【湘教版】高中数学必修一期末模拟试卷带答案(2)

一、选择题
1．已知函数32
1()232
x f x ax bx c =+++的两个极值分别为1()f x 和2()f x ，若1x 和2x 分
别在区间(0,1)与(1,2)内，则2
1b a --的取值范围是（ ） A ．(1,14
)
B ．1[,1]4
C ．1(,)(1,)4-∞+∞
D ．1(,][1,)4-∞+∞
2．已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．1ln 2,84⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．3ln 22,4e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭ D ．122,4n e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
3．已知定义在R 上的函数()2ln ,1
,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-⎪⎩
，若函数()()k x f x ax =-恰有2个零
点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,11,0e ⎛-⎫
⎪⎝⎭ B ．()
1,1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
C ．()
{}1,1,10e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
D ．(){}
11,00,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
4．已知()f x ，()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2x
f x
g x +=，若对于任意的[]
1,2x ∈，都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．317,
44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．155,82⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．15,28⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．172,
4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
5．已知正实数a ，b ，c 满足：21()log 2
a a =，21()log 3
b b =，
2
log c c 1=，则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
6．函数()22
x x
x
f x -=
+的大致图象为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．已知函数(1)f x +为偶函数，当0x >时，23()f x x x =+，则(2)f -=（ ） A ．4-
B ．12
C ．36
D ．80
8．若定义运算,,b a b a b a a b
≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2
242g x x x x =--+*-+的值域为
（ ） A ．(],4-∞
B ．(],2-∞
C ．[)1,+∞
D ．(),4-∞
9．已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且当0x >时()f x 单调递减，若
()()()
1.360.5log 3,0.5,0.7,a f b f c f -===则,,a b c 的大小关系（ ）
A ．c a b >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c b a >>
10．设集合{}
20,201x M x N x x x x ⎧⎫
=≤=-<⎨⎬-⎩⎭
，则M N ⋂为（ ）
A ．{}01x x ≤<
B ．{}01x x <<
C ．{}
02x x ≤<
D ．{}
02x x <<
11．已知集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{},A B x x A x B -=∈∉，若集合
11
13A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭
，，{}
21,12B y y x x ==--≤≤，则B A -=（ ）
A ．[]1,1-
B ．[)1,1-
C ．[]0,1
D ．[)0,1
12．设{}
2
|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A
B B =，求实数a 组成的
集合的子集个数有 A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
二、填空题
13．对于函数()f x ，若在定义域存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．若函数()423x
x
f x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值
范围为______．
14．已知()32,,x x a
f x x x a
⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a
的取值范围是________．
15．若3763,a b ==则21
a b
+的值为_______ 16
．72log 23
3
8log
2lg 5lg 47-+++=______.
17．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．
18．已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x
），函数()1=-g x ax ，2,2x ，
[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为
________________.
19．若集合A 具有以下两条性质，则称集合A 为一个“好集合”. （1）0A ∈且1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且当0x ≠时，有1
A x
∈.
给出以下命题：
①集合{}2,1,0,1,2P =--是“好集合”； ②Z 是“好集合”； ③Q 是“好集合”； ④R 是“好集合”；
⑤设集合A 是“好集合”，若x 、y A ，则x y A +∈；
其中真命题的序号是________. 20．已知2{|31,},x A x x -+=≥∈R 21
{|
1,}3
x B x x R x -=≤∈+，则A ∩B =______. 三、解答题
21．经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用()f x 表示学生的注意力，x 表示授课时间（单位：分），实验结果表明()f x 与x 有如下的关系：
()59,01059,10163107,1630x x f x x x x +<<⎧⎪
=≤≤⎨⎪-+<≤⎩
.
（1）开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？
（2）若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？
22．已知函数(2),()(1),x x a x a
f x a x x a -≥⎧=⎨-<⎩
，其中a 为实数，且0a ≠．
（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若方程()0f x =仅有一个实数根，求实数a 的取值范围． 23．已知函数2
()log (9)(0,1)a f x x ax a a =-+->≠.
（1）当10a =时，求()f x 的值域和单调减区间； （2）若()f x 存在单调递增区间，求a 的取值范围． 24．化简计算： （1
）
16
0.253
61.5
87-⎛⎫
⨯-+ ⎪⎝⎭
（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-. 25．已知函数()x a
f x x
+=（a 为常数），其中()0f x <的解集为()4,0-. （1）求实数a 的值；
（2）设()()g x x f x =+，当()0x x >为何值时，()g x 取得最小值，并求出其最小值. 26．已知集合{}13A x x =<<，{}
21B x m x m =<<-． （1）当1m =-时，求A B ；
（2）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；
（3）若A
B =∅，求实数m 的取值范围．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由极值点的所在区间即可知()f x 的导函数2
()2f x x ax b '=++的零点区间，应用根的分
布可得13
10
a b ->>-⎧⎨
>>⎩，结合目标式的几何意义即可求其范围.
【详解】
由题意知：2
()2f x x ax b '=++，而()f x 两个极值点1x 和2x 分别在区间(0,1)与(1,2)
内，
∴方程220x ax b ++=两个根在(0,1)与(1,2)内，()'f x 开口向上，
∴0
12020
b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
，可得1310a b ->>-⎧⎨>>⎩，即214122a b ->->-⎧⎨->->-⎩，
∴令1,2x a y b =-=-，问题转化为在24,12x y ->>-->>-的可行域内的点与原点所成直线斜率
y
x
的取值范围，如下图示：
有
1
(,1)4y x ∈， 故选：A 【点睛】
本题考查了根据函数极值点的所在区间求目标式的范围，应用了极值点与导数关系、根的分布、不等式的性质，结合线性规划及目标式的几何意义求范围，属于中档题.
