2022年山西省吕梁市育星中学高二数学文联考试题含解析

2022年山西省吕梁市育星中学高二数学文联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某商场有四类食品，其中粮食类，植物油类，动物性食品类及果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品的种类之和是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
参考答案：
C
略
2. 设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x增加一个单位时（）
A.y平均增加2.5个单位
B.y平均增加2个单位
C.y平均减少2.5个单位
D.y平均减少2个单位
参考答案：
C
3. 在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形则第个三角形数
为
（）
A． B. C. D.
参考答案：
B
略4. 已知双曲线的离心率为，则m=
A. 4
B. 2
C.
D. 1
参考答案：
B
【分析】
根据离心率公式计算．
【详解】由题意，∴，解得．
故选B．
【点睛】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定．
5. △ABC 中，，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
参考答案：
A
6. 将甲、乙、丙、丁四名大学生分配到三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲、乙不能去同一个学校，则不同的分配方案共有（）
A．36种B．30种C．24种D．20种
参考答案：
B
7. 已知椭圆的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的离心率是( )
A． B． C．.
D．
参考答案：
D
8. 从2008名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2008人中，每人入选的机会（）高考资源网A．不全相等 B. 均不相等
C. 都相等，且为.
D. 都相等，且为
.
参考答案：
C
9. 过的焦点作直线交抛物线与两点，若与的长分别是，则（）
A、 B、C、 D、
参考答案：
C
略
10. 已知函数f(x)＝x2＋2bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件：为事件A，则事件A 发生的概率为
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若变量x，y满足约束条件的最大值
= ．参考答案：
3
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
则当直线y=﹣2x+z经过点A（2，﹣1）时，直线的截距最大，
此时z最大，
此时z=3，
故答案为：3；
12. 设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是．
参考答案：
[0，+∞）
【考点】7J：指、对数不等式的解法；4O：对数函数的单调性与特殊点．
【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．
【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，
解得x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；
x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．
综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．
13. 如图，平面四边形中， ,,，，，则
．
参考答案：
14. 已知直线
不通过第四象限，则的取值范围是______.
参考答案：
[, 1]
15. 将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有 种。

参考答案：
12
16. 用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一个体
a “第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是＿，＿，＿． 参考答案：
1/6，1/6，1/3．
17. 已知m 为函数f （x ）=x 3﹣12x 的极大值点，则m= ．
参考答案：
﹣2
【考点】6D ：利用导数研究函数的极值．
【分析】求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，求解极大值点即可． 【解答】解：函数f （x ）=x 3﹣12x ，可得f'（x ）=3x 2﹣12， 令3x 2﹣12=0，x=2或﹣2，
x∈（﹣∞，﹣2），f'（x ）＞0，x∈（﹣2，2）f'（x ）＜0，x∈（2，+∞），f'（x ）＞0， x=﹣2函数取得极大值，所以m=﹣2． 故答案为：﹣2．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 变量x ，y 满足
(1)设z ＝求z 的最小值；
(2) 设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．
参考答案：
略
19. A 市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度，随机选取了140位市民进行调查，调查结果统计如下： （2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：
（i ）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关；
（ii ）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有5位退休老人，其中2位是教师，现从这5
位退休老人中随机抽取3人，求至多有1位老师的概率.
附：，其中.
（1）
（2）（i）因为的观测值
，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关.
（ii）记人分别为，，，，，其中，表示教师，从人中任意取人的情况有，，，，，，，，，
共种，其中至多有位教师的情况有，，，，，，共种，
故所求的概率.
20. 已知曲线所围成封闭图形面积为12,曲线C2是以曲线C1与坐标轴的交
点为顶点的椭圆, 离心率为. 平面上的动点P为椭圆C2外一点,且过P点
引椭圆C2的两条切线互相垂直.
（1）求曲线C2的方程；
（2）求动点P的轨迹方程.
参考答案：（1）解:因为所围成封闭图形面积S=2ab=12………2分
椭圆C2的离心率为，所以，解得，得
故椭圆C2的方程为． (6)
分
（2）设,当两切线l1，l2的斜率存在且不为0时，设l1的方程为，
联立直线l1和椭圆C2的方程，得，消去y并整理，得:
………………8分
因为直线l1和椭圆C2有且仅有一个交点，
，
化简并整理，得．＊…………………9分
同理直线l2的斜率满足方程＊,又因为两切线l1，l2垂直，所以两切线斜率之积
.，．①…………………11分
当切线l1(l2)的斜率为0时,l2 (l1)的斜率不存在，此时，符合①式．
综上所述，点P的轨迹方程为．………………………12分21. （本小题满分12分）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且
，，是的中点．
（1）求点到面的距离；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求二面角的余弦值．
参考答案：
方法一:(1)以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则有、、、
设平面的法向量为
则由
由
，则点到面的距离为………4分
<>所以异面直线与所成的角余弦值为2/5.……8分(3)设平面的法向量为则由知:
由知:取
由(1)知平面的法向量为
则<>.结合图形可知,二面角的余弦值为.………12分
方法二:(1)取的中点,连、
、
则面,的长就是所要求的距离.
、，
，在直角三角形中，有………4分（另解：由
(2)取的中点，连、，则∥是异面直线与所成的角.求
得:…8分
(3)连结并延长交于,连结、.
则就是所求二面角的平面角.作于,则
在直角三角形中,
在直角三角形中,
略
22. 如图为一简单组合体，其底面ABCD为边长2正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且
．
（1）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB．
（2）求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【专题】计算题；规律型；数形结合；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，证明DB⊥AC，AC⊥PD，推出AC⊥面PBD，然后证明NE⊥面PDB．
证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，推出EN⊥PB，EN⊥DB，然后证明NE⊥面PDB．
（2）连结DN，证明DN⊥PB，求出平面PBE的法向量，求出平面ABCD的法向量，设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，利用数量积求解平面PBE与平面ABCD所成的二面角．
【解答】（本题12分）
解：（1）证法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，
∵F为BD的中点，∴NF∥PD且
又EC∥PD且，则NF∥EC且NF=EC
∴四边形NFCE为平行四边形∴NE∥FC﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴NE⊥面PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣
证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：则则﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵，
∴EN⊥PB，EN⊥DB﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵PB，DB?面PDB，且PB∩DB=B
∴NE⊥面PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）连结DN，由（1）知NE⊥面PDB∴DN⊥NE，
∵，∴DN⊥PB
∴为平面PBE的法向量，且﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵为平面ABCD的法向量，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴θ=45°，即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．。