浙江省宁波市慈溪市九年级数学上学期期末试卷(含解析)

2016—2017学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．必然事件的概率是( ）
A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1
2．三角形的外心是两条（）
A．中线的交点B．高的交点
C．角平分线的交点D．边的中垂线的交点
3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinB等于（）
A．B．C．D．
4．下列两个三角形不一定相似的是( ）
A．两个等边三角形
B．两个全等三角形
C．两个等腰直角三角形
D．有一个30°角的两个等腰三角形
5．二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象大致是（）
A．B．C．D．
6．下列说法正确的是( ）
A．天气预报明天下雨的概率是99％，说明明天一定会下雨
B．从正方形的四个顶点中，任取三个连成三角形，事件“这个三角形是等腰三角形”是随机事件
C．某同学连续10次投掷质量均匀的硬币,3次正面向上,因此正面向上的概率是
D．事件A发生的概率是,若在相同条件下重复试验，则做100次这种实验，事件A可能发生7次
7．说明命题“平分弦的直径垂直于弦”是假命题的反例可以是（）
A．弦和直径平行B．弦和直径垂直
C．两条不垂直的直径D．两条垂直的直径
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=16，EB=4，则AE=（）
A．20 B．18 C．16 D．14
9．如图，锐角△ABC内接于⊙O，AO=3，AC=4，则tanB=（）
A．B．C．D．
10．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE:ED=1:3，BE的延长线交AC于F，AF：FC=（）
A．1：3 B．1：4 C．1:5 D．1:6
11．三条线段a，b，c中，b是a，c的比例中项，则a，b，c（)
A．一定能构成三角形B．一定不能构成三角形
C．不一定能构成三角形D．不能构成直角三角形
12．如图，A，B，C在⊙O上，AB是⊙O内接正六边形一边,BC是⊙O内接正十边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n等于（)
A．12 B．15 C．18 D．20
二、填空题(每小题4分，共24分）
13．若α是锐角，且tanα=，则α=度．
14．在同样的条件下对某种小麦进行发芽试验，统计发芽种子数，获得频数及频率如下表：试验种子
155020050010003000
数n（粒）
发芽频数m04451884769512850
发芽频率00。

80。

90.940。

9520.9510。

95
由表估计该麦种的发芽概率是．
15．若点A（﹣3,y1）、B（0,y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2)．
16．如图，D,E分别在AB，AC上,DE∥BC，AD=3，BD=9，DE=2，则BC= ．
17．如图，△ABO中，点O是坐标原点，A(2，2),B（4,2），点C在x轴正半轴上,O，B，C 三点所构成的三角形与△ABO相似，则点C的坐标是．
18．如图,点P（1,2），⊙P经过原点O,交y轴正半轴于点A,点B在⊙P上，∠BAO=45°，则点B的坐标是．
三、解答题（本大题共8小题，共78分)
19．如图，一个转盘被分成3等分，每一份上各写有一个数字，随机转动转盘2次，第一次转到的数字数字为十位数字，第二次转到的数字为个位数字，2次转动后组成一个两位数(若指针停在等分线上则重新转一次）
（1)用画树状图的方法求出转动后所有可能出现的两位数的个数．
（2)甲、乙两人做游戏，约定得到的两位数是偶数时甲胜,否则乙胜，这个游戏公平吗?请说明理由．
20．已知二次函数y=x2﹣2x2﹣3
（1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标．
（2）函数图象向上平移n个单位后，与坐标轴恰有两个公共点，求n的值．
21．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知CD=12米,求旗杆AB的高度．
22．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6,AD:AC=2：3,△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；
（2)求AG与GF的比．
23．如图，AB是⊙O的直径，点D是
的中点，CD与BA的延长线交于E，BD与AC交于点F．
（1）求证：DC2=DF•DB；
（2）若AE=AO，CD=2,求ED的长．
24．某家禽养殖场，用总长为80m的围栏靠墙（墙长为20m）围成如图所示的三块面积相等的矩形区域，设AD长为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）请直接写出GH的长(用含x的代数式表示）
