专题29相似形(专项训练)(解析版)

专题29 相似形
一、单选题
1．（2021·江苏景山中学九年级）已知线段a ，b ，c ，其中c 是a 和b 的比例中项，a ＝4，b ＝9，则c =（ ） A ．4 B ．6 C ．9 D ．36
【答案】B 【分析】
根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出c ． 【详解】
解：根据比例中项的概念，得236c ab ==，6c =±， 又线段不能是负数，6-应舍去，取6c =， 故选：B ．
2．（2021·云南文山·九年级）如图，在ABC 中，若:1:2,3ADE
AD AB S
==，则ABC
S
=（ ）
A ．4
B ．8
C ．9
D ．12
【答案】D 【分析】
先证明△ADE 和△ABC 相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答． 【详解】 解：△DE△BC ， △△ADE△△ABC ， △AD ：AB=1：2， △
211
()24
ADE ABC S S ==△△， △△ADE 的面积为3， △S △ABC =3×4=12． 故选D ． 【点睛】
本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 3．（2021·浙江）已知()340x y y =≠，则（ ） A ．
34
x y
= B ．
43=x y
C ．
34
x y = D ．
43
x y
= 【答案】D 【分析】
根据比例的性质：内项之积等于外项之积，可得答案． 【详解】
解：A 、由比例的性质得43x y =，与34x y =不一致，故A 不符合题意； B 、由比例的性质得12xy =，与34x y =不一致，故B 不符合题意； C 、由比例的性质得43x y =，与34x y =不一致，故C 不符合题意； D 、由比例的性质得34x y =，与34x y =一致，故D 符合题意； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是：利用比例的性质解答．
4．（2021·浙江杭州·）如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（ ）
A ．角
B ．边长
C ．周长
D ．面积
【答案】A 【分析】
利用相似图形的性质即可得出答案． 【详解】
在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，角度没有改变， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的性质是解题的关键．
5．（2021·浙江）如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别在边AB ，AC 上（不与端点重合），连接DE ，若DE △BC ，则
DE
BC
＝（ ）
A ．
AD
DB
B ．
EC
AE
C ．
AD
AB
D ．
EC
AC
【答案】C 【分析】
首先根据DE △BC 得到△ADE △△ABC ，然后得到三角形对应边的比即可得到结果． 【详解】 解：△DE △BC ， △△ADE △△ABC ， △
DE AD AE
BC AB AC
==， 故选：C ． 【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，利用平行证明相似，再准确的得到对应边的比是解本题的关键． 6．（2021·浙江九年级）如图，A B C '''和ABC 是位似三角形，位似中心为点O ，2OA AA ''=，则A B C '''和
ABC 的位似比为（ ）
A ．14
B ．13
C ．49
D ．23
【答案】D 【分析】
利用位似图形的性质即可求解． 【详解】
解：△2OA AA ''=， △:2:3OA OA ='，
△A B C '''和ABC 的位似比为2
3
，
故选：D ． 【点睛】
本题考查位似图形的性质，掌握位似三角形的性质是解题的关键．
7．（2021·山西）在“算经十书”中，《九章算术》是中国古代记载最全面完整的一部著作，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，而《海岛算经》则是中国最早的一部测量数学专著，使“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年”，这两本著作是下列哪位数学家留给后世的宝贵数学遗产．（ ）
A ．杨辉
B ．祖冲之
C ．秦九韶
D ．刘徽
【答案】D 【分析】
根据数学史料知识做出回答即可． 【详解】
解：杨辉是南宋杰出的数学家，他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．除此成就之外，还有一项重大贡献,就是“杨辉三角”．故A 不符合题意；
祖冲之是中国南北朝时期杰出的数学家，算出圆周率(π)的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的数学家，故B 不符合题意；
秦九韶是南宋数学家，著作有《数书九章》，故C 不符合题意；
《九章算术》与《海岛算经》是魏晋时期伟大的数学家刘徽的著作，是中国最宝贵的数学遗产．故D 符合题意； 故选：.D 【点睛】
本题考查的是数学史料知识，熟悉数学史是解题的关键．
8．（2021·浙江）如图，为测量楼高AB ，在适当位置竖立一根高2m 的标杆MN ，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长20m, 2.5m AC MP ==，则楼高AB 为（ ）
A ．15m
B ．16m
C ．18m
D ．20m
【答案】B 【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【详解】 △AB MN
AC PM ＝， △
220 2.5
AB ＝， △AB ＝16（米）． 故选：B ． 【点睛】
考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
9．（2021·全国九年级专题练习）如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 边上，//DE BC ，
//EF AB ，则下列式子一定正确的是（ ）
A ．
AD DE
DB BC
= B ．
AD BF
DB FC
= C ．
AD FC
DB BF
= D ．
AD FC
DB BC
= 【答案】B 【分析】
根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过AD AE DB EC =，AE BF
EC FC
=，联系起来，得出结论． 【详解】 △//DE BC △
AD AE
DB EC
= △//EF AB △AE BF
EC FC
= △AD AE BF
DB EC FC
== △
AD BF
DB FC
= 故答案为：B ． 【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证．
10．（2021·成都市树德实验中学九年级）如图，123////l l l ，直线a ，b 与123,,l l l 分别相交于A ，B ，C 和D ，E ，F ．若
2
,45
AB DE BC ==，则DF 的长为（ ）
A ．10
B ．
203
C ．12
D ．14
【分析】
