。

(用最简分数表示)
14.A市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：
则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为.
15.如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO=度。

16.如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该
的图象经过点矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6。

若反比例函数y=k
x
C，则k的值为。

17.如图所示，已知∠MON=60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM 上，顶点E在射线ON上，则∠AEO=度。

18.中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”。

“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)”，如图所示。

问题：此图中，正方形一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，☉O的半径为2丈，则BN的长度为
丈。

三、解答题(本大题共8小题，共78分) 19.( 6分)计算：(－1)2 022+√9－2sin 30°.
20.( 8分)先化简，再求值：(1+1
x+1)·x+1
x 2+4x+4
，其中x =4.
21.( 8分)如图所示，点E 在四边形ABCD 的边AD 上，连接CE ，并延长CE 交BA 的延长线于点F ，已知AE =DE ，FE =CE 。

(1)求证：△AEF ≌△DEC ；
(2)若AD ∥BC ，求证：四边形ABCD 为平行四边形。

22.( 10分)如图(Ⅰ)所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A 处沿线段AC 至山谷点C 处，再从点C 处沿线段CB 至山坡②的山顶点B 处。

如图(Ⅱ)所示，将直线l 视为水平面，山坡①的坡角∠ACM =30°，其高度AM 为0.6千米，山坡②的坡度i =1∶1，BN ⊥l 于N ，且CN =√2千米。

(1)求∠ACB 的度数；
(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程。

图Ⅰ
图Ⅱ
23.( 10分)某校组织了一次“校徽设计”竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票.某作品的评比数据统计如下：
记“专业评委给分”的平均数为x.
(1)求该作品在民主测评中得到“不赞成
．．．”的票数；
(2)对于该作品，问x的值是多少?
(3)记“民主测评得分”为y，“综合得分”为S，若规定：
①y=“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×(－1)分；
②S=0.7x+0.3y.
求该作品的“综合得分”S的值。

24.( 10分)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，点A、B分别在函数
y1=2
x (x<0)、y2=k
x
(x>0，k>0)的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，
BC⊥y轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为－2。

(1)求点A的横坐标；
(2)记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S。

25.( 13分)如图所示，△ABC的顶点A、B在☉O上，顶点C在☉O外，边AC 与☉O相交于点D，∠BAC=45°，连接OB、OD，已知OD∥BC.
(1)求证：直线BC是☉O的切线；
(2)若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD.
①求证：△ABD∽△DBE；
②若AB·BE=6，求☉O的半径的长度。

26.( 13分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).
(1)若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点(1，1)，求c的值；
(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(x1，0)、B(x2，0)，其中x1<0<x2、|x1|>|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y 轴相交于点P，且满足tan∠ABE=3
4。

①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；
②若NP=2BP，令T=1
a2+16
5
c，求T的最小值。

阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=－b
a ，x1x2=c
a
”。

此关系通
常被称为“韦达定理”。

2022年湖南株洲中考数学
（参考答案）
1.A由负数的绝对值是它的相反数知，－2的绝对值等于
2.
2.C根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”知，题中四个数中，最小的数是－1.
3.D移项，得4x<1；系数化为1，得x<1
4
.
4.B将这组数据由小到大排列为55，63，65，67，69，所以这组数据的中位数是6
5.
5.A因为a2·a3=a2+3=a5，所以A选项运算正确；因为(a3)2=a3×2=a6，所以B选项
运算不正确；因为(ab)2=a2b2，所以C选项运算不正确；因为a 6
a2
=a6－2=a4，所以D 选项运算不正确.
6.D∵当x=0时，y=1，∴一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为(0，1).
7.B将①式代入②式，得x+2(x－1)=7，所以x+2x－2=7.
8.C∵四边形EFDA是☉O的内接四边形，
∴∠EFD+∠A=180°，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，
∴∠EFD=180°－60°=120°.
9.D∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO=1
2
AC，AC⊥BD，∵CE∥BD，
∴∠ACE=∠AOB=90°，BO=1
2
CE.
∴△ACE为直角三角形，
∴BC=1
2
AE.
∴选项A、B、C均正确，D无法判断.
10.C ∵c >0，∴－c <0，∴二次函数y =ax 2+bx －c (a ≠0)的图象与y 轴的交点位于y 轴的负半轴，故排除A 、D ；对于B ，由函数图象易知a >0，∵b >0，∴－b
2a <0，所以对称轴位于y 轴左侧，易知B 错误；同理，易知C 正确. 11. 答案 1
解析 3+(－2)=+(3－2)=1. 12.
答案 (x +5)(x －5)
解析 利用平方差公式，得x 2－25=(x +5)(x －5). 13. 答案 1
3
解析 ∵所有可能出现的结果数为6，其中能中奖的结果数为2，每种结果出现的可能性相同， ∴P (能中奖)=26=1
3. 1
4. 答案 40%
解析 根据各种人员占总人数的百分比之和为1，得该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为1－4%－56%=40%. 15. 答案 15°
解析 ∵OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，OM =ON ， ∴BO 平分∠ABC ， ∴∠OBM =∠OBN ，
∵∠ABC =30°，∴∠ABO =15°. 16. 答案 3
解析 如图所示，设BC 与x 轴交于点E ，
∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，
∴四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC的面积是3.
设C(m，n)，则OE=m，CE=n，∴mn=3，
的图象上，
∵点C在反比例函数y=k
x
∴n=k
，∴k=mn，
m
∴k=3.
17.
答案48
解析∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB=(5－2)×180°
=108°，
5
∵∠EAB是△AEO的外角，
∴∠AEO=∠EAB－∠MON=108°－60°=48°.
18.
答案(8－2√2)
解析如图，设正方形的一边与☉O的切点为C，连接OC，则OC⊥AC，
∵四边形是正方形，AB是对角线，
∴∠OAC=45°，
∴OA=√2OC=2√2(丈)，
∴BN =AB －AN =10－2√2－2=(8－2√2)丈. 19.
解析 原式=1+3－2×1
2=1+3－1=3.
20.
解析 原式=(x+1
x+1+1
x+1)·x+1(x+2)2
=x+2
x+1·x+1
(x+2)2
=
1x+2，
把x =4代入得，原式=1
4+2=1
6. 21.
证明 (1)在△AEF 和△DEC 中，
{AE =DE,
∠AEF =∠DEC,FE =CE,
∴△AEF ≌△DEC (SAS). (2)∵△AEF ≌△DEC ，
∴∠AFE =∠DCE ，∴AB ∥CD ， 又∵AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 为平行四边形. 22.
解析 (1)∵山坡②的坡度i =1∶1， ∴CN =BN ，
又∵BN ⊥CN ，∴∠BCN =45°， ∴∠ACB =180°－30°－45°=105°.
(2)在Rt △ACM 中，∠AMC =90°，∠ACM =30°，AM =0.6千米，∴AC =2AM =1.2千米.
在Rt △BCN 中，∠BNC =90°，∠BCN =45°，CN =√2千米，∴BC =√2CN =2千米， ∴该登山运动爱好者走过的路程为AC +BC =1.2+2=3.2(千米). 答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米.
23.
解析 (1)该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数为50－40=10(张). 答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数是10张.
(2)x =88+87+94+91+905=90(分).
答：x 的值是90分.
(3)y =40×3+10×(－1)=110(分).
S =0.7x +0.3y =0.7×90+0.3×110
=96(分).
答：该作品的“综合得分”S 的值为96分.
24.
解析 (1)将y =－2代入y 1=2x (x <0)中，
得－2=2x ，解得x =－1，
∴点A 的横坐标为－1.
(2)由题意可得B (2,k 2)，
∵AC ⊥x 轴，BC ⊥y 轴，
∴C (−1,k 2)，
∴S =S △ABC －S △PCQ
=12AC ·BC －12PC ·CQ
=12(2+k 2)(2+1)－12×k 2×1
=3+3k 4－k 4
=3+k 2. 25.解析 (1)证明：∵∠BAC =45°，
∴∠BOD =2∠BAC =90°，∴OD ⊥OB ，
∵OD ∥BC ，∴CB ⊥OB ，
∵OB 为☉O 的半径，
∴直线BC 是☉O 的切线.
(2)①证明：∵∠BOD=90°，OB=OD，∴∠ODB=45°，∴∠BAC=∠ODB，∵∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE.
②∵△ABD∽△DBE，
∴AB
BD =BD
BE
，∴BD2=AB·BE，
∵AB·BE=6，∴BD2=6，
∵OD2+OB2=2OB2=BD2，
∴OB2=3，
∴OB=√3或－√3(舍去)，
即☉O的半径的长度为√3.
26.分析(1)将点(1，1)代入y=x2+3x+c.从而求出结果；
(2)①(解法一)根据题意，表示出AE、AB，根据tan∠ABE=AE
AB =3
4
即可得出结果；
②根据OP∥MN得NP
BP =OM
OB
，从而求出b的值，进而得到a、c之间的关系，代入
T=1
a2+16
5
c即可求出T的最小值.
解析(1)将a=1，b=3代入y=ax2+bx+c(a>0)，得y=x2+3x+c，
将(1，1)代入y=x2+3x+c，
得1=12+3×1+c，解得c=－3.
(2)①∵(x2－x1)2=(x1+x2)2－4x1x2=b 2−4ac
a2
，
∴x2－x1=√b2−4ac
a
，
∴AB=√b2−4ac
a
.
∵抛物线的顶点坐标为(−b
2a ,4ac−b2
4a
)，
∴AE=b 2−4ac
4a
，
∴tan∠ABE=AE
AB =
b2−4ac
4a
√b2−4ac
a
=3
4
.
∴√b 2−4ac =3，
∴b 2－4ac =9.
②解法一：∵b 2－4ac =9，
∴x 2=−b+32a =OB ，
∵OP ∥MN ，
∴NP BP =OM OB =2，
∴OM ∶OB =b 2a ∶−b+32a =2，∴b =2，
∴b 2－4ac =22－4ac =9，
∴c =－54a ，
∴T =1a 2+165·(−54a )=(1a −2)2－4， ∴当a =12时，T 取得最小值，最小值为－4. 解法二：设B (t ，0)，∵OP ∥MN ，∴NP BP =OM OB =2， ∴OM =2OB.
由二次函数图象的性质可知MA =MB ， ∴MA =MB =OM +OB =3OB ，
∴OA =MA +OM =5OB ，则A (－5t ，0)， ∴y =a (x －t )(x +5t )=a (x +2t )2－9at 2， 即顶点坐标为(－2t ，－9at 2)， ∴|－9at 2|=AE =34AB =34·[t －(－5t )]=92t ， 解得1a =2t ，
又∵x 1x 2=c a =t ·(－5t )=－5t 2， ∴c =－5t 2·a =－5t 2·12t
=－52t ， ∴T =1a 2+165c =(2t )2+165·(−52t)=4(t －1)2－4， ∴当t =1时，T 取得最小值，最小值为－4.。