高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》全集汇编附答案解析

【高中数学】高考数学《复数》练习题
一、选择题
1．在复平面内与复数21i z i =
+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）
A ．1i --
B ．1i -
C ．1i +
D ．1i -+ 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.
【详解】 由题()()()2122211112
i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.
故选：D
【点睛】
此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.
2．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=
A ．25-
B ．25
C ．7-
D ．7
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可
【详解】 Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-
234z i ∴=--
()()12343425z z i i ⋅=---=-
故选A
【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题
3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )
A B C ．3 D ．5
【答案】B
【解析】 22(2)22(1)5z i i i i =-=-=+-=，故选B ．
4．在复平面内复数83i +、45i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ）
A ．61
B ．13
C ．20
D ．10 【答案】C
【解析】
由题意知点
、的坐标为、，则点的坐标为， 则，从而
,选C.
5．已知复数z 满足()13i z i +=
，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i -
B ．1i +
C ．1122i -
D ．1122i + 【答案】A
【解析】 因为|3+|2(1)1(1)(1)
i i z i i i -===-+-，所以应选答案A ． 6．复数21i z i
+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1
D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D 【解析】
【分析】
利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．
【详解】
由题意()()()()22121313111122
i i i i z i i i i i ++++====+--+-， 则221310()()222
z =+=，z 的共轭复数为1322z i =-，
复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．
【点睛】
复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b
(,)a b 、共轭为a bi -．
7．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R
），且2z +=1y x -的最大值为（ ） A
B
C
．2+
D
．2【答案】C
【解析】
【分析】
根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，
1y x -表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解.
【详解】
∵复数i z x y =+（x ，y ∈R
），且2z +=
=()2
223x y ++=. 设圆的切线l ：1y kx =+
=
化为2420k k
--=，解得2k =
∴
1y
x
-的最大值为2 故选:C.
【点睛】 本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
8．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
【答案】A
【解析】
【分析】
设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹
【详解】
设()z x yi x y R =+∈、，
1x yi ++=
，()11iz i x yi +=++=
y x =-，
所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.
【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．
9．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）
A ．3
B ．3i -
C ．3i
D ．3- 【答案】D
【解析】
【分析】
首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.
【详解】 由题意可得：()()()()
362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.
本题选择D 选项.
【点睛】 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．
10．设2i 2i 1i z =
++-，则复数z =（ ） A ．12i -
B ．12i +
C ．2i +
D ．2i -
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解．
【详解】 由题意，可得复数()()()
2i 1i 2i 2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-．
故选：A ．
本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．
11．设3443i z i -=
+，()21f x x x =-+，则()f z =（ ） A ．i
B ．i -
C ．1i -+
D ．1i + 【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解．
【详解】 解：3443i z i
-=+Q ()()()()
344334434343i i i z i i i i ---∴===-++- ()21f x x x =-+Q
()()()2
1f z i i i ∴=---+=
故选：A
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
12．已知i 是虚数单位，则复数242i z i
-=
+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】A
【解析】
【分析】
先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.
【详解】 解：∵()()()()242232424242105
i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105
z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（
32105，），所在的象限为第一象限．
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi
13．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】D
【解析】
【分析】
设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.
【详解】
设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，
2z 为纯虚数220020
a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D.
【点睛】
本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.
14．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．线段
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.
【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.
当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.
因此，点Z 的轨迹为线段.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
15．若202031i i z i
+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简得到2z i =+，得到答案.
【详解】 ()()()()
202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .
【点睛】
本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.
16．若复数()234sin
12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23
π 【答案】B
【解析】
分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.
详解：若复数()2
3412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩
， 结合()0,θπ∈
，可知：sin 1
cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．复数
12i 2i +=-（ ）． A ．i B ．1i + C ．i - D ．1i -
【答案】A
【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5
i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
18．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( )
A ．恒等于1
B ．最大值为1，无最小值
C ．最小值为1，无最大值
D ．无最大值，也无最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值．
【详解】
解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，
由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++， 2222(1)(3)x y x y ∴+-=++，
解得1y =-；
||1z ∴=，
即||z 有最小值为1，没有最大值．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．
19．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()
222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-Q
22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.
故选B.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
20．已知i 是虚数单位，则2331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭
（ ） A ．32i --
B ．33i --
C ．24i -+
D ．22i -- 【答案】B
【解析】
【分析】
根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简．
【详解】
()()()2
2231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌 故选B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．。