高考数学第一轮复习押题专练11含答案

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2017 年高考数学第一轮复习押题专练11( 含答案 )
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸襟问题；1．正、余弦定理在△ ABC中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容 asin A
＝b sin B ＝csin C ＝2R a2＝b2＋c22bccos__A； b2 ＝c2＋
a22cacos__B； c2 ＝a2＋b2－2abcos__C 常有变形 (1)a ＝2Rsin A，b ＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C； (2)sin A ＝a2R，sin B ＝b2R，sin C
＝c2R； (3)a ∶b∶c＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B ，asin C ＝csin A cos A ＝b2＋c2－a22bc； cos B＝
c2＋a2－b22ac； cos C ＝a2＋b2－c22ab
2.S△ABC＝ 12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc4R＝12(a ＋b＋
c)?r(r 是三角形内切圆的半径 ) ，并可由此计算 R，r. 高频考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形例 1、(1) 在△ ABC中，已知 a＝2，b＝6，A＝45°，则知足条件的三角形有 ( ) A．1 个 B ．2 个 C．0
个 D．无法确定 (2) 在△ ABC中，已知 sinA ∶sinB ＝2∶1， c2＝b2
＋2bc，则三内角 A，B，C 的度数依次是 ________． (3)(2015? 广东 )
设△ ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c. 若 a＝3，sinB ＝12，C＝π6，则 b＝________. 答案 (1)B (2)45 °，30°，105° (3)1 剖析(1) ∵bsinA ＝6×22＝ 3，∴ bsinA<a<b. ∴知足条件的三角形
有 2 个． (2) 由题意知 a＝2b，a2＝b2＋c2－2bccosA，即 2b2＝b2
＋c2－2bccosA，又 c2＝ b2＋2bc，∴cosA＝22，A＝45°， sinB ＝
12，B＝30°，∴ C＝105°. (3) 因为 sinB ＝12 且 B∈(0 ，π) ，所以
B＝π6 或 B＝5π6. 又 C＝π6，B＋C<π，所以 B＝π6，A＝π－B
－C＝2π3. 又 a＝3，由正弦定理得 asinA ＝bsinB ，即 3sin 2 π3＝bsin π6，解得 b＝1. 【感悟提升】 (1) 判断三角形解的个数的两种方
法①代数法：依照大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数
的值域等判断．②几何图形法：依照条件画出图形，经过图形直观判
断解的个数． (2) 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用
正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用
余弦定理时，可依照一元二次方程根的情况判断解的个
数．【变式研究】 (1) 已知在△ ABC中， a＝x，b＝2，B＝45°，若
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三角形有两解，则x 的取值范围是 () A ．x＞2 B．x＜2 C．2＜x
＜22 D．2＜x＜23 (2) 在△ ABC中， A＝60°， AC＝2，BC＝3，则 AB
＝________. 答案(1)C (2)1 高频考点二和三角形面积相关的问题例
2、(2015?浙江 ) 在△ ABC中，内角 A，B，C所对的边分别是
a，b，c，已知 A＝π4，b2－a2＝12c2. (1) 求 tanC 的值； (2) 若△ ABC
的面积为 3，求 b 的值．【感悟提升】 (1) 关于面积公式 S＝12absinC
＝12acsinB ＝12bcsinA ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)
与面积相关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【变式研究】四边形 ABCD的内角 A 与 C互补， AB＝1， BC＝3，CD＝DA＝2. (1) 求 C和 BD； (2) 求四边形 ABCD的面积．解 (1) 由题设
A 与 C互补及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC?CDcosC＝ 13－
12cosC，① 高频考点三正弦、余弦定理的简单应用例3、(1) 在△ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 cb<cosA，则△ ABC
为( ) A．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D．等边三角形 (2) 在△ ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a ，b，c 分别为角 A，B，C的
对边 ) ，则△ ABC的形状为 ( ) A．等边三角形 B ．直角三角形 C．等
腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形答案 (1)A (2)B 剖析
(1)已知cb<cosA，由正弦定理，得sinCsinB<cosA ，即sinC<sinBcosA ，所以 sin(A ＋B)<sinBcosA ，即 sinBcosA ＋cosBsinA －sinBcosA<0，所
以 cosBsinA<0. 又 sinA>0 ，于是有 cosB<0，B 为钝角，所以△ ABC
是钝角三角形．(2) ∵cos2B2＝ 1＋cosB2，cos2B2＝a＋c2c，∴(1
＋c osB)?c＝a＋c，∴a＝cosB?c＝ a2＋c2－b22a，∴2a2＝ a2＋c2
－b2，∴a2＋ b2＝c2，∴△ ABC为直角三角形．【贯串交融】 (2015?
