高中数学 第2章 数列 2.2.3 等差数列的前n项和课件 苏

又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
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+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和
S10=
.
答案:100
解析:设该数列公差为d,
∴a2=a1+d,a7=a1+6d,a8=a1+7d. ∴a1+a2=a1+(a1+d)=2a1+d=4.① a7+a8=(a1+6d)+(a1+7d)=2a1+13d=28.② ①②联立后解得:a1=1,d=2. 由等差数列的前 n 项和公式得 S10=1×10+102×9×2=100.
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2.2.3 等差数列的前n项和
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学习 目标
1.理解等差数列前 n 项和公式的推导方法. 2.掌握等差数列前 n 项和公式. 3.能利用等差数列前 n 项和公式解决实际问题.
重点 重点:利用等差数列的前 n 项和公式进行计算.
难点 难点:利用等差数列前 n 项和公式解决实际问题.
等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和
为
.
提示:∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m构成等差数列且其公差为
d=S2m-2Sm=100-60=40, ∴S3m-S2m=S2m-Sm+40=110.∴S3m=210.
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一、等差数列前n项和公式的应用 活动与探究
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2.等差数列前n项和的性质
(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,仍然为 等差数列,且公差为n2d.
(2)项数为2n(n∈N*)的等差数列,奇数项的和为S奇,偶数项的和为 S偶,则S偶-S奇=nd.
S 偶+S 奇=S2n=n(an+an+1)(an,an+1 为中间两项),������������偶奇 = ������������������+������1. (3)项数为 2n+1(n∈N*)的等差数列,S 奇-S 偶=an+1, S 偶+S 奇=S2n+1=(2n+1)an+1(an+1 为中间项),������������奇偶 = ������+������1.
∴a8=a6+2d=16.
(2)a2+a4=a1+d+a1+3d=458, ∴a1+2d=254. ∴S5=5a1+12×5×(5-1)d=5a1+2×5d=5(a1+2d)=5×254=24.
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名师点津
1.与等差数列前n项和公式有关的运算.
类型 基本量
方法
思想
“知三求二型”
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二、等差数列前n项和性质的应用 活动与探究
例2(1)在等差数列{an}中,若a5+a10+a13+a16+a21=20,求S25; (2)若等差数列的项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求 数列的中间项和项数. 思路分析:利用等差数列的性质求解,可以简化计算.
例(1)1a已1=知56,a等n=差-32数,Sn列={-5a,n求}. n 和 d; (2)a1=4,S8=172,求a8和d. 思路分析:在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有 a1,d,n,an,Sn五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个 量.
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预习交流3
(1)在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S20=
.
(2)在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10的值是
.
(3)已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d
为
.
提示:(1)420 (2)24 (3)23 预习交流4
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解:(1)∵a5+a21=a10+a16=2a13,
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1.等差数列的前 n 项和公式 等差数列前 n 项的和等于首末两项和的一半的 n 倍.即 Sn=������(������12+������������),也可以写成 Sn=na1+������(���2���-1)d . 预习交流1 在求等差数列的前n项和时,如何选取两种形式的求和公式? 提示:在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末项 an,用 公式 Sn=������(������12+������������)较好,若已知首项 a1 及公差 d,用公式 Sn=na1+������(���2���-1)d 较好. 预习交流2 等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”,此方 法主要适用于具备什么特征的数列求和? 提示:主要适用于具有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…特征的数列求 和.
a1,d,n,an,Sn 运用等差数列的通项公式和前 n 项和的两个公式建 立方程组,通过解方程组求出未知基本量 方程的思想
注意
①利用等差数列的性质简化计算; ②注意已知与未知联系; ③有时运用整体代换的思想
2.在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等 差数列的问题,均可化成关于a1,d的方程或方程组求解.解题过程中, 要注意:(1)选择适当的公式;(2)合理利用等差数列的有关性质.
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2.在等差数列{an}中,
(1)已知 a6=10,S5=5,求 a8;
(2)已知 a2+a4=458,求 S5.
解:(1)∵a6=10,S5=5,
∴
������1 + 5������ = 5������1 + 10������
1=0,5,解得:
������1 = -5, ������ = 3.
解:(1)由题意,得
Sn=������(������12+������������)
=
������
56-32 2
=-5,
解得:n=15.
又 a15=56+(15-1)d=-32, ∴d=-16. (2)由已知得,
S8=8(������12+������8) = 8(4+2 ������8)=172, 解得:a8=39.