根据平行线分线段成比例的基本事实，建立比值关系求解即可． 【详解】
解：△123////l l l ，且2
5
AB BC = △2
7
AB AC = △72
DE DF = △
4
142277
DE DF =
== 故答案选：D 【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例的基本事实，熟练掌握比值关系是解题的关键． 二、填空题
11．（2021·合肥一六八中学九年级）如图，AE 、BD 交于点C ，//AB DE ，若4AC =，2BC =，1DC =，则EC =__．
【答案】2 【分析】
由AB△DE ，即可证得△ABC△△ECD ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE 的长． 【详解】 解：
//AB DE ，
ABC ECD ∴∆∆∽，
∴
AC BC CE CD
=， 4AC =，2BC =，1DC =，
∴
421
CE =， 解得：2CE =．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
12．（2021·银川市第三中学九年级）如图，//DE BC ，且4=AD ，2DB =， 3.5DE =，则BC 的长度为______．
【答案】5.25 【分析】
根据//DE BC ，可得ADE ABC ，从而
DE AD
BC AB
= ，再由4=AD ，2DB =， 3.5DE =，即可求解． 【详解】 解：△//DE BC ， △ADE ABC ，
△
DE AD
BC AB
= ， △4=AD ，2DB =， △6AB AD DB =+= ， △ 3.5DE =， △3.5
46
BC
=
， 解得： 5.25BC = ． 故答案为：5.25 ． 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
13．（2021·杭州市采荷中学）线段2cm AB =，点P 为线段AB 的黄金分割点（AP BP >），则AP 的长为______cm ．
【答案】1) 【分析】
根据黄金分割的定义得到AP AB =
，把2AB cm =代入计算即可．
【详解】
解：线段2AB cm =，点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，
21)AP AB cm cm ∴=
=，
故答案为：1)． 【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
14．（2021·广西柳州市·）ABC 与'''A B C 相似，且ABC 与'''A B C 的相似比是1:2，已知ABC 的面积是5，则'''A B C 的面积是___________． 【答案】20 【分析】
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】
解：△ABC 与'''A B C 相似，且ABC 与'''A B C 的相似比是1:2， △ABC 与'''A B C 的面积比是1:4， △ABC 的面积是5， △'''A B C 的面积是4×5=20， 故答案为：20． 【点睛】
本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答的关键． 15．（2021·黑龙江）在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，点E 在射线AD 上，2AD DE =，连接B 交AC 于点M ，则
AM
MC
值是__________________． 【答案】1
2或32
【分析】
分两种情况：△当点E 在AD 上时，△当点E 在AD 延长线上时，利用平行四边形的性质根据三角形相似求解即可． 【详解】
解：△如图，当点E 在AD 上时，
四边形ABCD 为平行四边形，
//AD BC ∴，
AEM CBM ∴∆∆∽，
∴
AM AE
MC BC
=， 四边形ABCD 为平行四边形，
AD BC ∴=，
AD AE DE =+,2AD DE =，
22AD BC DE AE ∴===，
∴
1
2
AM AE MC BC ==； △如图，当点E 在AD 延长线上时，
四边形ABCD 为平行四边形，
//AD BC ∴，
AEM CBM ∴∆∆∽，
∴
AM AE
MC BC
=， 四边形ABCD 为平行四边形，2AD DE =，
2AD BC DE ∴==，
AE AD DE =+,
3AE DE ∴=,
∴
33
22
AM AE DE MC BC DE ===， 故答案为：1
2或32．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟记平行四边形的性质及相似三角形的判定． 三、解答题
16．（2021·上海九年级）如图，在平行四边形ABCD 中，BC=8，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=EF=FD ，AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ． （1）求HD 的长；
（2）设BEG 的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．（用含a 的代数式表示）
【答案】（1）2；（2）72
a
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得//AD BC ，根据相似三角形的判定得BEG DEA △∽
△，BFG DFH △∽△，由BE=EF=FD 可得出
1
2BE ED =，12
DF BF =，根据相似三角形的性质即可求解； （2）由BE=EF 可得BEG 与EFG 的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得AED
S 与
DFH
S
的值，AED
S
-DFH
S
即可得四边形AEFH 的面积．
【详解】
解：（1）△平行四边形ABCD ，BC=8， △//AD BC ，AD BC ==8，
△BEG DEA △∽△，BFG DFH △∽△， △
BE BG
ED AD =，DF HD BF BG
=， △BE=EF=FD ， △
1
2BE ED =，12
DF BF =， △BG=1
2AD=4，HD=1
2BG ， △HD=2； （2）△BE=EF ，
△BEG EFG S S =△△=a ， △2BFG S a =△，
△BEG DEA △∽△，BFG DFH △∽△，12BE ED =，12
DF BF =， △4AED S a =△，2
DFH a
S =
△， △四边形AEFH 的面积=AED
S -DFH
S
=
72
a ． 【点睛】
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 17．（2021·武威第八中学九年级）尺规作图：如图，在ABC ∆中，AB AC =，请你利用尺规在BC 边上求一点P ，使得ABC PAC ∆∆∽．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）
【答案】如图所示：点P 即为所求．见解析． 【分析】
直接作AC 的垂直平分线，交BC 于点P ，连接AP ，即为所求. 【详解】
如图所示：点P 即为所求．
【点睛】
此题主要考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键.
