物理新学案同步必修一讲义：第二章 匀变速直线运动的研究3 课时2

课时2位移—时间图象和速度—时间图象
一、位移—时间图象(x－t图象)
1.x－t图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移随时间的变化规律.
2.常见的x－t图象：
(1)静止：一条平行于时间轴的直线.
(2)匀速直线运动：一条倾斜的直线.
3.x－t图象的斜率等于物体的速度.
二、速度—时间图象(v－t图象)
1.v－t图象：以时间t为横坐标，以速度v为纵坐标，描述速度随时间的变化规律.
2.v－t图象的斜率等于物体的加速度，v－t图象与时间轴所围面积表示位移.
1.如图1所示为某一质点沿直线运动的x－t图象，则质点在第1 s内做________运动，1～3 s 内________.第 1 s内速度为__________，1～3 s内速度为__________，3～5 s内速度为________，0～5 内的位移为________.
图1
答案匀速静止10 m/s0－5 m/s0
2.如图2所示为一质点沿直线运动的v－t图象，则它在0～12 s内的位移x＝________m，路程s＝________m.
图2
答案－60180
解析v－t图线与t轴所围图形的“面积”表示位移，0～6 s内的位移x1＝v1t1＝10 m/s×6 s ＝60 m,6～12 s内的位移x2＝v2t2＝－20 m/s×6 s＝－120 m,0～12 s内的位移x＝x1＋x2＝－60 m，路程s＝|x1|＋|x2|＝180 m.
一、位移—时间图象(x－t图象)
1.x－t图象：以时间t为横坐标，以位移x为纵坐标，描述位移x随时间t变化情况的图象叫位移—时间图象.
2.对x－t图象的理解
(1)斜率：斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向.
(2)截距：纵截距表示物体的起始位置.
(3)交点：交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇.
3.几种常见的位移－时间图象
(1)静止物体的x－t图象是平行于时间轴的直线，如图3中的直线A.
图3
(2)匀速直线运动的x －t 图象是一条倾斜的直线，如图中直线B 和C ，其斜率表示速度.其中B 沿正方向运动，C 沿负方向运动.
图4
(3)匀变速直线运动的x －t 图象：由位移x ＝v 0t ＋1
2at 2可以看出，x 是t 的二次函数.当v 0＝0
时，匀变速直线运动的x －t 图象是顶点在坐标原点的一部分曲线，曲线上某点切线的斜率表示那一时刻的速度，图4中切线斜率逐渐增大，质点的速度逐渐增大.
例1 一遥控玩具小汽车在平直路面上运动的位移—时间图象如图5所示，则下列说法正确的是( )
图5
A.前15 s 内汽车的位移为30 m
B.20 s 末汽车的速度为1 m/s
C.前10 s 内汽车的加速度为3 m/s 2
D.前25 s 内汽车做单方向直线运动 答案 A
解析 从图象上可以看出前15 s 内汽车的位移为30 m ，选项A 正确；图象的斜率表示速度，
故15～25 s内汽车反向做匀速直线运动，速度为v＝20－30
25－15
m/s＝－1 m/s，选项B错误；
前10 s内汽车做匀速直线运动，加速度为零，10～15 s内汽车静止，15～25 s内汽车反向做匀速直线运动，选项C、D错误.
对位移－时间图象的理解
1.位移－时间图象不是物体的运动轨迹.
2.位移－时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动.
例2如图6是在同一条直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知()
图6
A.t＝0时，A在B后面
B.B质点在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面
C.在0～t1时间内B的运动速度比A大
D.A质点在0～t1时间内做加速运动，之后做匀速运动
答案 B
解析由题图可知，t＝0时，B在A后面，故A错误；B质点在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面，B正确；在0～t1时间内B的斜率小于A的斜率，故B的运动速度比A小，C错误；A质点在0～t1时间内做匀速运动，之后处于静止状态，故D错误.
