2018-2019学年广东省潮州市高二下学期期末教学质量检测数学（文）试题

2018-2019学年广东省潮州市高二下学期期末教学质量检测
数学（文）试题
一、单选题
1．已知全集{}0,1,3,5.6,8U =，集合{}1,5,8A =，{}=2B ，则()U C A B ⋃=（） A ．∅ B ．{}0,3,6
C ．{}1,2,5,8
D ．{}0,2,3,6
【答案】D
【解析】根据补集和并集的定义可得解. 【详解】
因为全集{}0,1,3,5.6,8U =，集合{}1,5,8A =
所以{}0,3,6U C A =,得(){}0,2,3,6U C A B ⋃==．故选D ． 【点睛】
本题考查集合的补集和并集，属于基础题.
2．函数()f x =的定义域为（） A ．()1,+∞ B ．()()1,22,⋃+∞ C ．[)()1,22,⋃+∞ D ．[
)1,+∞
【答案】C
【解析】由分式和二次根式的定义域可求解. 【详解】
由1020x x -≥⎧⎨-≠⎩
得1,x ≥且2x ≠.故选C ．
【点睛】
本题考查具体函数的定义域，属于基础题. 3．复数2)(1z i i =+(i 为虚数单位)等于（） A ．2 B ．2-
C ．2i
D ．2i -
【答案】B
【解析】由复数的乘法运算法则求解. 【详解】
()2
12 2.z i i i i =+==-故选B ．
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，属于基础题.
4．一位母亲根据儿子 39-岁身高的数据建立了身高()y cm 与年龄x (岁)的回归模型
7.1973.93y x =+，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）
A ．身高在145.83cm 左右
B ．身高一定是145.83cm
C ．身高在145.83cm 以上
D ．身高在145.83cm 以下
【答案】A
【解析】由线性回归方程的意义得解. 【详解】
将10x =代入线性回归方程求得()7.191073.145.9383,cm y =⨯+= 由线性回归方程的意义可知145.83cm 是预测值，故选A ． 【点睛】
本题考查线性回归方程的意义，属于基础题.
5．“∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，以上推理省略的大前提为（ ）
A ．正方形都是对角线相等的四边形
B ．矩形都是对角线相等的四边形
C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 【答案】B
【解析】用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形ABCD 为矩形，得到四边形ABCD 的对角线相等的结论，得到大前提. 【详解】
∵由四边形ABCD 为矩形，得到四边形ABCD 的对角线相等的结论， ∴大前提一定是矩形的对角线相等.故选B. 【点睛】
本题考查用三段论形式推导一个命题成立，是常见的考查形式，三段论中所包含的三部分，每一部分都可以作为考查的内容，属于基础题 6．下列函数是奇函数的是（） A ．1
2
y x =
B ．223y x =+
C ．y x
=
D ．()2
,1,1y x x =∈-
【答案】C
【解析】根据奇函数的定义验证得解. 【详解】
A 中函数定义域不对称是非奇非偶函数，
B D 、中函数满足()()f x f x -=，都是偶函数，故选
C ．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，属于基础题,
7．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—分析法 B ．①—分析法，②—综合法 C ．①—综合法，②—反证法 D ．①—分析法，②—反证法
【答案】A
【解析】【详解】试题分析：对于①，是由已知⇒可知（即结论），执因导果，属于综合法；对于②，是由未知⇒需知，执果索因，为分析法，故选A. 【考点】1.流程图；2.综合法与分析法的定义. 8．计算:()()4839log 3log 3log 2log 2++=（） A ．1 B ．
5
4
C ．2
D ．
34
【答案】B
【解析】将对数的底数或真数化成幂的形式，运用对数运算的法则求解. 【详解】
()()4839
log 3log 3log 2log 2++=2233111log 3log 3log 2log 2232⎛⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
23535
log 3log 2624
==，故选B . 【点睛】
本题考查对数的运算法则，属于基础题.
9．观察下列各式:1a b +=,223a b +=,334a b +=,44 7a b +=,5511a b +=,
，则
77a b +=（）
A ．15
B ．18
C ．29
D ．47
【答案】C
【解析】通过对等式的左右两边观察，找出其数的规律. 【详解】
1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，
，
∴通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和． ∴6611718a b +=+=，77181129a b +=+=．故选C ．
【点睛】
本题考查观察能力，属于基础题.
