2023-2024学年上海市高一下册开学考试数学试题1(含解析)

2023-2024学年上海市高一下册开学考试数学试题
一、填空题
1．已知全集{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A =_________.【正确答案】[]
7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.
【详解】解：{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<，则A ={}|710x x ≤≤.故答案为.[]7,10
2．函数()2
f x x =
+的定义域是__________.【正确答案】()(],22,3-∞-- 【分析】根据题意列出不等式解出即可.【详解】要使函数有意义则：
303
202x x x x -≥≤⎧⎧⇒⎨
⎨+≠≠-⎩⎩
，所以函数的定义域为()(],22,3-∞-- ，故答案为.()(]
,22,3-∞-- 3．已知幂函数()()
2
232
5m m f x m m x
--=+-⋅的图像不经过原点，则实数m =__________.
【正确答案】2
【分析】根据幂函数的定义及定义域直接求参数值.
【详解】由已知函数()()
2
232
5m
m f x m m x
--=+-⋅为幂函数，
得251m m +-=，解得2m =或3m =-，
当2m =时，()4
f x x -=，定义域为()(),00,∞-+∞U ，函数图像不经过原点，
当3m =-时，()16
f x x =，定义域为R ，且()00f =，函数图像经过原点，
综上所述：2m =，故答案为.2
4．数列{}n a 中，若13a =，且11
2
n n a a +=+，则9a =__________.【正确答案】7
【分析】利用等差数列通项公式可直接求得结果.【详解】由112
n n a a +=+
，13a =知：数列{}n a 是以3为首项，1
2为公差的等差数列，()9139172
a ∴=+-⨯
=.故答案为.7
5．函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3上为严格减函数的充要条件是_________.【正确答案】3
a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数2()21f x x ax =--在区间[]1,3为严格减函数，所以二次函数对称轴3x a =≥，故3
a ≥6．设函数f （x ）200
x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞，若f （α）＝9，则α＝_____．【正确答案】﹣9或3
【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.
【详解】由题意可得09αα≤⎧⎨-=⎩或20
9
αα⎧⎨=⎩＞，
∴α＝﹣9或α＝3故﹣9或3
本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.
7．若数列{}n a 满足113n n a a +=-，前5项和为61
27
，则5a =__________.
【正确答案】
1
27
【分析】分10a =和10a ≠两种情况讨论，结合等比数列的求和公式以及通项公式运算求解.【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，∵11
3
n n a a +=-，则有：
当10a =时，则0n a =，故0n S =，不合题意；当10a ≠时，则数列{}n a 是以公比1
3
q =-的等比数列，
故5151
11361611812713a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦===⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，解得13a =，则4
4
51113327a a q ⎛⎫
==⨯-= ⎪⎝⎭
；
综上所述.5127
a =故答案为.
1
27
8．定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,∞+上的图像如图所示，则不等式()0x f x ⋅的解集是
____.
【正确答案】[]
3,3-【分析】根据奇函数关于原点对称得函数简图，再分类讨论解不等式即可.
【详解】根据函数为奇函数，可作出函数的简图，如图所示：
不等式()()0
00x x f x f x >⎧⋅⇒⎨≥⎩
或()00x f x <⎧⎨≤⎩或0x =，
由图可得：03x <≤或-<3≤0x 或0x =，综上：解集为：[]3,3-故答案为.[]3,3-9
．已知n a n 为正整数），且数列{}n a 共有100项，则此数列中最大项为第
__________项.【正确答案】45
【分析】根据数列的通项公式，判断数列的单调性，即可判断数列的最大项.
【详解】由解析式可知，n a =
1=*n N ∈时，
当[]*
1,44,N n n ∈∈时，数列{}n a 单调递减，且1n a <当[]*
45,100,N n n ∈∈时，数列{}n a 单调递减，且1n a >，
所以当45n =时，数列{}n a 取得最大值.故45
10．已知函数log ,01()(3),1a x x f x a x a x <≤⎧=⎨
-->⎩在()0,∞+上严格增，则实数a 的取值范围是________.【正确答案】31,2⎛⎤
⎥
⎝⎦
【分析】利用分段函数单调递增列不等关系求解即可
【详解】因为函数log ,01()(3),1a x x f x a x a x <≤⎧=⎨
-->⎩
在()0,∞+上严格增，所以1
30log 1(3)1a
a a a a
>⎧⎪->⎨⎪≤-⋅-⎩，解得312a <≤，即实数a 的取值范围是31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，
故31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
11．已知函数()2
3f x a x a =⋅+，1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，与函数()115x
g x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，[]1,0x ∈-，对任意
11,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，总存在[]21,0x ∈-，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是__________.
