2016年广东省广州市白云区中考数学一模试卷(解析版)

2016 年广东省广州市白云区中考数学一模试卷 ( 分析版 )
2016 年广东省广州市白云区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，满分
30 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）
1．﹣ 0.5 的相反数是（）A．0.5
B．﹣ 0.5 C．﹣ 2 D．2
2．已知点 C 是线段 AB 上的一点，不可以确立点C 是 AB 中点的条件是（）
A．AC=CB B．AC= AB C．AB=2BC D．AC +CB=AB
3．以下各组的两项是同类项的为（）A．3m2n2与﹣ m2n3 B．xy 与 2yx C．53与 a3 D．3x2y2与 4x2z2
4．如图，直线 AB 和 CD 订交于点 O，若∠AOD=134 °，则∠ AOC 的度数为（）
A．134°B．144°C．46° D．32°
5．一个正方形的面积为 2，则它的边长是（）A．4 B．± C．﹣ D．
6．为了认识一批电视机的使用寿命，从中抽取
100 台电视机进行试验，这个问题的样本是
（）
A ．这批电视机
B ．这批电视机的使用寿命
C ．抽取的 100 台电视机的使用寿命
D ．100 台
7．计算（﹣ 2x 1）（﹣ 3x
2）的结果为（
）
+
A ．6x 3
1 B ．6x 3﹣3 C ．6x 3﹣3x 2
D ．6x
3
3x 2
+
+
8．若一个多边形的每个外角都等于 45°，则它
是（
）
A ．六边形
B ．八边形
C ．九边形
D ．十二边形
9．如图，正比率函数 y 1
=k 1
x 和反比率函数 y 2
= 的图象都经过点 A （2，﹣ 1），若 y 1
＞y 2
，则 x
的取值范围是（
）
A ．﹣ 1＜x ＜0
B ．x ＞2
C ．﹣ 2＜x ＜0 或 x ＞2
D ．x ＜﹣ 2 或 0＜x ＜2
10．如图，△ ABC 周长为 36cm，把其边 AC 对折，使点 C、A 重合，折痕交 BC 边于点 D，交 AC 边于点 E，连接 AD ，若 AE=6cm ，则△ ABD
的周长是（）
A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm
二、填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，满
分18分）
11．D、E、F 分别是△ ABC 各边的中点．若△ABC 的周长是 12cm，则△ DEF 的周长是
______cm．
12．平面直角坐标系下有序数对（2x﹣y，x+y）表示的点为（ 5，4），则 x=______．y=______．
13．化简=______．
14．直线 y=kx +b 中， k＜0，b＞0，则此直线经
过第 ______象限．
15．假如菱形两邻角之比为 1：2，较短的对角
线长为 8，则其周长为 ______．
16．在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的极点 A 的坐标为，若将△ OAB 绕 O 点，逆时针旋转 60°后，B 点抵达 B′点，则点 B′的坐标是______．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式组．
18．如图，E、F 分别是?ABCD 的边BC 、AD 上的两点，∠ AEB= ∠FCB ．求证： BE=DF ．
19．如图是平面直角坐标系及此中的一条直线，该直线还经过点 C（3，﹣ 10）．
（1）求这条直线的分析式；
（2）若该直线分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，点 P 在 x 轴上，且 S△PAB=6S△OAB，求点 P 的坐标．
20．图①是某手机生产厂第一季度三个月产量统
计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比率散布统计图，统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．
（1）该厂二月份生产的手机产量占第一季度
的比率为 ______%；