（2)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
（2）当x为何值时,y有最大值？最大值是多少？
25．定义：如图1，D，E在△ABC的边BC上,若△ADE是等边三角形则称△ABC可内嵌，△ADE 叫做△ABC的内嵌三角形．
（1）直角三角形可内嵌．（填写“一定”、“一定不"或“不一定”）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，△ADE是△ABC的内嵌三角形,试说明AB2=BD•BC是否成立？如果成立，请给出证明；如果不一定成立，请举例说明．
（3)在（2）的条件下，如果AB=1，AC=2,求△ABC的内嵌△ADE的边长
26．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0）和点B（﹣1，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点E为抛物线在第一象限上的一点,过点E作EF⊥x轴于点F，交AC于点H，当线段EH=FH时,求点E的坐标．
(3）如图2，若CE∥x轴交抛物线于点E，过点E作ER⊥x轴，垂足为点R，G是线段OR上的动点,ES⊥CG，垂足为点S．
①当△ESR是等腰三角形时，求OG的长．
②若点B1与点B关于直线CG对称，当EB1的长最小时，直接写出OG的长．
2016—2017学年浙江省宁波市慈溪市九年级(上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．必然事件的概率是（)
A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1
【考点】概率的意义．
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件即可解答．【解答】解：∵必然事件就是一定发生的事件
∴必然事件发生的概率是1．
故选：A．
2．三角形的外心是两条（）
A．中线的交点B．高的交点
C．角平分线的交点D．边的中垂线的交点
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】根据三角形的外心的定义解答即可．
【解答】解:∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心,
∴三角形的外心是三角形的两边垂直平分线的交点．
故选:D．
3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinB等于（)
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【分析】本题需先根据已知条件，得出AB的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出本题的答案．
【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5,
∴sinB=，
=．
故选B．
4．下列两个三角形不一定相似的是（)
A．两个等边三角形
B．两个全等三角形
C．两个等腰直角三角形
D．有一个30°角的两个等腰三角形
【考点】相似三角形的判定．
【分析】依据有两组角对应相等的两个三角形相似进行判断即可．
【解答】解：A、两个等边三角形三组角对应相等，所以它们一定相似;
B、两个全等三角形的三组角对应相等，所以它们一定相似；
C、两个等腰直角三角形三组角对应相等,所以它们一定相似；
D、当一个三角形的三个角分为30°,30°，120°，另一个三角形的三个角为30°，75°，75°时，两个三角形不相似．
故选:D．
5．二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象大致是（）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象．
【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．
【解答】解:二次函数y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4中，
a=﹣1＜0，图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
符合条件的图象是A．
故选:A．
6．下列说法正确的是（)
A．天气预报明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨
B．从正方形的四个顶点中，任取三个连成三角形，事件“这个三角形是等腰三角形”是随机事件
C．某同学连续10次投掷质量均匀的硬币，3次正面向上，因此正面向上的概率是
D．事件A发生的概率是，若在相同条件下重复试验，则做100次这种实验，事件A可能发生7次