【正确答案】[]
0,1【分析】根据恒能成立的思想可确定两函数值域的包含关系，结合指数函数和一次函数值域的求法，根据包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】设()f x 的值域为A ，()g x 的值域为B ，
由对任意11,12x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，总存在[]21,0x ∈-，使得()()12f x g x =成立知：A B ⊆；
()g x 在[]1,0-上单调递减，()04g x ∴≤≤，即[]0,4B =；
当0a =时，()0f x =，即0A =，满足A B ⊆；
当0a ≠时，()f x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，()22
1332a a f x a a ∴-+≤≤+，
即22
13,32A a a a a ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，由A B ⊆得：2
2130234
a a a a ⎧-+≥⎪⎨⎪+≤⎩，解得：01a <≤；
综上所述：实数a 的取值范围为[]0,1.故答案为.[]
0,112．已知函数()3
5lg
25x
f x x x
+=++-，若实数a b ､满足()()
22314f a f b +-=，
则最大值为__________.
【分析】由题知()f x 满足任意x ∈R ，都有()()4f x f x +-=，进而得2231a b +=，再根据基本不等式求解即可.
【详解】解：令()3
5lg
5x g x x x
+=+-，因为()()()3
5lg
5x g x x g x x --=-+=-+，所以，函数()3
5lg
5x
g x x x
+=+-是R 上的奇函数，所以函数()()2g x f x =-关于(0,0)中心对称，
所以，()3
5lg
25x
f x x x
+=++-关于(0,2)中心对称，所以，()f x 满足任意x ∈R ，都有()()4f x f x +-=.
因为()()22
314f a f b +-=，
所以22310a b +-=，即2231a b +=.
22
612
24
a b ++==；
=1
2a =，12
b =±时取等号，
所以4
，
故答案为二、单选题
13．若a 、b 为实数，则()0ab a b -<成立的一个充要条件是（）
A ．11
0a b
<
<B ．110b a <<
C ．11
a b
<D ．
11b a
<【正确答案】D
【分析】将命题()0ab a b -<进行等价变换，即可得其充要条件.【详解】()0ab a b -<220a b ab ⇔-<22
a b ab ⇔<⇔22
2222a b ab a b a b
<11b a ⇔<
故选D ．
本题考查用不等式的性质等价转化不等式,要注意不等式性质成立的条件,属于基础题.14．若函数f （x ）＝log2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ，则k 取值范围是A ．30,4⎛⎫
⎪
⎝⎭
B ．30,4⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
C ．30,4⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
D ．(]3,0,4⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪
⎝⎭
【正确答案】B
【分析】利用对数函数的性质，将函数的定义域转化为kx 2+4kx +3＞0恒成立即可．【详解】要使函数y=log 2（kx 2+4kx +3）的定义域为R ，则kx 2+4kx +3＞0恒成立．若k ＝0，则不等式kx 2+4kx +3＞0等价为3＞0，∴k ＝0成立．
若k ≠0，要使kx 2+4kx +3＞0恒成立，则2
016430k k k >⎧
⎨=-⨯<⎩
，即20430
k k k >⎧⎨-<⎩，解得3
04k <<．
综上：3
04
k ≤<
．
本题以对数函数的定义域为切入点，主要考查了不等式恒成立问题，其中要注意对二次项系数k 的讨论是解答本题的关键．
15．等差数列{}n a 中，首项为1a 、公差d 不为零，前n 项和为n S ，若8S 是4S 的3倍，则1a 与
d 的比为（
）
A ．5:2
B ．2:5
C ．5:1
D ．1:5
【正确答案】A
【分析】根据题意结合等差数列的前n 项和()
112
n n n S na d -=+
运算求解.
【详解】由题意可得：843S S =，则11874383422a d a d ⨯⨯⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，即118281218a d a d +=+，注意到10,0a d ≠≠，整理得1:5:2a d =.故选：A.