1.x －t 图象上两点坐标之差表示对应时间内的位移Δx ，即Δx ＝x 2－x 1；
2.x －t 图象的斜率k ＝Δx
Δt
表示质点的速度；
3.交点坐标表示两质点同一时刻到达同一位置，即相遇. 二、速度－时间图象(v －t 图象)
例3 (多选)某物体运动的v －t 图象如图7所示，根据图象可知，该物体( )
图7
A.在0到2 s 末的时间内，加速度为1 m/s 2
B.4 s 末质点运动方向改变
C.在0到6 s 末的时间内，位移为7.5 m
D.在0到6 s 末的时间内，位移为6.5 m 答案 AD
解析 在0到2 s 末的时间内物体做匀加速直线运动，加速度a ＝Δv Δt ＝2
2 m /s 2＝1 m/s 2，故A
正确；5 s 末质点速度方向改变，B 错误；0～5 s 内物体的位移等于t 轴上面梯形面积x 1＝(
1
2×2×2＋2×2＋12×1×2) m ＝7 m.在 5～6 s 内物体的位移等于t 轴下面三角形面积x 2＝－(
1
2×1×1) m ＝－0.5 m ，故0～6 s 内物体的位移x ＝x 1＋x 2＝6.5 m ，D 正确，C 错误.
例4 物体由静止开始在水平面上运动，0～6 s 内的加速度随时间变化的图线如图8甲所示.
图8
(1)在图乙中画出物体在0～6 s 内的v －t 图线； (2)求在这6 s 内物体的位移大小. 答案 (1)见解析图 (2)18 m
解析 (1)第1 s 内为初速度为0的匀加速直线运动，末速度v 1＝at ＝4 m /s ，v －t 图象是过原点的倾斜直线，1～4 s 加速度为0，速度不变，为匀速直线运动，4～6 s 初速度为第1 s 的末速度v 1＝4 m/s ，加速度a ′＝－2 m/s 2，末速度v 6＝v 1＋a ′t ′＝0，v －t 图象如图所示：
(2)速度—时间图线与t 轴所围成的面积代表位移，即x ＝(3＋6)×4
2
m ＝18 m.
用v －t 图象求位移
v －t 图线与时间轴所围成的“面积”表示位移.“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和. 三、x －t 图象与v －t 图象的比较
注意：(1)无论是v －t 图象还是x －t 图象都不是物体的运动轨迹. (2)v －t 图象和x －t 图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动.
例5 (2018·浙江9＋1高中联盟联考)甲物体运动的速度－时间图象如图9甲所示，乙物体运动的位移－时间图象如图乙所示，在0～4 s 内，关于这两个物体的运动情况，正确的说法是( )
图9
A.甲有往复运动，它通过的路程为12 m
B.甲运动方向一直不变，通过的位移大小为6 m
C.乙有往复运动，它通过的路程为12 m
D.乙运动方向一直不变，通过的位移大小为6 m 答案 D
解析 甲的运动情况：0～2 s 内向负方向做减速运动，2～4 s 内向正方向做加速运动，4 s 末回到出发点，位移为0，路程为s ＝1
2×3×2×2 m ＝6 m ，选项A 、B 错误.乙的运动情况：0～
2 s 内向正方向做匀速运动，起点在原点左侧
3 m 处，2 s 末运动到原点，2～
4 s 内向正方向做匀速运动，4 s 末运动到原点右侧3 m 处，整个过程运动方向不变，路程为6 m ，位移大小为6 m ，C 错误，D 正确.
运动图象的应用技巧
1.确认是哪种图象，v －t 图象还是x －t 图象.
2.理解并熟记四个对应关系.
(1)斜率与加速度或速度对应.
(2)纵截距与初速度或初始位置对应.
(3)交点对应速度或位置相同.
(4)拐点对应运动状态发生改变.
1.某物体的位移－时间图象如图10所示，下列说法中正确的是()
图10
A.物体先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动
B.物体运动8 s时离出发点最远
C.物体运动所能达到的最大位移为80 m
D.在t＝4 s时刻，物体的瞬时速度大小为20 m/s
答案 C
解析由题图读出运动时间是8 s，此图象是位移－时间图象，不是运动轨迹，图线切线的斜率表示速度，则物体先减速后反向加速，A错误；8 s时回到出发点，B错误；物体运动所能达到的最大位移为80 m，C正确；t＝4 s时刻速度为零，D错误.
2.(x－t图象)(多选)甲、乙两物体同时开始做直线运动，它们的位移x与时间t的图象如图11所示，则()
图11
A.甲物体做匀加速直线运动，乙物体做曲线运动
B.甲、乙两物体从同一地点出发
C.出发时乙在甲前x0处
D.甲、乙两物体有两次相遇
答案CD
解析由于题图是x－t图象，过原点的直线表示物体做匀速直线运动，所以甲做匀速直线运动，A错；甲从原点出发，乙从x0处出发，故B错，C对；由题图看出，甲、乙有两个交点，故两物体有两次相遇，D对.