【考点】随机事件．
【分析】根据事件的确定性和不确定性,以及随机事件的含义和特征，逐项判断即可．
【解答】解：∵天气预报明天下雨的概率是99％，说明明天下雨的可能性大,但不是一定会下雨，
∴选项A不正确；
∵从正方形的四个顶点中，任取三个连成三角形,事件“这个三角形是等腰三角形"是必然事件，
∴选项B不正确；
∵某同学连续10次投掷质量均匀的硬币，3次正面向上，并不能说明正面向上的概率是，∴选项C不正确;
∵事件A发生的概率是，若在相同条件下重复试验，则做100次这种实验,事件A可能发生7次，
∴选项D正确．
故选：D．
7．说明命题“平分弦的直径垂直于弦”是假命题的反例可以是( ）
A．弦和直径平行B．弦和直径垂直
C．两条不垂直的直径D．两条垂直的直径
【考点】命题与定理．
【分析】根据垂径定理的推论解答即可．
【解答】解：命题“平分弦的直径垂直于弦"是假命题的反例可以是两条不垂直的直径，
故选：C．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=16,EB=4，则AE=（）
A．20 B．18 C．16 D．14
【考点】垂径定理;勾股定理．
【分析】连结OC，设⊙O的半径为R，先根据垂径的定理得到CE=8，再根据勾股定理得到R2=（R﹣4）2+82，解得R=10，然后利用AE=2R﹣4进行计算．
【解答】解：连结OC，如图,设⊙O的半径为R，
∵AB⊥弦CD，
∴CE=DE=CD=×16=8,
在Rt△OCE中，OC=R,OE=R﹣4,
∵OC2=OE2+CE2，
∴R2=（R﹣4)2+82,解得R=10，
∴AE=AB﹣EB=2×10﹣4=16．
故选C．
9．如图，锐角△ABC内接于⊙O,AO=3，AC=4,则tanB=（）
A．B．C．D．
【考点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形．
【分析】延长AO交⊙O于D，连接CD,根据圆周角定理求出∠B=∠D，∠ACD=90°，根据勾股定理求出CD，解直角三角形求出即可．
【解答】解：
延长AO交⊙O于D，连接CD，
由圆周角定理得：∠B=∠D，∠ACD=90°，
∵AC=4，AO=3=OD,
∴由勾股定理得：CD===2,
∴tanB=tanD===，
故选D．
10．AD是△ABC的中线,E是AD上一点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC于F，AF:FC=（)
A．1:3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】作DH∥BF交AC于H,根据三角形中位线定理得到FH=HC,根据平行线分线段成比例定理得到==，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH=HC，
∵DH∥BF，
∴==,
∴AF:FC=1：6，
故选:D．
11．三条线段a，b,c中,b是a，c的比例中项，则a，b，c( )
A．一定能构成三角形B．一定不能构成三角形
C．不一定能构成三角形D．不能构成直角三角形
【考点】比例线段．
【分析】根据比例的性质，可得b，根据三角形边的关系，可得答案．
【解答】解:由题意，得
b=，
当a=2，c=4时，b=2，a+b=2+2＞4，即b是a，c的比例中项，则a，b，c能构成三角形；
当a=3，c=12时，b=6，a+b=3+6=9＜12,b是a,c的比例中项，则a,b,c不能构成三角形，
故选：C．
12．如图，A，B，C在⊙O上，AB是⊙O内接正六边形一边，BC是⊙O内接正十边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n等于（)
A．12 B．15 C．18 D．20
【考点】正多边形和圆．
【分析】根据中心角的度数=360°÷边数,列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数,则∠AOC=24°，则边数n=360°÷中心角．
【解答】解：连接OC,AO，BO，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵BC是⊙O内接正十边形的一边，
∴∠BOC=360°÷10=36°，
∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=60°﹣36°=24°，
∴n=360°÷24°=15;
故选：B．
二、填空题(每小题4分,共24分）
13．若α是锐角，且tanα=，则α=60 度．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：α是锐角，且tanα=，则α=60°，
故答案为：60．
14．在同样的条件下对某种小麦进行发芽试验,统计发芽种子数，获得频数及频率如下表:
试验种子
155020050010003000
数n(粒)
发芽频数m04451884769512850
发芽频率00.80.90。

940。

9520.9510。

95
