(鲁京津琼专用)2020版高考数学一轮复习专题6数列第42练数列中的易错题练习

1．数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1－a n ＝1
n ＋n ＋1，a n ＝9，则n 等于( ) A ．97B ．98C ．99D ．100
2．(2019·遵义航天高级中学模拟)设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 15，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则数列{S n }的最大项为( )
A ．S 23
B ．S 25
C ．S 24
D ．S 26 3．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10
<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为( )
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
4．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)(n ∈N *，n ≥2)在直线x －9y ＝0上，
则数列{a n }的前n 项和S n 为( )
A.1－－3n 2
B ．3n －1 C.1＋3n
2 D.3n 2＋n 2
5．(2019·莆田市第一中学月考)已知数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，公比q ＝2，则数列{b 2n －1}的前10项的和为( )
A.43(49－1)
B.43
(410－1) C.13
(49－1) D.13(410－1) 6．{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( )
A ．1
B ．4
C ．22
D ．8
8．已知{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋1，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( )
A ．68
B ．67
C ．61
D ．60
9．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，若b n ＝(n －10)a n ，则数列{b n }的最小项为( )
A ．第10项
B ．第11项
C ．第6项
D ．第5项
10．定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n
＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2018a 2016
等于( )
A ．4×20162－1
B ．4×20172－1
C ．4×20182－1
D ．4×20182
11．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2
(n ∈N *)，则22019是这个数列的第________项． 12．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7，若a m a m ＋1a m ＋2
为数列{a n }中的项，则所有的正整数m 的取值集合为________．
13．已知数列{a n }满足a 1＝3，且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋m a m
＝a n ，若数列{b n }满足b n ＝log 3(a 2n )＋1，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n b n ＋2的前n 项和T n 的取值范围是________． 14．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n ，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1
＝________.
15．已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝3·2n －
1，n ∈N *.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式S n >ka n －1对任意的n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围为____________．
16．设f ′(x )是函数f (x )的导数，若f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中
心．设f (x )＝13x 3－2x 2＋83x ＋2，数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1007，则∑2017i ＝1
f (a i )＝__________.
答案精析
1．D 2.B 3.A 4.B 5.D 6.B 7.D 8.B
9．D [由S n ＝n 2可知，当n ＝1时，a 1＝1，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，
当n ＝1时显然适合上式，
所以a n ＝2n －1，
故b n ＝(n －10)a n ＝(n －10)(2n －1)．
令f (x )＝(x －10)(2x －1)，
易知对称轴为x ＝214
， 所以数列{b n }的最小项为第5项，
故选D.]
10．A [由题意可得，a 3a 2＝3，a 2a 1
＝1， 则a 3a 2－a 2a 1
＝2， 结合“等差比数列”的定义可知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列， 则a n ＋1a n
＝1＋2(n －1)＝2n －1， 据此有a 2018a 2017
＝2×2017－1＝2×2016＋1， a 2017a 2016
＝2×2016－1， a 2018a 2016＝a 2018a 2017×a 2017a 2016
＝4×20162－1.] 11．2018 12.{2}
13.⎣⎡⎭⎫121，215
解析 由题意m ，n ∈N *，都有a n ＋m a m
＝a n ， 令m ＝1，可得：a n ＋1a n
＝a 1＝3＝q ， 可得a n ＝3n ，
∵b n ＝log 3(a 2n )＋1，∴b n ＝2n ＋1，
那么数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n b n ＋2的通项c n ＝1
2n ＋12n ＋5
＝14⎝⎛⎭
⎫12n ＋1－12n ＋5.
则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝14⎝⎛
13－17＋15－19＋17－111 ＋…＋12n －1－12n ＋3 ⎭⎫＋12n ＋1－12n ＋5
＝14⎝⎛⎭
⎫13＋15－12n ＋3－12n ＋5 ＝14⎝⎛⎭⎫815－12n ＋3－12n ＋5<215
， 当n ＝1时，可得T 1＝121
， 故得T n 的取值范围为⎣⎡⎭⎫121，215.
14．2n 2＋6n
解析 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n ，可得a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)(n ≥2)，两式相减可得a n ＝2n ＋2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝12＋3×1＝4＝2×1＋2，满足a n ＝2n ＋2，所以a n ＝2n ＋2(n ∈N *)，
则a n ＝(2n ＋2)2＝4(n ＋1)2，故a n n ＋1＝4n ＋12n ＋1＝4n ＋4，易知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n ＋1是首项为a 12＝8，公差为4的等差数列，
则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1
＝n 8＋4n ＋42
＝2n 2＋6n . 15．(－∞，2)
解析 设数列{a n }的首项为a 1，
公比为q ，
则由a n ＋1＋a n ＝3·2n －1， 可得a 2＋a 1＝3，a 3＋a 2＝6，
所以q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1
＝2， 所以2a 1＋a 1＝3，即a 1＝1，
所以a n ＝2n －1，S n ＝1－2n
1－2
＝2n －1. 因为不等式S n >ka n －1对任意的n ∈N *恒成立，
即2n －1>k ·2n －
1－1，解得k <2. 故实数k 的取值范围为(－∞，2)．
16．4034
解析 根据题意，三次函数f (x )＝13x 3－2x 2＋83
x ＋2，
则f ′(x )＝x 2－4x ＋83
，则f ″(x )＝2x －4，若f ″(x )＝2x －4＝0，则x ＝2， 又由f (x )＝13x 3－2x 2＋83
x ＋2， 则f (2)＝2，
即(2,2)是三次函数f (x )＝13x 3－2x 2＋83
x ＋2的对称中心， 则有f (x )＋f (4－x )＝4，
数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1007，为等差数列，则有a 1＋a 2017＝a 2＋a 2016＝…＝2a 1009＝4， 则∑2017
i ＝1
f (a i )＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2016)＋f (a 2017) ＝f (a 1)＋f (a 2017)＋f (a 2)＋f (a 2016)＋…＋f (a 1008)＋f (a 1010)＋f (a 1009)
＝4×1008＋2＝4034.。