高考数学一轮总复习课时规范练41直线与圆圆与圆的位置关系北师大版

课时规范练41直线与圆、圆与圆的位置关系
基础巩固组
1.(2021浙江余姚中学月考)直线mx-y+1=0与圆(x-2)2+(y-1)2=5的位置关系是()
A.相交
B.相切
C.相离
D.与m的值有关
2.(2021湖南长沙一中月考)已知圆x2+y2=25，则过圆上一点A(3，4)的切线方程为()
A.3x+4y-25=0
B.4x+3y-24=0
C.3x-4y+7=0
D.4x-3y=0
3.(2021河南安阳一中月考)若直线l:mx+ny+3=0始终平分圆C:x2-2x+y2+3y-1=0，则2m-3n=()
A.-6
B.-3
C.3
D.6
4.(2021安徽合肥一中模拟)“k∈[-2，√3]”是“直线l:y=kx与圆C:(x-2)2+y2=3相交”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C2:x2+y2-6x+2y-40=0，则()
A.两圆相切
B.公共弦长为4√10
C.两圆相离
D.公共弦长为2√10
6.直线l过点P(1，2)且与直线x+ay-3=0平行.若直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，则实数
a的值是()
A.-3
4B.3
4
C.4
3
D.-4
3
或0
7.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与(x+2)2+(y-2)2=9的公切线有条.
8.(2021河北秦皇岛二模)已知直线x+y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4相交于A，B两点，则△ABC 的面积为.
9.(2021湖北荆州模拟)已知圆C过点A(4，-1)，且与直线x-y+1=0相切于点B(-2，-1).
(1)求圆C的方程;
(2)设直线y=x与圆C相交于M，N两点，求弦长|MN|.
综合提升组
10.已知直线l:kx+y=0与圆M:x2+y2-2x-2y+1=0，则下列说法中错误的是()
A.直线l与圆M一定相交
B.若k=0，则直线l与圆M相切
C.当k=-1时，直线l被圆M截得的弦最长
D.圆心M到直线l的距离的最大值为√2
11.已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A，B，则下列说法中错误的是()
A.圆O1和圆O2有两条公切线
B.直线AB的方程为x-y+1=0
C.圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|
D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2
12.(2021山东烟台二中三模)已知直线ax+y-2=0与圆C:x2+y2-2x-2ay+a2-3=0相交于A，B两点，且△ABC为钝角三角形，则实数a的取值范围为.
13.若一个圆的圆心是抛物线x2=8y的焦点，且该圆与直线√3x-y-2=0相切，则该圆的标准方程为.过点P(-2，-2)作该圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为.
创新应用组
14.(2021北京高三一模)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，
AB=AC=4，B(-1，3)，C(4，-2)，且其“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切.则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为() A.2√2 B.3√2
C.4√2
D.6
15.阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的
代表成果之一;平面上一点P到两定点A，B的距离满足|PA|
|PB|
=t(t>0且t≠1)为常数，则点P的轨迹
为圆.已知圆O:x2+y2=1和点A(-1
2,0)，若定点B(b，0)(b≠−1
2
)和常数λ满足:对圆O上任意一点M，
都有|MB|=λ|MA|，则λ=，△MAB面积的最大值为.
课时规范练41 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.A 解析:因为直线mx-y+1=0过定点(0，1)，且(0-2)2
+(1-1)2
=4<5， 所以点(0，1)在圆内，所以直线和圆相交.故选A .
2.A 解析:因为圆x 2
+y 2
=25的圆心为O (0，0)，所以直线AO 的斜率k OA =4
3，所以切线的斜率k=-1k OA
=-34，所以切线方程为y-4=-3
4(x-3)，化简得3x+4y-25=0.故选A .
3.A 解析:由圆C :x 2
-2x+y 2
+3y-1=0得圆心C (1,−3
2).
因为直线平分圆，所以直线必过圆心(1,−32)，则m-3
2n+3=0，则2m-3n=-6.故选A . 4.B 解析:由直线与圆相交，得圆心到直线的距离为d=√k 2+1
<√3，解得k ∈(-√3,√3).因为(-
√3,√3)⫋[-2，√3]，
所以[-2，√3]是直线l 与圆C 相交的必要不充分条件. 故选B .
5.B 解析:圆C 1的标准方程为(x-5)2
+(y-5)2
=50，圆心为(5，5)，半径为r 1=5√2. 圆C 2的标准方程为(x-3)2
+(y+1)2
=50，圆心为(3，-1)，半径为r 2=5√2. ∵圆心距d=√(5-3)2+[5−(−1)]2=2√10， ∴|r 1-r 2|<d<r 1+r 2，∴两圆相交，故选项A ，C 错误; 设两圆公共弦长为L ，则有(L 2)2+(d 2)2
=r 2
(r=r 1=r 2)，
∴L=4√10，故选项B 正确，选项D 错误. 故选B .
6.D 解析:设直线l 的方程为x+ay+c=0(c ≠-3). 因为直线l 过点P (1，2)，所以c=-1-2a ， 所以直线l 的方程为x+ay-2a-1=0. 圆x 2
+y 2
=4的圆心为(0，0)，半径为2.
因为直线l 被圆x 2
+y 2
=4截得的弦长为2√3，所以弦心距为1， 所以圆心到直线的距离d=
√a 2+1
=1，解得a=0或a=-4
3.故选D .