10．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】
由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈
，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题. 11．已知
是定义域为
的奇函数, 当
时,
，那么不等式
的解集是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知
利用f （x ）在
上单调递减，不等式
等价于
，解不等式组即可得出结论．
【详解】 当时,
，可得f （x ）在
上为减函数，
又是奇函数,所以f(x)在
上单调递减，
∴
等价于
∴解得．
∴故选B. 【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
12．已知函数1ln x
y x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的两个零点为12x x ，且12x x >，则（）
A ．212
11
x x x <
< B ．212
11x x x << C ．11211
x x x <
< D ．112
11x x x << 【答案】D
【解析】做出两支函数的图象，观察其交点可得选项. 【详解】
函数1ln x y x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的两个零点即函数1x
y e ⎛⎫= ⎪⎝⎭
与ln y x =两个交点的横坐标，作出
两个函数的图象，如图，
由图不难发现：2101,1,x x <<>
21
11
1,0 1.x x ∴
><<排除A C 、， 下面证明：12
1x x <，由图可知，1211x x e e ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又111ln x x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2
21ln x x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭
12ln ln x x ∴<，又2101,1,x x <<>121ln ln
x x ∴<即1
2
1
x x ∴<.故选D . 【点睛】
本题考查函数图象的交点问题，属于中档题.
二、填空题
13．已知函数()1f x x sinx =++,且()3f a =,则()f a -=__________． 【答案】1-
【解析】由函数的解析式代入a 和a -，观察其关系可得解. 【详解】
依题意，()sin 13f a a a =++=，即sin 2a a +=；故
()sin 1211f a a a -=--+=-+=
【点睛】
本题考查函数的给值求值问题，考查了函数的奇偶性，属于基础题.
14．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 .
【答案】3 【解析】【详解】 框图中的条件即13x ≤≤. 运行程序：
1,0,x n ==符合条件13x ≤≤，2,1x n ==；
符合条件13x ≤≤，3,2x n ==； 符合条件13x ≤≤，4,3x n ==； 不符合条件13x ≤≤，输出3n =.答案为3. 【考点】算法与程序框图.
15．已知实数,a b 满足22a b +=,则42a b +的最小值为__________． 【答案】4
【解析】将所求的指数式化简，运用均值不等式求解. 【详解】
222422222
22
4a b a b a b
a b
+++=+≥==,当且仅当1
,12
a b =
=时取等号. 【点睛】
本题考查指数运算和均值不等式，属于基础题.
16．定义一种集合运算A B ⊗={x|(),x A B ∈⋃且()x A B ∉⋂}, 设M={x||x|<2},N={x|2430x x -+<},则M N ⊗用区间表示为_______ 【答案】(-2,1]∪[2,3)
【解析】由{}{|2}|22M x x x x =<=-<<，
{}2
{|430}|13N x x x x x =-+<=<<可得M N ⋃，M N ⋂，再利用()(){}
|,A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂且，即可求得答案 【详解】
{}(){|2}|222,2M x x x x =<=-<<=-，
{}()2{|430}|131,3N x x x x x =-+<=<<=
∴()2,3M N ⋃=-，()1,2M N ⋂=
()(){}|,A B x x A B x A B 且⊗=∈⋃∉⋂
∴{
}])(
|21232,12,3M N x x x ⎡⊗=-<≤≤<=-⋃⎣或 故答案为])(
2,12,3⎡-⋃⎣ 【点睛】
本题主要考查了集合的交集，并集和补集的混合运算，属于基础题。

解题时要认真审题，仔细解答，注意新定义的合理运用。

三、解答题
17．已知全集U =R ，集合{}
13A x x =≤≤，集合{
}
39x
B x =>.
()1求()U C B A ⋃；
()2若集合{}|1C x a x a =<<+,且集合A 与集合C 满足C
A C =,求实数a 的取值
范围.
【答案】（1）(],3-∞（2）1 2.a ≤≤
【解析】(1)先根据指数不等式求出B 集合，再利用集合的补集和并集运算求解;
(2)根据集合的交集运算和子集关系列出不等式组，注意是否取等号. 【详解】
()1()39,2,2,x x B >∴>∴=+∞
(],2U C B ∴=-∞
(][](](),21,3,3U C B A ∴⋃=-∞⋃=-∞
()2∵C
A C =，,C A ∴⊆
113
a a ≥⎧∴⎨+≤⎩ 1 2.a ∴≤≤
【点睛】
本题考查集合的交、并、补运算，属于基础题.
18．设函数()42,1
.log ,1
x x f x x x -⎧<=⎨
≥⎩ ()1求()()()1,0,2f f f -的值； ()2求不等式()2f x ≤的解集.
【答案】（1）(1)2,f -=(0)1,f =1
(2),2
f =
（2）[]1,16- 【解析】(1)根据分段函数的自变量的范围代入求值；
(2)由分段函数的自变量范围，讨论建立不等式组，解之再求并集. 【详解】
()1由已知得：(1)(1)22,
f ---==0(0)21,f ==41
(2)log 2,2
f ==
()2当1x <时，由()2f x ≤得：22,1,x x -≤∴≥-1 1.x ∴-≤<
当1x ≥时，由()2f x ≤得：44log 2log 16,16,x x ≤=∴≤116.x ∴≤≤ 所以不等式()2f x ≤的解集为[)[][]1,11,161,16-⋃=- 【点睛】
本题考查分段函数的求值和解不等式的问题，属于基础题.
