2023-2024学年内蒙古包头市高二上学期期末数学(文)模拟试题(含解析)

2023-2024学年内蒙古包头市高二上册期末考试数学（文）
模拟试题
一、单选题
1．在复平面内，与复数1i z =--的共轭复数对应的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【正确答案】B
【分析】由共轭复数定义，及复数与点的对应关系可得
【详解】复数1i z =--的共轭复数为1i z =-+，对应得点为()1,1-，位于第二项限.故选：B
2．已知命题:,sin 1p x x ∀∈≤R ，则（）
A ．:,sin 1p x x ⌝∃∈≥R
B ．:,sin 1p x x ⌝∀∈≥R
C ．:,sin 1p x x ⌝∃∈>R
D ．:,sin 1
p x x ⌝∀∈>R 【正确答案】C
【分析】根据全称命题改为特称命题的规则修改即可.
【详解】全称命题改为特称命题，全称量词改为特称量词，结论改为原结论的反面，故命题
:,sin 1p x x ∀∈≤R 的否定为,sin 1
x x ∃∈>R 故选：C 3．
22
1i 1i
(1i)(1i)-++=+-（）
A ．i
B ．i
-C ．1
D ．1
-【正确答案】D
【分析】根据复数的运算求解即可.【详解】221i 1i 1i 1i 1i 1i 2i
1(1i)(1i)2i 2i 2i 2i
-+-+----+=+===-+--，故选：D
4．设,p q 是两个命题:||30p x ->，2
51:066
q x x -+>，则p 是q 的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】解不等式可得命题:3p x >或3x <-，1
:2
q x >
或13x <，判断{|3x x >或3}
x <-1
{|2
x x >
或1
}3
x <，即可判断答案.
【详解】命题:||30p x ->即:3p x >或3x <-，
251:066
q x x -+>即1
:2q x >或13x <，
由于{|3x x >或3}
x <-1
{|2
x x >
或1}3x <，
故p 是q 的充分而不必要条件，故选：A.
5．设12F F 、是两定点，126F F =，动点P 满足126PF PF -=，则动点P 的轨迹是（）
A ．双曲线
B ．直线
C ．线段
D ．射线
【正确答案】D
【分析】由条件可得12126PF PF F F -==，即可得答案．【详解】因为12126PF PF F F -==，所以动点M 的轨迹是射线．故选：D
6．设椭圆1C 的离心率为
5
13
，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（
）
A ．22
221
43
x y -=B ．22
221
135x y -=C ．22
221
34
x y -=D ．22
221
1312
x y -=【正确答案】A
【分析】根据离心率和长轴长计算得到113a =，15c =，判断曲线2C 为焦点在x 轴上的双曲线，根据双曲线的定义计算得到答案.【详解】椭圆1C 的离心率为115
13
c e a =
=，1226a =，113a =，故15c =，故椭圆1C 的两个焦点为()15,0F -，()25,0F ，
曲线2C 上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于8，12810F F <=，故曲线2C 为焦点在x 轴上的双曲线，
228a =，24a =，215c c ==
，23b ==，故双曲线方程为2222143
x y
-=.
故选：A
7．已知点P 是双曲线2
2
14
y x -=上的动点，过原点O 的直线l 与双曲线分别相交于M 、N 两点，
则PM PN +uuu r uuu r
的最小值为（）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【正确答案】C
【分析】根据双曲线的对称性可得O 为MN 的中点，即可得到2PM PN PO +=
，再根据双曲线的
性质计算可得；
【详解】解：根据双曲线的对称性可知O 为MN 的中点，所以2PM PN PO += ，又P 在22
1
4
y x -=上，所以1PO ≥uu u r ，当且仅当P 在双曲线的顶点时取等号，所以22PM PN PO +=≥uuu r uuu r uu u r
．
故选：C
8．设O 是坐标原点，F 是抛物线()2
20y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向
的夹角为60︒，则OA 为（
）
A ．
214
p B ．2
p C ．
6
p D ．
1336
p 【正确答案】B
【分析】过A 点做AD x ⊥轴，令FD m =，则2FA m =，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求解即可.
