课时作业11：2.3.2 圆的一般方程

2.3.2 圆的一般方程
一、选择题
1．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D ，E ，F 分别为( )
A ．4,8，－4
B ．－4,8,4
C ．8，－4,16
D ．4，－8,16
2．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )
A ．x ＋y ＋3＝0
B ．2x －y －5＝0
C ．3x －y －9＝0
D ．4x －3y ＋7＝0
3．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22
，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32
C ．2或0
D ．－2或0 4．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，45]
B ．(－43，43)
C ．(－34，＋∞)
D ．(34
，＋∞) 5．圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝( )
A ．2
B ．－32
C ．±32
D ．不存在 6．当a 取不同的实数时，由方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay －1＝0可以得到不同的圆，则( )
A ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 上
B ．这些圆的圆心都在直线y ＝－x 上
C ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 或y ＝－x 上
D ．这些圆的圆心不在同一条直线上
二、填空题
7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为_______________.
8．设圆x 2+y 2-4x +2y -11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是__________.
三、解答题
9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．
10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．
参考答案
一、选择题
1.【答案】B
【解析】圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝16，展开得x 2＋y 2－4x ＋8y ＋4＝0，比较系数知D ，E ，F 分别是－4,8,4.
2.【答案】C
【解析】两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2
(x －3)即3x －y －9＝0，故选C ．
3. 【答案】C
【解析】化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22
，得|1－2＋a |2
＝22，∴a ＝2或0. 4.【答案】D
【解析】化圆的标准方程为x 2+(y -1)2＝5a 2＋1，点(2a ，a -1)的圆的内部，则(2a )2＋(a -1-1)2＜5a 2+1，解得a ＞34
. 5．【答案】A
【解析】由题意得直线kx -y ＋4＝0经过圆心C (－12，3)，所以－k 2
－3＋4＝0，解得k ＝2.故选A ．
6．【答案】A
【解析】圆的方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝2a 2＋1，圆心为(－a ，－a )，在直线y ＝x 上．
二、填空题
7．【答案】x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0
【解析】只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．
8．【答案】x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0
【解析】设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.
三、解答题
9．【解析】解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，
可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，
∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－
m )，半径为r ＝12
D 2＋
E 2－4
F ＝5|m －2|. 解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点， 当m ≠2时，原方程表示圆的方程．
此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.
10．【解析】设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，
代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧
4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ② 设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D ．设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0. ③
由①②③联立解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.
∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.。