（2）求该厂三月份生产手机的产量；
（3）恳求出图②中一月份圆心角的度数．
21．在一个不透明的袋子中装有三张分别标有1、2、3 数字的卡片（卡片除数字外完整相同）．（1）从袋中随意抽取一张卡片，则抽出的是
偶数的概率为 ______；
（2）从袋中随意抽取二张卡片，求被抽取的
两张卡片构成两位数是奇数的概率．
22．我国水资源比较缺少，人均水量约为世界人均水量的四分之一，此中西北地域缺水尤其严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个相同大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为
280cm，宽为 160cm（如图）．
（1）若水箱的底面积为 16000cm2，恳求出切去的小正方形边长；
（2）对（1）中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升？（注： 1 升水 =1000cm3水）
23．如图1，延伸⊙O 的直径AB 至点C，使得BC= AB ，点 P 是⊙ O 上半部分的一个动点（点P 不与 A 、B 重合），连接 OP，CP．
（1）∠ C 的最大度数为 ______；
（2）当⊙O 的半径为 3 时，△ OPC 的面积有没有最大值？如有，说明原由并求出最大值；若没有，请说明原由；
（3）如图2，延伸PO 交⊙O 于点D，连接DB ，当 CP=DB 时，求证： CP 是⊙ O 的切线．
24．已知，如图，抛物线 y=﹣x2+ax+b 与 x 轴从
左至右交于 A、 B 两点，与 y 轴正半轴交于点
C．设∠ OCB= α，∠ OCA= β，且 tanα﹣
tanβ =2，OC2=OA ?OB ．
（1）△ABC 能否为直角三角形？假如，请给出
证明；若不是，请说明原由；
（2）求抛物线的分析式；
（3）若抛物线的极点为 P，求四边形 ABPC 的面积．
25．如图：△ ABC 中，∠ C=45°，点 D 在 AC 上，且∠ ADB=60 °， AB 为△ BCD 外接圆的切线．
（1）用尺规作出△ BCD 的外接圆（保存作图印迹，可不写作法）；
（2）求∠ A 的度数；
（3）求的值．
2016 年广东省广州市白云区中考数学一模试卷
参照答案与试题分析
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，满分
30 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）
1．﹣ 0.5 的相反数是（）
A．0.5 B．﹣ 0.5 C．﹣ 2 D．2
【考点】相反数．
【剖析】依据只有符号不一样的两个数互为
相反数，可得答案．
【解答】解：﹣ 0.5 的相反数是 0.5，
应选： A．
2．已知点 C 是线段 AB 上的一点，不可以确立点C 是 AB 中点的条件是（）
A．AC=CB B．AC= AB C．AB=2BC D．AC +CB=AB
【考点】两点间的距离．
【剖析】依据线段中点的定义对每一项分别进
行剖析，即可得出答案．
【解答】解： A 、若 AC=CB ，则 C 是线段 AB 中点；
B、若 AC= AB ，则 C 是线段 AB 中点；
C、
若 AB=2BC ，则 C 是线段 AB 中点；
D、AC +BC=AB ，C 但是线段 AB 是随意一点，
则不可以确立 C 是 AB 中点的条件是 D．
应选 D．
3．以下各组的两项是同类项的为（）
A．3m2n2与﹣ m2n3 B．xy 与 2yx C．53与 a3 D．3x2y2与 4x2z2
【考点】同类项．
【剖析】依照同类项的定义回答即可．
【解答】解：A 、3m2n2与﹣ m2n3字母 n 的指数
不一样不是同类项，故 A 错误；
B、 xy 与 2yx 是同类项，故 B 正确；
C、53与 a3所含字母不一样，不是同类项，故C 错误；
D、3x2y2与 4x2z2所含的字母不一样，不是同类项，故D错
误．应选：
B．
第11页（共 40页）
4．如图，直线 AB 和 CD 订交于点 O，若∠
AOD=134 °，则∠ AOC 的度数为（）
A．134° B．144°C．46° D．32°
【考点】对顶角、邻补角．
【剖析】依据邻补角之和等于 180°进行计算即可．
【解答】解：∠ AOD +∠AOC=180 °，