由表估计该麦种的发芽概率是0.95 ．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】根据7批次种子粒数从1粒增加到3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95．
【解答】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，
∴估计种子发芽的概率为0.95．
故答案为：0.95．
15．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点,那么y1与y2的大小关系是y1＜y2（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【解答】解：当x=﹣3时，y1=﹣2（x﹣1）2+3=﹣29;
当x=0时，y2=﹣2（x﹣1)2+3=1；
∵﹣29＜1，
∴y1＜y2，
故答案为：y1＜y2．
16．如图，D，E分别在AB，AC上,DE∥BC,AD=3，BD=9，DE=2，则BC= 8 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵AD=3，BD=9，
∴AB=AD+BD=12，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=,即=，
解得，BC=8，
故答案为：8．
17．如图，△
ABO中，点O是坐标原点，A（2，2），B（4，2），点C在x轴正半轴上，O,B,C三点所构成的三角形与△ABO相似，则点C的坐标是（2,0）或（10,0）．
【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】分两种情形讨论即可①△BOC∽△OBA．②△BOC′∽△OBA分别计算即可．
【解答】解：如图，
∵A(2，2)，B（4，2），
∴AB∥x,AB=2,OB==2，
①当BC∥OA时，
∵∠AOB=∠CBO，∠ABO=∠BOC，
∴△BOC∽△OBA,
∵AB∥OC，BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∴OC=AB=2，
∴C（2，0）．
②当△BOC′∽△OBA时，
=，
∴OC′=10，
∴C′(10,0)，
故答案为(2，0)或（10,0）．
18．如图，点P（1，2）,⊙P经过原点O，交y轴正半轴于点A，点B在⊙P上，∠BAO=45°，则点B的坐标是（3，1）或（﹣1，3）．
【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．
【分析】作辅助线，先利用勾股定理求圆P的半径为，根据已知中的∠BAO=45°可知，两个满足条件的点B的连线就是圆P的直径，由此证明△B1OG≌△B2OH，设B1（x，y）,则OG=x,B1G=y，从而列方程组可求出x、y的值，写出符合条件的点B的坐标．
【解答】解:连接OP，过P作PE⊥x轴于E，
∵P（1，2)，
∴OE=1，PE=2,
由勾股定理得：OP==，
过A作MN⊥y轴，分别作∠MAO、∠NAO的平分线交⊙P于B1、B2,
则∠B1AO=45°，∠B2AO=45°,
∴∠B2AB1=90°，
连接B1B2，则B1B2是⊙P的直径，即过点P，
∴B1B2=2，
∵∠OB2B1=∠B1AO=45°，
∴△B1B2O是等腰直角三角形，
∴OB1=OB2==,
过B1作B1G⊥x轴于G,过B2作B2H⊥y轴于H,∴∠OGB1=∠OHB2=90°，
∵∠GOB1+∠AOB1=90°,∠B2OH+∠AOB1=90°，∴∠GOB1=∠B2OH，
∴△B1OG≌△B2OH,
∴B1G=B2H,OG=OH，
设B1（x，y），则OG=x，B1G=y，
∵∠B2AO=45°，
∴△AB2H是等腰直角三角形，
∴B2H=AH=B1G=y，
∴AO=AH+OH=x+y=4，
则，
解得：，
∵PB=，
∴x=1,y=3不符合题意，舍去，
∴B1（3，1）,B2（﹣1，3),
则点B的坐标为（3，1）或（﹣1，3)，
故答案为：（3，1）或（﹣1,3）．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
19．如图,一个转盘被分成3等分，每一份上各写有一个数字，随机转动转盘2次，第一次转到的数字数字为十位数字，第二次转到的数字为个位数字，2次转动后组成一个两位数(若指针停在等分线上则重新转一次）
（1)用画树状图的方法求出转动后所有可能出现的两位数的个数．
（2)甲、乙两人做游戏，约定得到的两位数是偶数时甲胜，否则乙胜，这个游戏公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）直接利用已知画出树状图，进而得出所有的可能；
（2）利用(1）中所求，进而求出甲、乙两人获胜的概率．
【解答】解：（1）树状图如图所示:
两位数有:11，12,13，21，23，22，31，32，33，一共有9个两位数；
（2）两位数是偶数的有:3种，
故P（甲胜）==,