16．已知非空集合A B ､满足：,A B A B ⋃=⋂=∅R ，已知函数()2,21,x x A
f x x x B ⎧-∈=⎨-+∈⎩
，对于
下列两个命题：①存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()2f x =-无解；②存在唯一的非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数.下列判断正确的是（）
A ．①正确，②错误
B ．①错误，②正确
C ．①②都正确
D ．①②都错误
【正确答案】A
【分析】根据分段函数的性质，可得答案.【详解】设R a ∃∈，[),A a =+∞，(),B a =-∞，
易知当x B ∈时，()21f x a >-+，当x A ∈时，()2
f x a ≤-，
令22122
a a -+≥-⎧⎨-<-⎩32a ≤，故①正确；
当{}0A x x =≠，{}0B x x ==时，显然函数()f x 为偶函数；
当{}1A x x =≠，{}1B x x ==时，由221x x -=-+，解得1x =，故函数()f x 此时也为偶函数，故②错误.
三、解答题
17．已知等差数列{}n a 中，首项116a =，公差0d ≠，且156,,a a a 是等比数列{}n b 的前三项.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；
(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且记4log n
n n T b =，试比较n S 与n T 的大小.
【正确答案】(1)*
3319,4,N
n n n a b n n -=-∈+=(2)当29n >时，n n S T <；当29n =时，n n S T =；当029,,n n n S T n <<>为正整数.
【分析】（1）根据等差数列定义并利用等比数列性质可解得公差3d =-，再求出数列{}n b 的前三项可得其公比1
4
q =
，即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）利用等差数列前n 项和公式和对数运算法则可得23352
n n n S -+=，2
3n T n n =-+，作差
法即可比较出n S 与n T 的大小.
【详解】（1）由题意可得65114164,5165d d d d a a a a =+=+=+=+，
由等比数列性质可得2
516a a a =⋅，
即()()2
16416165d d +=⨯+，解得3d =-或0d =（舍）所以19(1)163(1)31n n a n a d n +-=---=+=，即11253616,4,1b a b a b a ======，所以数列{}n b 是以116b =为首项，公比1
4
q =
的等比数列；即1
31
11441164n n n n b b ---⎛⎫
⎛⎫⋅=⨯= ⎪
⎪
⎝⎭
=⎝⎭
，
所以数列{}n a 与{}n b 的通项公式分别为*
3319,4,N
n n n a b n n -=-∈+=（2）由等差数列前n 项和公式可得()2133522
n n S n a a n n
+-+==
；由4log n n n T b =可得32
44log log 43n n n T n b n n n -===-+，
所以()
()2
222933529222
3n n S n n n n T n n n n -+---+-=
=+-=-，由于*N n ∈，所以当029n <<时，0n n S T ->，即n n S T >；当29n >时，0n n S T -<，n n S T <，当29n =时，0n n S T -=，n n
S T =综上可得，当29n >时，n n S T <，当29n =时，n n S T =，当029,,n n n S T n <<>为正整数.18．已知函数()|2|f x x a a =-+.
（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；
（2）设函数()|21|g x x =-.当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.【正确答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞．
【详解】试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由
()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于
|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.
试题解析：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.因此，()6f x ≤的解集为
.
（2）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当1
2
x =
时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥.①当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.所以a 的取值范围是[2,)+∞.不等式选讲.
19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60
万箱时，()21502p x x x =
+；当产量不小于60万箱时，()64001011860p x x x
=+-，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？
【正确答案】(1)2
150400,0602
64001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨
⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.
【分析】(1)根据产量x 的不同取值范围讨论利润y 关于产量x 的不同对应关系即可求解.(2)分别求出分段函数的最大值，比较大小即可求出利润的最大值.