19．某超市为了解气温对某产品销售量的影响，随机记录了该超市12月份中5天的日销售量y (单位：千克)与该地当日最低气温x (单位:0C )的数据，如下表所示:
()1求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；
（精确到0.001） ()2判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月份某天的最低气温为6C ︒，请
用()1中的回归方程预测该超市当日的销售量.
参考公式：()()()
1
12
2
2
1
1
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b x x x
nx
====---=
=
--∑∑∑∑，a y bx =-
参考数据：
5
1
2125107998126281i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2
222221
257912303i
i x
==++++=∑
【答案】（1）0.58613.102y x =-+（2）y 与x 负相关，预测该超市当日的销售量为
9.586千克
【解析】（1）根据线性回归直线的求解方法求解；
（2）根据（1）问中b ∧
的正负，判断是正相关还是负相关,再代入其值可得解. 【详解】
()1由题目条件可得1=
(257912)75x ++++=，1
=(1210986)95
y ++++= 2
5
1
2815795
303572
2
1
534
=0.58658
5i i
i i
i x y x y
b x
x ∧
=-⨯⨯-⨯=-⋅-∴=
=≈--∑∑， ˆ=9(0.586)7=13.102a
y b x ∧
=---⨯ 故y 关于x 的线性回归方程为0.58613.102y x =-+
()2由0.5860b ∧
=-<可知y 与x 负相关
将6x =代入0.58613.102y x =-+得9.586y = 据此预测该超市当日的销售量为9.586千克 【点睛】
本题考查线性回归直线方程，属于基础题.
20．在各项均为正数的数列{}n a 中，1=a a 且+12
=2n n n
a a a +. （Ⅰ）当3=2a 时，求1a 的值； （Ⅱ）求证：当2n ≥时，+1n n a a ≤. 【答案】(Ⅰ)2；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）根据3=2a 及+12
=
2n n n
a a a +，可求得2a 的值，同理即可求得1a 的值；（Ⅱ）利用分析法，要证+1n n a a ≤，只需证
1n n
a a + 1≤，即证212
12n a +≤，然后结合均值不等式即可证明. 【详解】
（Ⅰ）因为32a =， 所以232
2
22a a a =
+=， 所以2
2244a a +=，
解得22a =， 同理解得12a =.
（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时，1n n a a +≤，
只需证 1
n n
a a + 1≤， 只需证 22n
n n n
a a a a + 1≤，只需证
21212n a +≤. 只需证2
n a ≥ 4，
只需证n a ≥ 2 ，
根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥=， 所以，原命题成立.
21．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30
人的饮食指数．（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．）
（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； （2）根据以上数据完成下列2×2的列联表：
主食蔬菜 主食肉类 合计 50岁以下 50岁以上 合计
（3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系？
附：()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++. ()20P K k ≥ 0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010]
0.005
0.001
0k
1.323
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能
【解析】（1）根据茎叶图，得到30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．
（2）根据茎叶图所给的数据，能够完成2×
2列联表． （3）()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，求出K 2，能够求出结果．
【详解】
(1)在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主． (2)2×2的列联表如下：
(3) ）由（2）2×2的列联表算得：K 2
230(42168)12182010
⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯10＞6.635，
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系． 【点睛】
本题考查茎叶图的应用，考查了独立性检验的实际应用及卡方的运算，考查了数据分析整理的能力及运算能力，是基础题．
22． 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为12
2x
y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(其中t 为参数）.
现以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
6cos ρ
θ=.
（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若点P 坐标为(1,0)-，直线l 交曲线C 于A ,B 两点，求PA PB +的值. 【答案】（1）10x y -+=，()2
239x y -+=；（2）【解析】（1）根据参普互化和极值互化的公式得到标准方程；（2）联立直线和圆的方程，得到关于t 的二次，再由韦达定理得到12PA PB t t +=+=.
【详解】
（1
）由12
2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y -+=
又由6cos ρθ=得2
6cos ρρθ=，
由x cos y sin ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，
即()2
239x y -+=；
（2
）其1x y ⎧=-+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入2260x y x +-=
得270t -+=，
则121270t t t t +==>
所以1212PA PB t t t t +=+=+=23．已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ． （1）解不等式()9f x ≤；
（2）若方程()2
f x x a =-+在区间[]0,2有解，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）[]
2,4-（2）19,74⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【解析】（1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；
（2）根据题意，原问题可以等价函数y a =和函数2
5y x x =-+图象在区间[]0,2上
有交点，结合二次函数的性质分析函数2
5y x x =-+的值域，即可得答案． 【详解】
解：（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，
故2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339
x x <-⎧⎨-+≤⎩； 解得：24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； 不等式的解集为[]
2,4-；
（2）由题意：()2
2
5f x x a a x x =-+⇔=-+，[]
0,2x ∈．
故方程()2
f x x a =-+在区间[]0,2有解⇔函数y a =和函数2
5y x x =-+，图像在
区间[]0,2上有交点
当[]0,2x ∈时，2
195,74y x x =-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ∴实数a 的取值范围是19,74⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．。