18．（2021·长葛市教学研究室九年级）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 边上，ABC ACD ∠=∠.
（1）求证：ABC ACD ∆∆∽； （2）若4,9AD AB ==求AC 的长. 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】
（1）根据相似三角形的判定即可求出答案． （2）根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】
解：（1）证明：△△ABC=△ACD ，△A=△A ， △△ABC△△ACD ；
（2）解：△△ABC△△ACD ， △
AC AB =AD AC ，即AC 9
=4AC
， 解得：AC=6. 【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，属于基础题型．
19．（2021·甘肃）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ， 在近岸取点Q 和S ， 使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着再过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ， 确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ． 如果测得QS=45m ，ST=90m ，QR=60m ， 求河的宽度PQ ．
【答案】90米【分析】
根据相似三角形的性质得出
PQ QR
PQ QS ST
=
+
,进而代入求出即可．
【详解】
解答：根据题意得出：QR△ST ，则△PQR△△PST ，
故
PQ QR PQ QS ST
=
+
，
△QS=45m，ST=90m，QR=60m，
△
60
4590 PQ
PQ
=
+
，
解得：PQ=90（m），
△河的宽度为90米．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR△△PST是解题关键．
20．（2021·浙江九年级）如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，△AED＝△B，△ABC用平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△AED△△ABC．
（2）设
2
3
AD
AC
，求
AG
AF
的值．
【答案】（1）见解析；（2）
2
3 AG
AF
=．
【分析】
（1）根据两组对应角相等的两个三角形相似，可证明△AED△△ABC．
（2）根据相似三角形的性质△AED＝△B，结合已知条件AF平分△BAC，判定△ADG△△ACF，在结合已知
条件
2
3
AD
AC
，可以进行计算．
【详解】
（1）△△AED＝△B，△BAC＝△DAE，△△AED△△ABC；
（2）△△AED△△ABC，
△△ADE＝△ACB，
△AF平分△BAC，
△△DAG＝△CAF，
△△ADG△△ACF，
△
2
=
3 AG AD
AF AC
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定．相似三角形的对应边成比例，解答本题，要找到两组对应角相等，灵活运用是关键．
21．（2021·浙江九年级）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE△△ACB．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△ADG△△ACF；
（2）若AE：AB＝2：3，求AG
FG
的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】
（1）根据△ADE△△ACB，得到△ADE＝△ACB，AF为△BAC的角平分线，可得△DAG＝△FAC，即可得证；
（2）根据ADE△△ACB，得到AE
AB
＝
AD
AC
＝
2
3
，在△ADG△△ACF时，AG：AF＝AD：AC＝2：3，即可求解．
【详解】
解：（1）△△ADE△△ACB，△△ADE＝△ACB，
又△AF为△BAC的角平分线，△△DAG＝△F AC，
△△ADG△△ACF；
（2）△ADE△△ACB，
△AE
AB
＝
AD
AC
＝
2
3
，
△△ADG△△ACF，
△AG：AF＝AD：AC＝2：3，设AG为2x，则AF＝3x，
△GF＝x，
△AG
FG
＝
2
1
＝2．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（2021·西安高新一中实验中学九年级）如图，在ABC中，D为AB边上的中点，在AC边上求作点E，使ADE与ABC位似．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【分析】
利用尺规作△ADE=△ABC交AC于点E，即可．
【详解】
解：如图所示，点E即为所求点．
【点睛】
本题主要考查尺规作一个角等于已知角，位似三角形的定义，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键．
23．（2021·陕西九年级）如图，在△ABC中，AC＝3，AB=5，请用尺规作图法，在BC上求作一点O，使得S△AOC：S△AOB＝3：5．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】
由题意作BM△AC，在射线BM上截取BD，使得BD＝BA，连接AD交BC于点O，点O即为所求作．【详解】
解：如图，点O即为所求作．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，相似三角形的性质与判定，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。