∴∠ AOC=180 °﹣ 134°=46°，
应选： C．
5．一个正方形的面积为2，则它的边长是（）A．4 B．±C．﹣D．
【考点】算术平方根．
【剖析】依照算术平方根的定义和性质求解即
可．
【解答】解：设它的边长为x，则 x2=2，
所以 x=．
所以它的边长是．
应选： D．
6．为了认识一批电视机的使用寿命，从中抽取100台电视机进行试验，这个问题的样本是
（）
A．这批电视机
B．这批电视机的使用寿命
C．抽取的 100 台电视机的使用寿命
D．100 台
【考点】整体、个体、样本、样本容量．
【剖析】此题考察的是确立整体．解此类题需要注意“考察对象实质应是表示事物某一特点的数据，而非考察的事物．”．我们在划分整体、个体、样本、样本容量这四个观点时，第一找出考察的对象，从而找出整体、个体，再依据被采集数据的这一部分对象找出样本．
【解答】解：此题考察的对象是认识一批电视机的使用寿命，故样本是所抽取的100 台电视机的使用寿命．
应选： C．
7．计算（﹣ 2x+1）（﹣ 3x2）的结果为（）A．6x3+1 B．6x3﹣3 C．6x3﹣3x2 D．6x3+3x2【考点】单项式乘多项式．
【剖析】依照单项式乘多项式法例进行计算
即可．
【解答】解：原式 =6x3﹣3x2．
应选： C．
8．若一个多边形的每个外角都等于45°，则它是（）
A．六边形B．八边形C．九边形D．十二边
形
【考点】多边形内角与外角．
【剖析】因为多边形的外角和是 360°，正多边
形的每个外角都相等，且一个外角的度数为45°，由此即可求出答案．
【解答】解： 360÷45=8，则正多边形的边数为8，
应选 B．
9．如图，正比率函数 y1=k1 x 和反比率函数 y2=
的图象都经过点 A （2，﹣ 1），若 y1＞y2，则 x
的取值范围是（）
A．﹣ 1＜x＜0 B．x＞2 C．﹣ 2＜x＜0 或 x＞2 D．x＜﹣ 2 或 0＜x＜2
【考点】反比率函数与一次函数的交点问题．【剖析】依据对称性先确立它们的交点坐标，而后依据一次函数图象在反比率函数图象的上方，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，∵点 A 坐标（ 2，﹣ 1），又∵正比率函数 y1=k 1x 和反比率函数 y2= 都是对于原点对称，
∴它们的交点 A 、B 对于原点对称，
∴点 B 坐标（﹣ 2，1），
∴由图象可知， y1＞y2时， x＜﹣ 2，或 0＜x＜2．应选 D．
10．如图，△ ABC 周长为 36cm，把其边 AC 对折，使点 C、A 重合，折痕交 BC 边于点 D，交 AC 边于点 E，连接 AD ，若 AE=6cm ，则△ ABD
的周长是（）
A．24cm B．26cm C．28cm D．30cm
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【剖析】依据翻折变换的性质可得 AE=EC ，
AD=CD ，而后求出△ ABD 的周长 =AB +BC ，代
入数据计算即可得解．
【解答】解：∵△ ABC 的边 AC 对折极点 C 和
点A重合，
∴AE=EC ，AD=CD ，
∴△ ABD 的周长
=AB +BD+AD=AB +BD+CD=AB +BC，
∵AE=6cm ，
∴AC=AE +EC=6+6=12，
∵△ ABC 的周长为 36cm，
∴AB+BC=36﹣12=24cm，
∴△ ABD 的周长是 24cm．
应选 A．
二、填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，满分18分）
11．D、E、F 分别是△ ABC 各边的中点．若△ABC 的周长是 12cm，则△ DEF 的周长是 6 cm．【考点】三角形中位线定理．
【剖析】因为D、E 分别是AB 、BC 的中点，则DE 是△ ABC 的中位线，那么 DE= AC ，同理有EF= AB ，DF= BC ，于是易求△DEF 的周长．【解答】解：以下图，
∵D、E 分别是 AB 、BC 的中点，
∴DE 是△ ABC 的中位线，
∴DE= AC ，
同理有 EF= AB ，DF= BC ，
∴△ DEF 的周长 = （AC +BC+AB ）= ×12=6cm．故答案为： 6．
第17页（共 40页）
