人教版八年级下册17.2勾股定理的逆定理专题讲(无答案)

17.2勾股定理的逆定理专题
知识点1、互逆命题
逆命题：如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.
注：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.
例1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：猫有四只脚．
2．原命题：对顶角相等.
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．
4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．
【变式】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．
知识点2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222
a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 注：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否
为直角三角形.
知识点3、勾股数
满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
注：（1）
22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）
2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长； （3）
2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形
例2、判断由线段a b c
，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a＝7，b＝24，c＝25；
（2）a＝4 3，
b＝1，c＝
3
4；
（3）22
a m n
=-，22
b m n
=+，2
c mn
=(0
m n
>>)；
【变式1】判断由线段a b c
，，组成的三角形是不是直角三角形．
（1）a＝7，b＝24，c＝25；
（2）a＝
4
3，b＝1，c＝
3
4；
（3）22
a m n
=-，22
b m n
=+，2
c mn
=(0
m n
>>)；
【变式2】△ABC三边a b c
，，满足222338102426
a b c a b c
+++=++，则△ABC是（）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
【变式3】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
例3、如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系并加以证明．
【变式1】下列各组数中，全是勾股数的一组是（）
A．2，3，4；6，8，10；5，12，13
B．3，4，5；10，24，26；7，24，25
C．，，；8，15，17；30，40，50
D．0.4，1.2，1.3；6，8，10；9，40，41
【变式2】如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF， BC=5，CF=3，BF=4。

求证：DE∥FC
【变式3】周老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：
a＝__ _____；b＝___ ____；c＝___ ___；
(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否是直角三角形？证明你的猜想．
证明：
(3)显然，满足这样关系的整数a、b、c我们把它叫做________数，请再写一组这样的数_________（不同于表格中已出现的数组）
例4.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.
【变式】在5×5的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，请在下图给定的网格中按下列要求画出图形．
（1）从点A出发，画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（小正方形的每个顶点都称为格点）上，且长度为______．
（2）画出所有以（1）中AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数，并写出所有满足条件的三角形．
例5、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【变式】如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？。