课标全国Ⅱ ) 如图，在△ ABC中，D是 BC上的点，AD均分∠ BAC，
△ABD面积是△ ADC面积的 2 倍． (1) 求 sinBsinC ；(2) 若 AD＝1，DC＝22，
求 BD和 AC的长．【感悟提升】 (1) 判断三角形形状的方法①化边：
经过因式分解、配方等得出边的相应关系，进而判断三角形的形
状．②化角：经过三角恒等变形，得出内角的关系，进而判断三角
形的形状，此时要注意应用 A＋B＋C＝π这个结论． (2) 求解几何计算
问题要注意①依照已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在
某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．【变式研究】 (1) 在△ ABC
中，内角 A，B，C 所对的边长分别是a，b，c，若 c－acosB＝(2a －b)cosA ，则△ ABC的形状为 () A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等
腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 (2) 如图，在△ ABC中，已知点D在BC边上， AD⊥AC，sin ∠BAC＝ 223，AB＝32，AD＝3，则 BD的长为______．答案 (1)D (2)3 【2016 高考新课标 1 文数】△ ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c. 已知，，，则 b=（）（A）
（B）（C）2 （D）3 【答案】D 【剖析】由余弦定理得，解得（舍去），应选 D. 【2016 高考山东文数】中，角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知，则 A=（）（A）（B）（C）（D）【答案】 C 【剖析】由余弦定理得：，因为，所以，因为，所以，因为，所以，应选 C. 【2015 高考广东，文 5】设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B 【剖析】由余
弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，应选B．【2015 高考福建，文 14】若中，，，，则
_______．【答案】【2015高考重庆，文13】设的内角A，B，C
的对边分别为 , 且 , 则 c=________. 【答案】 4 【剖析】由及正弦
定理知： , 又因为 , 所以，由余弦定理得：，所以 ; 故填：4. 【2015
高考安徽，文 12】在中，，，，则 . 【答案】 2 【剖析】由正弦定
理可知：【2015 高考北京，文 11】在中，，，，则．【答案】【剖析】由正弦定理，得，即，所以，所以 . 【2015 高考山东，文17】中，角所对的边分别为 . 已知求和的值 . 【答案】【2015 高考天津，文 16】（本小题满分 13 分）△ ABC中, 内角 A,B,C 所对的边分
别为 a,b,c, 已知△ ABC的面积为 , （I ）求 a 和 sinC 的
值; （II ）求的值 . 【答案】（I ）a=8, ; （II ） . 【2015 高考新课标 1，文 17】（本小题满分 12 分）已知分别是内角的对边，. （I ）若，
求（II ）若，且求的面积 . 【答案】（I ）（II ）1 【剖析】
（I ）由题设及正弦定理可得.又，可得, ,由余弦定理可得.
（II ）由(1) 知 .因为90°，由勾股定理得.故，得.所以ABC 的面积为 1. 【2015 高考天津，文 16】（本小题满分 13 分）△ABC中,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ ABC的面积为,（I）求a 和 sinC 的值 ; （II ）求的值 . 【答案】（I ）a=8, ; （II ） .（2014?
湖北卷）某实验室一天的温度 ( 单位：℃ ) 随时间 t( 单位： h) 的变化近
似知足函数关系： f(t) ＝10－3cosπ12t －sin π12t ，t ∈上的最大值与
最小值； (2) 若 f π2＝0，f( π) ＝1，求 a，θ的值．（2014?四川卷）已知函数 f(x) ＝sin3x ＋π4. (1) 求 f(x) 的单一递加区间；
(2)若α是第二象限角， f α3＝45cosα＋π4cos 2 α，求 cos α－
sinα的值．【剖析】(1)因为函数y＝sin x的单一递加区间为－
π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z. 所以，函数 f(x)
的单一递加区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ 3，k∈Z. (2)由已知，
得 sin α＋π4＝45cosα＋π4(cos2 α－sin2 α) ，所以 sin
αcosπ4＋cos αsin π4＝45cos α cosπ4－sin αsin π4(cos2 α
－s in2 α) ，
1．在△ ABC中，若 a＝4，b＝3，cosA＝13，则 B 等于 ( ) A. π4 B.