12．平面直角坐标系下有序数对（ 2x﹣y，x+y）表示的点为（ 5，4），则 x= 3 ．y= 1 ．
【考点】点的坐标．
【剖析】依据题意可得方程组，解方程组可得答案．
【解答】解：由题意得：，
解得，
故答案为： 3；1．
13．化简=．
【考点】约分．
【剖析】第一把分子分母分解因式，再约去分子分母的公因式即可．
【解答】解：原式 =
=，
故答案为：．
14．直线 y=kx +b 中， k＜0，b＞0，则此直线经过第一、二、四象限．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【剖析】依据一次函数图象与系数的关系进行
判断．
【解答】解：∵ k＜0，b＞0，
∴直线 y=kx +b 经过第一、二、四象限．
故答案为：一、二、四．
15．假如菱形两邻角之比为 1：2，较短的对角
线长为 8，则其周长为 32 ．【考点】菱形的性质．
【剖析】依据菱形的性质及已知可求得△ ADB 是等边三角形，从而可获得菱形的边长，从而可求出其周长．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB∥ CD，
∴∠ A+∠ADC=180 °，
∵∠ A：∠ ADC=1 ：2，
∴∠ A=60 °，∠ ADC=120 °，
∵AD=AB ，
∴△ ADB 为等边三角形，
∴AD=BD=8 ，
∴菱形的周长 =4×8=32，
故答案为 32．
16．在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的极点 A
的坐标为，若将△ OAB 绕 O 点，逆时针旋
转 60°后，B 点抵达 B′点，则点 B′的坐标是（）．
【考点】坐标与图形变化 -旋转．
【剖析】依据A 点坐标可知∠AOB=30 °，所以旋转后 OA 在 y 轴上．以下图．作 B′C′⊥ y 轴于 C′点，运用三角函数求出 B′C′、OC′的长度即可确立 B′的坐标．
【解答】解：将△OAB 绕O 点，逆时针旋转60°后，地点以下图，
作 B′C′⊥ y 轴于 C′点，
∵A 的坐标为，
∴OB= ，AB=1 ，∠ AOB=30 °，
∴OB′= ，∠ B′OC′=30°，
∴B′C′= ，OC′ = ，
∴B′（，）．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组．
【剖析】分别求出每一个不等式的解集，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确立不等式组的解集．
【解答】解：解不等式 x+3＜5，得： x＜2，
解不等式 3x﹣1≥﹣ 7，得： x≥﹣ 2，
故不等组的解集为：﹣ 2≤x＜2．
18．如图，E、F 分别是?ABCD 的边BC 、AD 上的两点，∠ AEB= ∠FCB ．求证： BE=DF ．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判断与性质．
【剖析】依据平行四边形的性质得出AB=CD ，∠B=∠D，依据 AAS 证出△ ABE ≌△ CDF 即可推出答案．
【解答】证明：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB=CD ，∠ B=∠D．
又 AD ∥CB，
∴∠ DFC= ∠FCB ，
又∵∠ AEB= ∠FCB ，
∴∠ AEB= ∠CFD ．
在△ ABE 和△ CDF 中，
，
∴△ ABE ≌△ CDF （AAS ），
∴BE=DF ．
19．如图是平面直角坐标系及此中的一条直线，该直线还经过点 C（3，﹣ 10）．
（1）求这条直线的分析式；
（2）若该直线分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，点 P 在 x 轴上，且 S△PAB=6S△OAB，求点 P 的坐标．
【考点】待定系数法求一次函数分析式；一次函
数图象上点的坐标特点．
【剖析】（1）待定系数法求解可得；
（2）先依据直线分析式求得 A、B 点坐标，从而
可得 S△OAB = ，设点 P 的坐标为 P（m，0），用含m 的式子表示出 S△PAB，依据 S△PAB =6S△OAB可得对
于 m 的方程，解方程即可得．
【解答】解：（1）设直线的分析式为： y=kx +b，由图可知，直线经过点（﹣ 1，2），