【详解】如图所示过A 点做AD x ⊥轴，令FD m =，
因为F 是抛物线()2
20y px p =>的焦点，FA 与x 轴正向的夹角为60︒，
所以由抛物线的性质得2FA m m p ==+，解得m p =，
所以
OA p ==
，
故选：B
9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是1
2
（
1
2
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
【正确答案】B
【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm
，则
26261
1052
x
x y
+-
==
+
，得42.07, 5.15
x cm y cm
≈≈．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．
本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．
10．已知椭圆22
22
:1(0)
x y
E a b
a b+=>>的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线
:340
l x y
-=交椭圆E于,A B两点．若4
AF BF
+=，点M到直线l的距离不小于
4
5，则椭圆E的离心率的取值
范围是
A．
2
B．
3
(0,
4
C．[
2
D．
3[,1)
4
【正确答案】A
【详解】试题分析：设1F是椭圆的左焦点，由于直线:340
l x y
-=过原点，因此,A B两点关于原
点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，
则45b d =
，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤，0c a <≤故选A ．
椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．11．如图，1F ，2F 是双曲线()22
2:103
x y C a a -=>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近
线分别交于A ，B 两点，若点A 为1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则12F F =（
）．
A ．4
B ．
C ．6
D ．9
【正确答案】A
【分析】结合已知条件得2//OA F B ，推出1260AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，然后求出a ，即可求得12||F F ．
【详解】因为点A 为2F B 的中点，所以2//OA F B ，又12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，12||||||OF OF OB ==，
所以1260
AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，
所以
tan 60a
=︒1a =，所以2c =．故12||24F F c ==．故选：A.
12．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为（）A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
【正确答案】B
【详解】F （2，0）,K （-2，0），过A 作AM ⊥准线，则|AM|=|AF|，
∴|AM|，三角形APM 为等腰直角三角形，
设A （m 2，）（m ＞0）,
由AM MK =得22m =+，解得2m =
则△AFK 的面积m•1
2故选B.二、填空题
13．若28,46x y <<<<，则1
x y
-的取值范围是______．【正确答案】747,46⎛⎫ ⎪
⎝⎭
【分析】根据条件得到111
46
y -<-<-，得到取值范围.【详解】46y <<，故11164y <<，则11146
y -<-<-，又28x <<，故714746
x y <-<.故747,46⎛⎫ ⎪⎝⎭
14．已知命题p ：关于x 的方程240x ax -+=有实根；命题q ：关于x 的函数224y x ax =++在
[)3,+∞上是增函数，若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是______
．
【正确答案】][)1244⎡--⋃+∞⎣，
，【分析】根据条件求出命题p ，q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．【详解】解：命题p ：关于x 的方程240x ax -+=有实根，则2160a ∆=-≥，解得4a ≥或4a ≤-．命题q ：关于x 的函数224y x ax =++在[)3,+∞上是增函数，∴34
a
-≤，解得12a ≥-．若p q ∧是真命题，则p ，q 同时为真命题，
则4412
a a a -⎧⎨-⎩或，即124a -≤≤-或4a ≥，故][)1244⎡--⋃+∞⎣，
，15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片
后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【正确答案】1和3.
【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.
16．已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2
21:42F x y ⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭（F 为圆心）上一动点.线段AB 的垂直平分线交
BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为___________.【正确答案】2
2
1
3
4
y x +=．【分析】根据椭圆的定义求轨迹方程．
【详解】由题意1
(,0)2
F ，P 在线段AB 的垂直平分线上，则PB PA =，
所以2PF PA PF PB FB +=+==，又1AF =，所以P 在以,A F 为焦点，长轴长为2的椭圆上，
22a =，1a =，12c =
，则222
34
b a
c =-=，所以轨迹方程为22
1
3
4y x +=．故2
2
13
4
y x +=．三、解答题
17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上x ，长轴长为4，焦距为2；(2)一个焦点坐标为()2,0，短轴长为2．
【正确答案】(1)22
143x y +=；
(2)2
215
x y +=．
【分析】（1）根据长轴长求出2a =，根据焦距求出1c =，从而求出b ==方程；（2）根据焦点坐标与短轴长求出b ，c ，从而求出a ，写出椭圆方程.【详解】（1）∵椭圆的焦点在x 轴上，
∴设椭圆的方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），
∵长轴长为4，焦距为2，∴24a =，22c =，∴2a =，1c =，
∴b ==∴椭圆的方程为22
143
x y +=；
（2）焦点坐标为()2,0，短轴长为2，
设椭圆的方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），
∴2c =，1b =，
∴a ==，
∴椭圆的方程为2
215
x y +=．
18．已知点()2,8A 在抛物线22y px =上，ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）．
(1)写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；(2)求线段BC 中点M 的坐标．【正确答案】(1)232y x =；(8,0)F .