π3 C.π6 D. 2 π3 答案 A 剖析因为 cosA＝13，所以 sinA ＝1－19
＝223，由正弦定理，得 4sinA ＝3sinB ，所以 sinB ＝22，又因为
b＜a，所以 B＜π2，B＝π4，应选 A. 2 ．设△ ABC的内角 A，B，C所
对边的长分别为 a，b，c，若 b＋c＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角 C等
于( ) A.2 π3B.π3C.3π4D.5π6 答案 A 剖析因为 3sinA ＝ 5sinB ，所
以由正弦定理可得 3a＝ 5b. 因为 b＋c＝2a，所以 c＝2a－35a＝75a. 令
a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC，
得 49＝25＋9－2×3×5cosC，解得 cosC＝－ 12，所以 C＝2π3.
3．若△ABC的三个内角知足 sinA ∶sinB ∶sinC ＝5∶11∶13，则
△ABC( ) A ．必然是锐角三角形 B ．必然是直角三角形 C．必然是钝角
三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案 C
剖析由正弦定理 asinA ＝bsinB ＝csinC ＝2R(R为△ ABC外接圆半径 ) 及已知条件 sinA ∶sinB ∶sinC ＝5∶11∶13，可设 a＝5x，b＝11x，c
＝13x(x ＞0) ．则 cosC＝＋－＝
－23x2110x2＜0，∴C为钝角．∴△ ABC为钝角三角形． 4 ．在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c. 若 c2＝(a －b)2 ＋6，C
＝π3，则△ ABC的面积是 () A ．3 B.932 C.332 D ．33 答案C 5．已知△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c－bc－a
＝sinAsinC ＋sinB ，则 B 等于 () A. π6 B. π4 C. π3 D.3 π4 答
案 C 剖析依照正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，得c－bc
－a＝sinAsinC ＋sinB ＝ac＋b，即 a2＋c2－b2＝ac，得 cosB＝a2
＋c2－b22ac＝12，故 B＝π3，应选 C. 6．在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. 若(a2 ＋c2－b2)tanB ＝3ac，则角 B 的值为
________．答案π3或2π3剖析由余弦定理，得a2＋c2－b22ac ＝c osB，结合已知等式得 cosB?tanB＝32，∴sinB ＝ 32，∴ B＝π3或 2π3. 7．在△ ABC中，若 b＝5，B＝π4，tanA＝2，则 a＝______.答案 210 8．已知 a，b，c 分别为△ ABC三个内角 A，B，C 的对边，
a＝2，且(2 ＋b)(sinA －sinB) ＝(c －b)sinC ，则△ ABC面积的最大值为________．答案 3 剖析由正弦定理，可得 (2 ＋b)(a －b) ＝(c
－b)?c. ∵a＝ 2，∴ a2－b2＝c2－bc，即 b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理，得 cosA＝b2＋c2－a22bc＝12. ∴sinA ＝ 32. 由 b2＋c2－bc
＝4，得 b2＋c2＝4＋bc. ∵b2＋c2≥2bc，即 4＋bc≥2bc，∴ bc≤4.
∴S△ABC＝12bc?sinA ≤3，即 (S△ABC)max＝ 3. 9 ．在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 已知 a≠b，c＝3，cos2A－cos2B ＝3sinAcosA－3sinBcosB. (1)求角C的大小；(2)若sinA＝45，求△ABC的面积． 10. 如图，在△ ABC中， B＝π3，AB＝8，点 D 在 BC 边上，且 CD＝2，cos∠ADC＝ 17. (1) 求 sin ∠BAD； (2) 求 BD、AC的长．解(1) 在△ ADC中，因为 cos∠ADC＝ 17，所以 sin ∠ADC＝437. 所以 sin ∠BAD＝sin( ∠ADC－ B) ＝sin ∠ADCcosB－
cos∠ADCsinB ＝437×12－17×32 ＝3314. (2)∵∠ ADB＋∠ ADC＝
π，∴sin ∠ADB＝sin ∠ADC＝437. 在△ ABD中，由正弦定理得 BD
＝AB?sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝ 3. 在△ ABC中，由余弦定理
得 AC2＝AB2＋BC2－2AB?BC?cosB＝82＋(2 ＋3)2 －2×8×5×12＝49.所以 AC＝ 7. 11 ．在△ ABC中，角 A， B，C的对边分别为 a，b，c，且 a2－(b －c)2 ＝(2 －3)bc ，sinAsinB ＝cos2C2，BC边上的中线AM的长为 7. (1) 求角 A 和角 B 的大小； (2) 求△ ABC的面积．。