又已知经过点 C（3，﹣ 10），
分别把坐标代入分析式中，得：，
解得，
∴直线的分析式为： y=﹣3x﹣1；
（2）由 y=﹣3x﹣1，令 y=0，
解得 x=﹣；
令 x=0，解得 y=﹣1．
∴A、B 两点的坐标分别为 A （﹣，0）、B（0，﹣1）．
S△OAB = OA ?OB= × ×1= ．设
点 P 的坐标为 P（m，0），
则 S△PAB= PA?OB= ×| m﹣（﹣）| ×1= | m+ | ，由S△PAB=6S△OAB，得 | m+ | =6×，
从而得 m+ =2 或 m+ =﹣2，
∴m= 或 m=﹣，
即点 P 的坐标为 P（，0）或 P（﹣，0）．
20．图①是某手机生产厂第一季度三个月产量统
计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比率散布统计图，统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据．
（1）该厂二月份生产的手机产量占第一季度
的比率为 34 %；
（2）求该厂三月份生产手机的产量；
（3）恳求出图②中一月份圆心角的度数．
【考点】条形统计图；扇形统计图．
【剖析】（1）用 1 减去一月、三月百分比可得；（2）依据一月产量和百分比求出一季度总产量，将总产量乘以三月份百分比可得；
（3）360°×一月份百分比即可．
【解答】解：（1）该厂二月份生产的手机产量
占第一季度的比率为 1﹣30% ﹣36%=34% ；
（2）该厂第一季度总产量为： 1500÷ 30%=5000（部），
5000×36%=1800（部）；
答：该厂三月份生产手机为1800 部；
（3）360°× 30%=108 °．
答：图②中一月份圆心角的度数为：
108°．故答案为：（1） 34．
21．在一个不透明的袋子中装有三张分别标有1、2、3 数字的卡片（卡片除数字外完整相同）．（1）从袋中随意抽取一张卡片，则抽出的是偶
数的概率为；
（2）从袋中随意抽取二张卡片，求被抽取的
两张卡片构成两位数是奇数的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【剖析】（1）求出1，2，3 三个数中偶数的个数，再直接依据概率公式求解即可；
（2）分别列举出可能构成的两位数，再依据
概率公式解答即可．
【解答】解：（1）随机地抽取一张，全部可能出
现的结果有3 个，每个结果发生的可能性都相等，此中卡片上的数字为偶数的结果有 1 个．故从袋
中随意抽取一张卡片，则抽出的是偶数的概率为：；
故答案为：；
（2）解法一：列举法
被抽取的两张卡片全部可能是： 1、2；1、3；2、3．
而每一种状况，都可构成两个两位数，
即是： 12，21，13，31，23，32，共
6 个两位数．此中是奇数的为：
21，13，31，23 共 4 个，
∴P（奇数） =
= ．解法二：列表法
1 2 3
112 13
2 2123
3 31 32
从表中看出，共有 6 个两位数，
此中是奇数的为： 13，21，23，31 共 4 个，∴P（奇数） =
= ．解法三：树状图
法
由树状图可知，构成的两位数共有 6 个，分别是： 12，13，21，23， 31，32，
此中是奇数的为： 13，21，23，31 共 4 个，∴P（奇数） = = ．
第27页（共 40页）
22．我国水资源比较缺少，人均水量约为世界人
均水量的四分之一，此中西北地域缺水尤其严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四
个角各切去一个相同大小的小正方形后制作一个
无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为280cm，宽为 160cm（如图）．
（1）若水箱的底面积为 16000cm2，恳求出切去
的小正方形边长；
（2）对（1）中的水箱，若盛满水，这时水量是
多少升？（注： 1 升水 =1000cm3水）
【考点】一元二次方程的应用．
【剖析】（1）设切去的小正方形的边长为xcm，而后用含 x 的式子表示水箱底面的长和宽，而后依照矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）依照正方体的体积=底面积×高求得水的体积，而后再依照 1 升水=1000cm3水求解即可．【解答】解：（1）设切去的小正方形的边长为