7.3 解析:圆x 2+y 2-4x+2y+1=0整理可得(x-2)2+(y+1)2
=4，可得圆心C 1的坐标为(2，-1)，半径
r 1=2.
(x+2)2
+(y-2)2
=9的圆心C 2的坐标为(-2，2)，半径r 2=3，所以圆心距
|C 1C 2|=√(2+2)2+(2+1)2=5=r 1+r 2，
所以两个圆外切，所以公切线有3条.
8.2 解析:因为圆C :(x-2)2
+(y-1)2
=4的圆心为C (2，1)，半径r=2， 所以圆心C 到直线x+y-5=0的距离d=
√2
=√2，
所以直线x+y-5=0被圆C :(x-2)2
+(y-1)2
=4截得的弦长|AB|=2√4−2=2√2，所以△ABC 面积S=1
2×2√2×√2=2.
9.解(1)过切点B (-2，-1)且与直线x-y+1=0垂直的直线为y+1=-(x+2)， 即x+y+3=0，则其过圆心.
∵直线AB 方程为y=-1，∴AB 的中垂线x=1过圆心. 联立{x +y +3=0,
x =1,
解得{x =1,y =−4,
∴圆心为(1，-4)，∴半径r=√(1+2)2+(−4+1)2=3√2， ∴所求圆的方程为(x-1)2
+(y+4)2
=18. (2)∵直线l 的方程为x-y=0，
∴圆心C (1，-4)到直线l 的距离d=√2，
∴|MN|=2√18−d 2=√22.
10.A 解析:M :x 2
+y 2
-2x-2y+1=0，即(x-1)2
+(y-1)2
=1，是以点(1，1)为圆心，以1为半径的圆. 对于A ，因为直线l :kx+y=0过原点，且02
+02
-2×(-2)×0+1>0，所以原点在圆外，所以直线l 与圆M 不一定相交，故A 错误;
对于B ，若k=0，则直线l :y=0，直线l 与圆M 相切，故B 正确; 对于C ，当k=-1时，直线l 的方程为y=x ，过圆M 的圆心，故C 正确;
对于D，由点到直线的距离公式，得d=
√k2+1=√k2+1+2k
k2+1
=√1+2
k+1
k
≤√2(当且仅当k=1时，等号
成立)，故D正确.故选A.
11.C解析:对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确;
对于B，将两圆方程相减可得-2x+2y-2=0，即得直线AB的方程为x-y+1=0，故B正确;
对于C，直线AB过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，所以圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误;
对于D，圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径为2，圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为
√2
=√2，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2，故D正确.
故选C.
12.(2-√3，1)∪(1，2+√3)解析:圆C:x2+y2-2x-2ay+a2-3=0可化为(x-1)2+(y-a)2=4，
故圆心为C(1，a)，半径为2.
当△ABC为等腰直角三角形时，
点C到直线的距离d=
√a2+1
=√2，解得a=2±√3.
∵△ABC为钝角三角形，∴0<d<√2.
又当a=1时，d=0，
∴a的取值范围为(2-√3，1)∪(1，2+√3).
13.x2+(y-2)2=4x+2y-2=0解析:由题意，圆心坐标为F(0，2).
因为该圆与直线√3x-y-2=0相切，所以d=|-2-2|
2
=2=r，所以圆的标准方程为x2+(y-2)2=4.因为∠FAP=
∠FBP=π
2
，所以点F，A，B，P四点共圆，且FP为该圆的直径，所以圆的方程为(x+1)2+y2=5.又因为x2+(y-2)2=4，联立求解得x+2y-2=0，所以直线AB的方程为x+2y-2=0.
14.A解析:因为在△ABC中，AB=AC=4，
所以BC边上的高、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为△ABC边BC的垂直平分线AD.
因为B(-1，3)，C(4，-2)，所以D(3
2,1 2 ).
因为直线BC 的斜率为
3+2-1-4
=-1，所以边BC 的垂直平分线的斜率为1，所以边BC 的垂直平分线方程
为y-12
=x-32
，即x-y-1=0.
因为△ABC 的“欧拉线”与圆M :(x-a )2
+(y-a+3)2
=r 2
相切，所以圆心M (a ，a-3)到“欧拉线”的距离为
√2
=r ，解得r=√2.因为圆心(a ，a-3)到直线x-y+3=0的距离为
√2
=3√2，所以圆M
上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为3√2−√2=2√2.故选A . 15.2 3
4 解析:设点M (x ，y ).由|MB|=λ|MA|(λ≥0)，得(x-b )2
+y 2
=λ
2
x+1
2
2
+y 2，整理得(-
λ2)x 2+(1-λ2)y 2-(2b+λ2)x+b 2-1
4λ2=0.
因为b=-1
2
，所以|MB|≠|MA|，所以λ≠1，所以1-λ2
≠0，所以x 2
+y 2
-2b+λ21−λ2
x+b 2-14
λ2
1−λ2=0，所以
{2b+λ2
1−λ2
=0,
b 2-14
λ2
1−λ2
=−1,
解得{λ=1,b =−12(舍去)或{λ=2,b =−2.
如图所示，S △MAB =12|AB||y M |.由图可知，当|y M |=1，即M 的坐标为(0，1)或(0，-1)时，S △MAB 取得最大值1
2-1
2-(-2)=3
4.。