3.(v－t图象的理解和应用)竖直升空的火箭，其v－t图象如图12所示，由图可知以下说法正确的是()
图12
A.火箭上升的最大高度为16 000 m
B.火箭上升的最大高度为48 000 m
C.火箭经过120 s落回地面
D.火箭上升过程中的加速度始终是20 m/s2
答案 B
解析火箭上升的最大高度即为运动过程中的最大位移，由题图可知t＝120 s时，位移最大，
x ＝1
2×120×800 m ＝48 000 m ，故A 错误，B 正确；要落回地面，位移等于0，而120 s 时速度为0，位移最大，到达最高点，故C 错误；根据题图可知，前40 s 火箭做匀加速直线运动，后80 s 做匀减速直线运动，加速度是变化的，故D 错误.
4.(v －t 图象的理解和应用)(2018·长兴县、德清县、安吉县联考)如图13所示为一物体做直线运动的v －t 图象，根据图象做出的以下判断中，正确的是( )
图13
A.物体始终沿正方向运动
B.物体先沿负方向运动，在t ＝2 s 后开始沿正方向运动
C.在t ＝2 s 前物体位于出发点负方向上，在t ＝2 s 后位于出发点正方向上
D.在t ＝2 s 时，物体回到出发点 答案 B
一、选择题
1.某同学为研究物体运动情况，绘制了物体运动的x －t 图象，如图1所示.图中纵坐标表示物体的位移x ，横坐标表示时间t ，由此可知该物体做( )
图1
A.匀速直线运动
B.变速直线运动
C.匀速曲线运动
D.变速曲线运动
答案 B
解析x－t图象所能表示出的位移只有两个方向，即正方向与负方向，所以x－t图象所能表示的运动也只能是直线运动.x－t图线切线的斜率反映的是物体运动的速度，由题图可知，速度在变化，故B正确，A、C、D错误.
2.甲、乙两物体朝同一方向做匀速直线运动，已知甲的速度大于乙的速度，t＝0时，乙在甲前方一定距离处，则两个物体运动的位移－时间图象应是()
答案 C
3.如图2所示是一辆汽车做直线运动的x －t 图象，对线段OA 、AB 、BC 、CD 所表示的运动，下列说法正确的是( )
图2
A.OA 段运动速度最大
B.AB 段物体做匀速运动
C.CD 段的运动方向与初始运动方向相反
D.运动4 h 汽车的位移大小为30 km 答案 C
解析 分析题图可知：OA 段表示汽车向正方向做匀速直线运动，v OA ＝15 km
1 h ＝15 km/h ，AB
段表示汽车静止；BC 段表示汽车向正方向做匀速直线运动，v BC ＝(30－15) km
1 h ＝15 km/h ；
CD 段表示汽车反方向做匀速直线运动，v CD ＝(0－30) km
1 h ＝－30 km/h ，负号表示运动方向与
初始运动方向相反.运动4 h 汽车的位移大小为0.
4.(2018·宁波市诺丁汉大学附中期中)物体A 、B 的x －t 图象如图3所示，由图可知( )
图3
A.从第3 s 起，两物体运动方向相同，且v A >v B
B.两物体由同一位置开始运动，但物体A 比B 迟3 s 才开始运动
C.在5 s 内物体的位移相同，5 s 末A 、B 相遇
D.5 s 内A 、B 的平均速度相等
答案 A
5.如图4所示，折线是表示物体甲从A 地向B 地运动的x －t 图象，直线表示物体乙从B 地向A 地运动的x －t 图象，则下列说法正确的是( )
图4
A.在2～6 s 内甲做匀速直线运动
B.乙做匀速直线运动，其速度大小为5 m/s
C.从计时开始至甲、乙相遇的过程中，乙的位移大小为60 m
D.在t ＝8 s 时，甲、乙两物体的速度大小相等 答案 B
解析 位移－时间图象的斜率表示速度，故乙做匀速直线运动，速度为v 乙＝60－100
8 m /s ＝
－5 m/s ，负号表示朝着负方向运动，甲在0～2 s 内做匀速直线运动，2～6 s 内处于静止状态，A 错误，B 正确；在t ＝8 s 时，甲、乙相遇，此时甲的斜率即速度为v 甲＝60－402 m /s ＝10 m/s ，
乙的速度为－5 m/s ，故两物体速度大小不相等，相遇时乙的位移大小为40 m ，C 、D 错误. 6.A 、B 两质点从同一地点运动的x －t 图象如图5所示，下列说法中正确的是( )
图5
A.A 、B 两质点在4 s 末速度相等
B.前4 s 内A 、B 之间距离先增大后减小，4 s 末两质点相遇
C.前4 s 内A 质点的位移小于B 质点的位移，后4 s 内A 质点的位移大于B 质点的位移
D.B 质点先加速后减速，8 s 末回到出发点 答案 B
解析 x －t 图象中，切线的斜率大小表示速度大小，4 s 末二者的斜率不同，所以速度不同，A 错误；前4 s 内A 、B 之间距离先增大后减小，4 s 末两质点相遇，B 正确；前4 s 内A 质点的位移等于B 质点的位移，后4 s 内A 质点的位移等于B 质点的位移，C 错误；由图线切线的斜率知，B 质点先减速后加速，8 s 末回到出发点，D 错误.