xcm．
第28页（共 40页）
化简整理，得： x2﹣220x+7200=0，
解得 x=40 或 x=180（舍去）．
答：切去的小正方形边长为40cm．
（2）在（ 1）的条件下，水箱的容积=16000×
40=640000cm3．
640000÷1000=640（升）
答：这时水量为640 升．
23．如图1，延伸⊙O 的直径AB 至点C，使得BC= AB ，点 P 是⊙ O 上半部分的一个动点（点
P 不与 A 、B 重合），连接 OP，CP．
（1）∠ C 的最大度数为 30°；
（2）当⊙O 的半径为 3 时，△ OPC 的面积有没
有最大值？如有，说明原由并求出最大值；若没有，请说明原由；
（3）如图2，延伸PO 交⊙O 于点D，连接DB ，当 CP=DB 时，求证： CP 是⊙ O 的切线．
【考点】圆的综合题．
【剖析】（1）当 PC 与⊙ O 相切时，∠ OCP 的度数最大，依据切线的性质即可求得；
（2）由△OPC 的边OC 是定值，获得当OC 边上的高为最大值时，△OPC 的面积最大，当 PO ⊥OC 时，获得最大值，即此时 OC 边上的高最大，于是获得结论；
（3）依据全等三角形的性质获得 AP=DB ，依据等腰三角形的性质获得∠ A= ∠C，获得
CO=OB +OB=AB ，推出△APB ≌△CPO，依据全等三角形的性质获得∠ CPO= ∠ APB，依据圆周角定理获得∠ APB=90 °，即可获得结论．【解答】解：（1）当 PC 与⊙ O 相切时，∠OCP 最大．如图 1，所示：
∵sin∠OCP= = = ，
∴∠ OCP=30°
∴∠ OCP 的最大度数为 30°，
故答案为： 30°；
（2）有最大值，原由：∵△
OPC 的边 OC 是定值，
∴当 OC 边上的高为最大值时，△ OPC 的面积
最大，
而点 P 在⊙ O 上半圆上运动，当 PO⊥OC 时，获得最大值，即此时 OC 边上的高最大，也就是高为半径长，
∴最大值 S△OPC = OC?OP= ×6×3=9；
（3）证明：连接 AP，BP，如图 2，
在△ OAP 与△ OBD 中，
，
∴△ OAP ≌△ OBD ，
∴AP=DB ，
∵PC=DB ，∴ AP=PC ，
∵PA=PC，∴∠ A= ∠C，
∵BC= AB=OB ，
∴CO=OB +OB=AB ，
在△ APB 和△ CPO 中，
，
∴△ APB ≌△ CPO，
∴∠ CPO= ∠APB ，
∵AB 为直径，
∴∠ APB=90 °，
∴∠ CPO=90°，
∴PC 切⊙ O 于点 P，即 CP 是⊙ O 的切线．
24．已知，如图，抛物线 y=﹣x2+ax+b 与 x 轴从左至右交于 A、 B 两点，与 y 轴正半轴交于点C．设∠ OCB= α，∠ OCA= β，且 tanα﹣
tanβ =2，OC2=OA ?OB ．
（1）△ABC 能否为直角三角形？假如，请给出证明；若不是，请说明原由；
（2）求抛物线的分析式；
（3）若抛物线的极点为 P，求四边形 ABPC 的面积．
【考点】二次函数综合题．
【剖析】（1）利用已知得出 Rt△ BOC ∽Rt△COA ，从而得出∠ OCA +∠OCB=90 °，即可得出答案；
（2）由题意可得，方程﹣ x2+ax+b=0 有两个不一样的实数根，从而得出 C 点坐标，可得出 b 的值，再利用 tan α=，tanβ=，由tanα﹣tanβ=2，得出 a 的值从而得出答案；
（3）作 PF⊥x 轴于点 F，依据 S 四边形
ABPC =S△ PDB ﹣
S△CDA = DB?PF﹣ DA ?OC，从而得出答案．
【解答】解：（1）△ ABC 是直角三角形．
原由以下：
∵OC2=OA ?OB，
∴ = ，
又∵∠BOC= ∠COA=90 °，
∴Rt△BOC ∽Rt△COA ，
∴∠ OCB= ∠OAC ；
又∵∠ OCA +∠OAC=90 °，
∴∠ OCA +∠OCB=90 °，
即∠ ACB=90 °，
∴△ ABC 是直角三角形；
（2）∵抛物线与 x 轴交于 A 、B 两点，∴
方程﹣ x2+ax+b=0 有两个不一样的实数
根．设这两个根分别为 x1、x2，且 x1＜x2，
明显， x1＜0，x2＞0，
得 A 、B 两点的坐标分别为 A （x1，0）、B（x2，0）．