P（乙胜）==．
则这个游戏不公平．
20．已知二次函数y=x2﹣2x2﹣3
（1)求此函数图象与坐标轴的交点坐标．
（2）函数图象向上平移n个单位后,与坐标轴恰有两个公共点，求n的值．
【考点】抛物线与x轴的交点;二次函数图象与几何变换．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征,解一元二次方程即可;
（2）分抛物线与坐标轴交于原点和x轴上一点、与x轴、y轴各有一个交点两种情况进行解答即可．
【解答】解:（1)当y=0时，x2﹣2x2﹣3=0,
解得，x1=﹣1,x2=3，
∴抛物线与x轴交点（﹣1，0）,（3，0),
当x=0时,y=﹣3，
∴抛物线与y轴交点（0，﹣3);
（2）当函数图象向上平移3个单位后，得到函数解析式为：y=x2﹣2x2，
与坐标轴交于（0，0)和（2,0)两点，
y=x2﹣2x2﹣3=（x﹣1)2﹣4，
函数图象向上平移4个单位后，y=(x﹣1）2,与x轴、y轴各有一个交点，
故n=3或4．
21．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°,在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知CD=12米，求旗杆AB的高度．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】过D作DH⊥AB于H，设BH=xm,根据正切的定义求出DH、AC、AB，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：过D作DH⊥AB于H，设BH=xm，
在Rt△BDH中，tan∠BDH=，
∴DH==x，
∴AC=x，
在Rt△ABC中,tan∠ACB=，
∴AB=AC•tan60°=3x，
∵AH=CD=12
∴3x﹣x=12,
解得，x=6,
答：旗杆AB的高度为18m．
22．如图,在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4,AB=6,AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F．
（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；
（2)求AG与GF的比．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】(1）可得到三组三角形相似；
(2）先利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明△ADE∽△ACB，则∠ADG=∠C,再利用有两组角对应相等的两个三角形相似证明△ADG∽△ACF,然后利用相似比和比例的性质求的值．
【解答】解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；
（2)∵==， =，
∴=，
又∵∠DAE=∠CAB，
∵AF为角平分线，
∴∠DAG=∠FAE
∴△ADG∽△ACF，
∴==,
∴=2．
23．如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，CD与BA的延长线交于E，BD与AC交于点F．
（1)求证：DC2=DF•DB；
(2）若AE=AO,CD=2,求ED的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【分析】（1）由点D是的中点，得到∠ABD=∠CBD，等量代换得到∠ACD=∠CBD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
(2）连结OD，如图，根据等腰三角形的性质得到∠OBD=∠ODB，等量代换得到∠ODB=∠CBD,根据平行线的判定得到OD∥BC，于是得到结论．
【解答】(1）证明：∵点D是的中点，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABD=∠ACD,
∴△CDF∽△BDC，
∴=，
即DC2=DF•DB；
（2）解：连结OD，如图，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
而∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥BC，
∴=,
∵EA=AO=BO，
∴=，
∴ED=4．
24．某家禽养殖场，用总长为80m的围栏靠墙（墙长为20m）围成如图所示的三块面积相等的矩形区域，设AD长为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）请直接写出GH的长（用含x的代数式表示）
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据矩形AEHG与矩形CDEF面积以及矩形BFHG面积相等,求得AD=2DE，进而得出GH的长；