【详解】（1）当060x <<时，2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫
=-+-=-+- ⎪⎝⎭
；
当60x ≥时，6400640010010118604001460y x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.所以，2
150400,0602
64001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
；
（2）当060x <<时，()2
211504005085022
y x x x =-
+-=--+，当50x =时，y 取得最大值，最大值为850万元；
当60x ≥
时，6400146014601300y x x ⎛
⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭
，当且仅当6400
x x
=
时，即80x =时，y 取得最大值，最大值为1300万元.综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1
n n a
S a a =--(a 为常数，且0a ≠，1)a ≠；（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n
n n
S b a =
+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；（3）若数列{}n b 是（2）中的等比数列，数列(1)n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【正确答案】（1）n n a a =；（2）13；（3）1239344
n n n T +-=⋅+【分析】（1）由公式11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩求得通项公式；（2）简化数列{}n b ，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出2101
a a +=-，解得参数a ；（3）由（2）求出数列{}n c 的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和．
【详解】解：（1）当1n =时，11(1)1
a S a a =
--，1a a ∴=，11(1)1n n a S a a --=--，当2n 时，(1)1
n n a S a a =--且11(1)1n n a S a a --=--，两式做差化简得：1
n n a a a -= 即：1
n n a a a -=，∴数列{}n a 是以a 为首项，a 为公比的等比数列，
∴(),0,1n n a a a a a =≠≠为常数且．
（2）2221(1)1(1)n n n n S a a
b a a a a =+=+---，
若数列{}n b 为等比数列，则2101a a +=-，即13
a =．（3）由（2）知3n n
b =，
∴(1)3n
n c n =- 23031323(1)3n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋯①
23413031323(2)3(1)3n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯⋯②
①-②得：2341
23333(1)3n n n T n +-=+++⋯+--⨯1329322n n +-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭∴1239344
n n n T +-=+ ．本题主要考查求数列通项公式，已知等比数列求参数，求数列前n 项和，利用错位相减求前前n 项和是关键，属于中档题．
21．已知函数()()2x f x x =∈R ，记()()()()()(),g x f x f x h x f x f x =--=+-.
(1)求不等式的解集：()()228f x f x -≤；
(2)设t 为实数，若存在实数[]01,2x ∈，使得()()0021h x t g x =⋅-成立，求t 的取值范围；
(3)记()()()8222H x f x a f x b =⋅+⋅+（其中a b ､均为实数），若对于任意的[]0,1x ∈，均有()1H x ≤，求a b ､的值.
【正确答案】(1)(]
,2-∞
(2)9120⎡⎤⎢⎥⎣
⎦(3)12,8.5
a b =-=【分析】（1）利用因式分解法，结合指数函数的单调性进行求解即可；
（2）利用换元法，结合指数函数的单调性、对钩函数的单调性、基本不等式进行求解即可；（3）根据二次函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）()()()()222822280242202402,
x x x x x f x f x x -≤⇒-⋅-≤⇒-+≤⇒-≤⇒≤所以不等式的解集为(],2-∞；
（2）设()()21h x t g x =⋅-，[]1,2x ∈，
()()()2222222122322x x x x x x x x t t ----+=--⇒-+=-，
令22x x m -=-，因为函数22x x m -=-在[]1,2x ∈上单调递增，所以315,24m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
于是有3t m
m =+，3t m m =+≥=3m m =时取等号，即m =
号，因为函数3t m m =+在32⎡⎢⎣单调递减，在154⎤⎥⎦上单调递增，
当32m =时，72t =，当154m =时，9120t =，因此9120t ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦，
存在实数[]01,2x ∈，使得()()0021h x t g x =⋅-成立，所以9120t ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦；（3）()()()822282222x x H x f x a f x b a b =⋅+⋅+=⋅+⋅+，
令2x n =，因为[]0,1x ∈，所以[]1,2n ∈，
于是有()282H n n an b =++，当[]1,2n ∈时，()1H n ≤，
所以有()()22118221182212132421132421121211888H a b a b H a b a b a a a b b H ⎧⎧⎧⎪⎪≤⎪++≤-≤++≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤⇒++≤⇒-≤++≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪⎪-≤-+≤-+≤-≤ ⎪⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩⎩
，
由18221182211312132421132421a b a b a a b a b -≤++≤-≤++≤⎧⎧⇒⇒-≤≤-⎨⎨-≤++≤-≤---≤⎩⎩
，由22218221182212822124812112188a b a b a a a a a b b -≤++≤-≤++≤⎧⎧⎪⎪⇒⇒-≤++≤⇒-≤≤-⎨⎨-≤-+≤-≤-≤⎪⎪⎩⎩
，所以12a =-，
因此有1824217.58.58.5118218.59.5b b b b b -≤-+≤≤≤⎧⎧⇒⇒=⎨⎨-≤-≤≤≤⎩⎩
，即12,8.5a b =-=.关键点睛：利用指数函数和对钩函数的单调性，结合二次函数的性质是解题的关键.。