(2)(11,4)
-【分析】(1)根据点()2,8A 在抛物线22y px =上，即可求解；
(2)由已知条件知：(8,0)F 是线段AM 的一个三等分点，且2AF FM =
，由此能求出点M 的坐标.
【详解】（1）因为点()2,8A 在抛物线22y px =上，所以644p =，解得：16p =，所以抛物线的方程为：232y x =，焦点坐标为(8,0)F .
（2）因为ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合，由三角形重心的性质可得：2AF FM =
，设
00(,)M x y ，(6,8)AF =- ，00(8,)FM x y =- ，则00
62(8)
82x y =-⎧⎨-=⎩，
解得：0011,4x y ==-，所以线段BC 中点M 的坐标为(11,4)-.
19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为26t x y +⎧=
⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C
的参数方程为26s x y +⎧=-⎪
⎨
⎪=⎩
（s 为参数）．(1)写出1C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．
【正确答案】(1)()2
620y x y =-≥；
(2)31,C C 的交点坐标为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭，()1,2，32,C C 的交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，()1,2--．
【分析】(1)消去t ，即可得到1C 的普通方程；
(2)将曲线23,C C 的方程化成普通方程，联立求解即解出．
【详解】（1）因为26t x +=
，y ，所以226
y x +=，即1C 的普通方程为()2
620y x y =-≥．
（2
）因为2,6
s
x y +=-
=262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤，由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩，解得：121x y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭，()1,2；
联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩，解得：121
x y ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，()1,2--．
20．已知函数2
()|21|f x x a x a =-+-+.
（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.
【正确答案】（1）32x x ⎧
≤⎨⎩
或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .
【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()2
1f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.
当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：3
2
x ≤；
当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112
x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧
≤⎨⎩
或112x ⎫≥⎬⎭.
（2）()()
()()2
222
2121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当
221a x a -≤≤时取等号）
，()2
14a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，
a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .
本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
21．在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为22sin x t y t ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
，（t 为参数），以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛
⎫ ⎪⎝
+⎭+=．
(1)写出l 的直角坐标方程；
(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【正确答案】
20
++=y m
(2)195,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）方法一：联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可.
【详解】（1）因为l ：sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=
，所以1sin cos 022
ρθθ⋅+⋅+=m ，又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=
，所以化简为102++=y m ，整理得l
20
++=y m （2）[方法一]：【最优解】参数方程
联立l 与C
的方程，即将2=x t ，2sin y t =
20++=y m 中，
可得23cos 22sin 203(12sin )2sin 20t t m t t m ++=⇒-++=，
化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，
要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，
令sin =t a ，则[]1,1a ∈-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为16
a =，开口向上，()(1)6235max f f a =-=+-=∴，
min 11219(()36666
==--=-f f a ，19256
m ∴-≤≤，即m 的取值范围为195,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.[方法二]：直角坐标方程
由曲线C
的参数方程为22sin x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩，t 为参数，消去参数t
，可得22y x =+，
联立2202y m y x ++=⎨=+⎪⎩
，得232460(22)y y m y ---=-≤≤，即221194326333m y y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，即有194103m -≤≤，即195122
-≤≤m ，m ∴的取值范围是195,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视y 的范围限制而出错．
22．设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4
PF PF ⋅- ，求点P 的坐标；(2)设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，
且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．
【正确答案】
(1)⎛ ⎝⎭
；
(2)2,,222⎛⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.【分析】(1)求出椭圆的a 、b 、c ，设(,)(0,0)P m n m n >>，利用平面数量积的坐标表示和2
214m n +=即可求解；
(2)设直线l 的方程和()()1122,,A x y B x y ，，联立椭圆方程，根据0∆>和AOB ∠为锐角可得12120x x y y +>，结合韦达定理代入化简计算即可求解.
【详解】（1
）由题意知，2,1,a b c ===
所以(
))
12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，
则22125(,),)34
PF PF m n m n m n ⋅=--⋅--=+-=- ，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩
，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，
所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩
，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612
,4141k
x x x x k k +=-=++，
则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，
又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅> ，12120x x y y +>，
所以21212121212(1)2()4
x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141
k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②
由①②，解得2k -<<2k <<，
所以实数k 的取值范围为(2,- .。