（2）根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案；
（3)把y=﹣x2+40x化为顶点式,根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1))∵矩形AEHG与矩形CDEF面积以及矩形BFHG面积相等，
∴矩形AEFB面积=矩形CDEF面积的2倍，
∴AD=2DE，
∵AD=x，
∴GH=AE=2DE=x；
（2）∵围栏总长为80m,故2x+x+2CD=80，
则CD=40﹣x,
故y=x(40﹣x）=﹣x2+40x,
自变量x的取值范围为:15≤x＜30；
（2）由题意可得:
∵y=﹣x2+40x=﹣（ x2﹣30 x)=﹣（ x﹣15）2+300，
又∵15≤x＜30，
∴当x=15时，y有最大值，最大值为300平方米．
25．定义：如图1,D，E在△ABC的边BC上，若△ADE是等边三角形则称△ABC可内嵌,△ADE 叫做△ABC的内嵌三角形．
（1）直角三角形不一定可内嵌．(填写“一定”、“一定不”或“不一定”)
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°,△ADE是△ABC的内嵌三角形，试说明AB2=BD•BC是否成立？如果成立，请给出证明;如果不一定成立，请举例说明．
（3）在（2）的条件下，如果AB=1，AC=2，求△ABC的内嵌△ADE的边长
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）当直角三角形是等腰直角三角形时可内嵌，所以直角三角形不一定可内嵌．(2)根据三角形相似的判定方法,判断出△BDA∽△BAC，即可推得AB2=BD•BC．
（3)根据△BDA∽△BAC,△AEC∽△BAC，判断出△BDA∽△AEC，求出DE、CE和x的关系，求出△ABC的内嵌△ADE的边长是多少即可．
【解答】解:（1)当直角三角形是等腰直角三角形时可内嵌，
∴直角三角形不一定可内嵌．
（2）∵△ADE是△ABC的内嵌三角形，
∴△ADE是正三角形，
∴∠ADE=60°，
在△ADB和△BAC中,
∴△BDA∽△BAC，
∴=，
即AB2=BD•BC．
（3)设BD=x,
∵△BDA∽△BAC，△AEC∽△BAC，
∴△BDA∽△AEC，
∴=，
∴=，
即DE=2x,
同理CE=4x,
∴12=x﹒7x，
∴7x2=1,
解得x=,
∴DE=,
∴△ABC的内嵌△ADE的边长是．
故答案为：不一定．
26．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0）和点B（﹣1，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点E为抛物线在第一象限上的一点，过点E作EF⊥
x轴于点F，交AC于点H,当线段EH=FH时，求点E的坐标．
（3)如图2，若CE∥x轴交抛物线于点E，过点E作ER⊥x轴，垂足为点R,G是线段OR上的动点，ES⊥CG，垂足为点S．
①当△ESR是等腰三角形时，求OG的长．
②若点B1与点B关于直线CG对称，当EB1的长最小时,直接写出OG的长．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法,可得函数解析式；
（2)根据H是EF的中点，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案；
（3）①根据等腰三角形的定义,可得答案；
②根据两边之差小于第三边,可得C，B1，E三点共线，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：（1）把A（4，0)，B（﹣1,0）代入y=﹣x2+bx+c得：
,
解得：，即：y=﹣x2+x+2；
（2）求得AC的解析式为y=﹣x+2
设H（n，﹣n+2），由EF⊥x轴,则E（n,﹣n2+n+2）
∵EH=FH且点E为抛物线在第一象限上的点,
∴EF=2FH,即﹣n2+n+2=2(n+2）得
n2﹣5n+4=0，
∴n=1或n=4(舍去）
∴E（1,3）;
（3）①设OG=t，则CG=，
∵△COG∽△ESC，
∴=，∴=
∴ES=,
∵∠SER=∠SCE=∠CGO，∴cos∠SER=cos∠CGO=．i．如图1，
当SE=SR时，过点S作SH⊥ER垂足为点H．
∵EH=SE•cos∠SER，
∴1=×，
∴t=3，（t=3+舍去）；
ii．如图2，
当SE=ER时， =2,
∴t=（t=﹣舍去)；
iii．如图3，
当ER=SR时，过点R作RH⊥SE垂足为点H．
∵EH=ER•cos∠SER，
∴×=2×，
∴t=;
综上，当△ESR是等腰三角形时OG=3﹣或或．
②EB1取最小值时,OG=﹣1．
理由如下：如图4，
CB1=CB，EB1≥CE﹣CB1=3﹣,当点C，B1，E三点共线时，EB1取到最小值，此时四边形CBGB1是菱形，
∴OG=BG﹣BO=﹣1．
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