高中数学苏教版选修2-1学业分层测评：第3章 空间向量与立体几何3.2.1含解析

学业分层测评 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题
1．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.
【解析】 由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3
y ，解得x ＝12，y ＝9.
【答案】 12 9
2．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m)，若l 1⊥l 2，则m ＝________.
【解析】 ∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0，∴m ＝－1
2.
【答案】 －1
2
3．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．
【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x －2－8＝0，所以x ＝－10.
【答案】 －10
4．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM →
·n ＝0的点M 的轨迹是________．
【解析】 AM →·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念． 【答案】 过点A 且与向量n 垂直的平面
5．已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x)，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是________．
【解析】 因为|a|＝6，所以4＋16＋x 2＝36，即x ＝±4，当x ＝4时，a ＝(2,4,4)，由a ·b ＝0，得4＋4y ＋8＝0，解得y ＝－3，此时x ＋y ＝4－3＝1；当x ＝－4时，a ＝(2,4，－4)，由a ·b ＝0，得4＋4y －8＝0，解得y ＝1，此时x ＋y ＝－4＋1＝－3.
综上，得x ＋y ＝－3或x ＋y ＝1. 【答案】 －3或1
6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________. 【09390081】
【解析】 设单位法向量n 0＝(x ，y ，z)，AB →＝(－1,1,0)，AC →
＝(－1,0,1)．
由n 0
·AB →＝0，且n 0
·AC →
＝0得⎩⎨⎧
x 2＋y 2＋z 2
＝1，
y －x ＝0，
z －x ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝33
，
y ＝33，
z ＝33
，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－
33
，y ＝－33
，
z ＝－33
.
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33
，33，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫
－33，－33，－33
7．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，则平面α的一个法向量是________．
【解析】 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， ∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →
＝(2，－4，－3)． 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →
＝0， 即⎩⎨
⎧
x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0，解得⎩⎨
⎧
x ＝2y ，z ＝0.
令y ＝1，则x ＝2.
∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．
【答案】 (2,1,0)
8．已知点A ，B ，C 的坐标分别是(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z)，若PA →⊥AB →，PA →⊥AC →
，则点P 的坐标为________．
【解析】 ∵A(0,1,0)，B(－1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)， ∴AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，PA →
＝(－x,1，－z)． ∵PA →⊥AB →，PA →⊥AC →，
∴PA →·AB →＝(－x,1，－z)·(－1，－1,1)＝0， PA →·AC →＝(－x,1，－z)·(2,0,1)＝0， ∴⎩⎨
⎧
x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝13，z ＝－23，
∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3，0，－23.
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3，0，－23
二、解答题
9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，证明：DB 1→
是平面A 1BC 1的法向量． 【证明】 建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为1， 则D(0,0,0)，B 1(1,1,1)，A 1(1,0,1)，B(1,1,0)，C 1(0,1,1)，
于是DB 1→＝(1,1,1)，BA 1→＝(0，－1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)，由于DB 1→·BA 1→＝－1＋1＝0，DB 1→·BC 1→＝－1＋1＝0.
∴DB 1→⊥BA 1→，DB 1→⊥BC 1→，∵BA 1∩BC 1＝B ，∴DB 1⊥平面A 1BC 1，即DB 1→
是平面A 1BC 1
的法向量．
10．已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，建立空间直角坐标系如图3-2-5.AB ＝3，。