由根与系数的关系，有x1+x2=a，x1?x2=﹣b．对于抛物线 y=﹣x2+ax+b，当 x=0 时， y=b，∴C 点的坐标为 C（0，b）；
由已知条件 OC2=OA ?OB，
得 b2=（﹣ x1）?x2，即 b2=﹣x1?x2，
∴b2=b，
∵点 C 在 y 轴的正半轴上，
∴b＞0，从而得 b=1．
∵tanα = ，tan β= ，
由 tan α﹣ tan β=2，得﹣ =2，即
OB﹣OA=2OC ，
得 x2﹣（﹣ x1）=2b，x2+x1=2b，
即 a=2b，
∴a=2．
∴抛物线的分析式为：y=﹣x2+2x+1；
（3）由抛物线的分析式 y=﹣x2+2x+1
配方得： y=﹣（ x﹣1）2+2，∴其极点
P 的坐标为 P（1，2）．
解方程﹣ x2+2x+1=0，
得 x1=1﹣，x2=1+ ，
∴A（1﹣，0），B（1+，0）．
解法一：设过 P、C 两点的直线与 x 轴交于点 D，直线的分析式为： y=kx +1，
把 P（1，2）坐标代入，得 k=1，
∴直线 PC： y=x+1，当 y=0 时， x= ﹣1，
即点 D 的坐标为 D（﹣ 1，
0）．∵﹣ 1＜1﹣，
∴点 D 在点 A 的左侧，
作 PF⊥x 轴于点 F，
∴S 四边形ABPC =S△PDB﹣S△CDA = DB?PF﹣ DA ?OC
= [ （1+ ）+1] ×2﹣[ （1﹣）+1]×1 =，
即四边形 ABPC 的面积为．
解法二：过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，
则∴ S 四边形ABPC =S△OAC +S 梯形COFP +S△PFB
=OA ?OC+ （OC+PF）?OF+ FB?PF，
=（﹣1）× 1+ （1+2）× 1+ （1+ ﹣1）× 2 =；
即四边形 ABPC 的面积为．
25．如图：△ ABC 中，∠ C=45°，点 D 在 AC 上，且∠ ADB=60 °， AB 为△ BCD 外接圆的切线．
（1）用尺规作出△ BCD 的外接圆（保存作图印迹，可不写作法）；
（2）求∠ A 的度数；
（3）求的值．
【考点】圆的综合题．
【剖析】（1）利用三角形外接圆的圆心是各边
垂直均分线的交点即可画出图形．
（2）只需证明△ BOD 是等腰直角三角形即可推
出∠ ABD= ∠DBO=45 °，利用三角形内角和定
理即可解决问题．
（3）过点 B 作 BE⊥AC ，垂足为点 E，设 DE=x ，则 BD=2x ，BE== x，用 x 的代数式表示AD 、DC 即可解决问题．
【解答】解：（1）作BC 的垂直均分线MN ，作BD 的垂直均分线 HF ，MN 与 FH 的交点为 O，以点 O 为圆心 OB 为作⊙ O 即可．以下图，
（2）连接 OB、OD，
由切线性质，知∠
ABO=90 °．∵∠ACB=45 °，
∴∠ BOD=90 °，
（同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．
∵OB=OD ，∴∠OBD= ∠ODB=45 °，
由∠ ABO=90 °，得∠ ABD=45 °，
∴∠ A=180°﹣∠ ABD ﹣∠ ADB =180°
﹣ 45°﹣ 60°=75°；
（ 3）过点 B 作 BE ⊥AC ，垂足为点 E ， 在 Rt △BCE 中，∵∠ ACB=45 °， ∴∠ EBC=45 °，∴ BE=CE ．
在 Rt △BDE 中，∵∠ DBE=90 °﹣∠ EDB=30 °， ∴BD=2DE ，
设 DE=x ，则 BD=2x ，BE=
= x
DC=CE ﹣DE=BE ﹣DE= （
﹣1）x ．
AE=AD ﹣DE=AD ﹣x ．
在△ ABC 和△ ADB 中，
∵∠ ABD= ∠ACB=45 °，∠ A 为公共角，
∴△ ABC ∽△ ADB ，
∴ = ，
即 AB 2=AC ?AD ，即 AB 2=（AD DC ）?AD
+
=AD 2+AD ?（ ﹣1）x
①．
在 Rt △ABE 中，由勾股定理，
得 AB 2=AE 2+BE 2=（AD ﹣x ）2+（ x ）2
②．
由①、②，得
AD 2 AD （ ﹣1）x
+
?
2
（ x ）2，
=（AD ﹣x ）
+
化简整理，解得 AD=2 （ ﹣1）x ．
∴ =
=2，
∴=2．
2016年 9月 26 日。