7.马路上的甲、乙两辆汽车的v －t 图象如图6所示，由此可判断两车在这30分钟内的平均速度大小关系是( )
图6
A.甲车大于乙车
B.甲车小于乙车
C.甲车等于乙车
D.条件不足，无法判断 答案 A
解析 相同时间内，甲图线与时间轴所围的面积大，位移x 大，因v ＝x
t ，所以A 对.
8.(多选)如图7所示为汽车在行驶过程中通过交叉路口时的速度—时间图象，由图象可知( )
图7
A.汽车在路口等候的时间为10 s
B.汽车减速过程的加速度大小为2.5 m/s 2
C.汽车减速过程的位移大小为20 m
D.汽车启动过程中做的是加速度增大的加速运动 答案 BC
解析 汽车在路口等候的时间为6 s ，A 项错误.汽车减速过程a ＝Δv
Δt ＝－2.5 m/s 2，B 项正确.
减速过程的位移等于0～4 s 时间内v －t 图线与时间轴围成的面积x ＝20 m ，C 项正确.启动过程中，汽车做加速度越来越小的加速运动，D 项错误.
9.(2018·东阳中学期中)某物体沿水平方向运动，规定向右为正方向，其v －t 图象如图8所示，则( )
图8
A.在0～1 s 内做曲线运动
B.在1～2 s 内速度方向向左
C.在2 s 末离出发点最远
D.在1～2 s 和2～3 s 内的加速度大小相等，方向相反 答案 C
10.如图9所示的位移－时间图象和速度－时间图象中，给出四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是( )
图9
A.图线1表示物体做曲线运动
B.x －t 图象中t 1时刻v 1＞v 2
C.v －t 图象中0至t 3时间内3和4的平均速度大小相等
D.两图象中，t 2、t 4时刻分别表示2、4开始反向运动 答案 B
解析 图线1是位移－时间图象，表示物体是做变速直线运动，选项A 错误；x －t 图线上某点切线斜率的大小表示速度的大小，选项B 正确；v －t 图象中0至t 3时间内3和4的位移不同，所以平均速度不相等，选项C 错误；t 2时刻2开始反向运动，t 4时刻4的加速度方向变化但运动方向不变，选项D 错误. 二、非选择题
11.矿井里的升降机，由静止开始匀加速上升，经过5 s 速度达到4 m/s 后，又以这个速度匀速上升20 s ，然后匀减速上升，经过4 s 停止在井口. (1)画出升降机运动的v －t 图象. (2)求矿井的深度.
答案 (1)见解析图 (2)98 m 解析 (1)如图所示
(2)升降机的位移等于v －t 图线与时间轴所围面积 x ＝1
2×(20＋29)×4 m ＝98 m. 即矿井的深度为98 m.
12.如图10所示是某质点运动的v －t 图象，请回答：
图10
(1)离出发点的最远距离； (2)12 s 内的路程. 答案 (1)70 m (2)80 m
解析 (1)v －t 图象与t 轴围成的面积表示位移，在时间轴上方位移为正，下方位移为负，由题图可知，质点在10 s 后将反向运动，故10 s 末位移最大，最大位移为x ＝1
2×(10＋4)×10 m
＝70 m ，所以离出发点的最远距离为70 m ；
(2)路程是质点运动轨迹的长度，是标量，没有方向，所以12 s 内运动的路程为图象与t 轴围成的面积的绝对值之和，即s ＝(70＋10) m ＝80 m.。