2．C
解析：C 【分析】
由题意可得方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，设()(]ln ,0,8x
f x x x
=
∈，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出()y f x =的图象，可得m 的不等式，即可求解. 【详解】
由题意，方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即为2ln mx x =在(]0,8上有两个不等的实数根， 即
1ln 2x m x
=在(]0,8上有两个不等的实数根， 设()(]ln ,0,8x f x x x =
∈，则()2
1ln x
f x x -'=， 当(,8)x e ∈时，()0f x '<，函数()f x 递减， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 递增， 所以当x e =时，函数()f x 取得最大值
1e
，且()ln83ln 2
888f ==，
所以
3ln21
82
m
e
≤
<，解得
3ln22
4
m
e
≤<，故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化为
1ln
2
x
m
x
=在(]
0,8上有两个不等的实数根，利用导数求得函数()ln x
f x
x
=的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.
3．C
解析：C
【分析】
把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出a的范围．
【详解】
()0
f x ax
-=()
f x ax
⇒=，所以函数()
y f x
=的图象与直线y ax
=有两个交点，
作出函数()2
ln,1
,1
x x
f x
x x x
>
⎧⎪
=⎨
-≤
⎪⎩
的图象，如下图，
由()ln
f x x
=得
1
()
f x
x
'=，设直线y ax
=与()ln
f x x
=图象切点为
00
(,)
P x y，则00
000
ln
1y x
a
x x x
===，
x e
=，所以
11
a
x e
==．
由2
()
f x x x
=-得()12
f x x
'=-，(0)1
f'=，y ax
=与2
y x x在原点相切时，1
a=，
由2
()
f x x x
=-得()21
f x x
'=-，(0)1
f'=-，y ax
=与2
y x x在原点相切时，1
a=-，
所以直线y x =，y x =-，1
e
y x =
与曲线()f x 相切， 由直线y ax =与曲线()y f x =的位置关系可得：
当(){}1,1,10e a ⎛⎫
∈-∞- ⎪
⎝⎭
时有两个交点，即函数()y k x =恰有两个零点.
故选：C . 【点睛】
本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解．
4．B
解析：B 【分析】
利用奇偶性求出()222
x x f x -+=，()222x x g x --=，讨论()22x x
h x -=+和()g x 的单
调性求最值可得()()h x g x >恒成立，则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】
()()2x f x g x +=，()()2x f x g x --+-=∴，
()f x 是偶函数，()g x 分是奇函数，()()2x f x g x -=∴-，
可得()222
x x
f x -+=，()222x x
g x --=，
则不等式为(
)()122
2202x x
x x a a --⎡⎤
+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦
，
令()22x
x
h x -=+，令2x t =，由对勾函数的性质可得1y t t
=+在[]
2,4单调递增，
则()22x x
h x -=+在[]1,2单调递增，则()()()()min max 5171,224
h x h h x h ==
==， 对于()222
x x g x --=，因为2x
y =单调递增，2x y -=-单调递增，()g x ∴在[]1,2单调递
增，()()()()min max 3151,248
g x g g x g ∴==
==， ()()h x g x ∴>恒成立，
则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()g x a h x ≤≤，
()()max min g x a h x ∴≤≤，即
155
82
a ≤≤. 故选：B. 【点睛】
关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.
5．B
解析：B 【分析】
a ､
b ､
c 的值可以理解为图象交点的横坐标，则根据图象可判断a ，b ，c 大小关系.
【详解】
因为21()log 2
a a =，21()log 3
b b =，
2
log c c 1=， 所以a ､b ､c 为2log y x =与1()2x y =，1()3
x
y =，y x =-的交点的横坐标，
如图所示：
由图象知： c b a <<. 故选：B 【点睛】
本题主要考查对数函数，指数函数的图象性质以及函数零点问题，还考查了数形结合的思想方法，属中挡题.
6．B
解析：B 【分析】
根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】 当()22x x
x f x -=
+，
()()22x x x
f x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221
(2)22242
f -=<=+，排除A ；
3324(3)22536f -=
=+，44
64
(4)224257
f -==+，故()()34f f >，排除D. 故选：B. 【点睛】 本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.
7．D
解析：D 【分析】
首先根据函数(1)f x +为偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+，所以有(2)(4)f f -=，结合题中所给的函数解析式，代入求得结果. 【详解】
∵函数(1)f x +为偶函数，
所以图象关于y 轴对称，即(1)(1)f x f x +=-+， 构造(2)(31)(31)(4)f f f f -=-+=+=，而40>， 所以23(4)4+4=16(14)80f =⨯+=. 故选：D. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下： （1）根据函数(1)f x +为偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+； （2）根据(1)(1)f x f x +=-+，得到(2)(4)f f -=； （3）结合当0x >时，23()f x x x =+，将4x =代入求得结果.
8．A
解析：A 【分析】
根据,,b a b
a b a a b ≥⎧*=⎨<⎩
可得()g x 的解析式，画出图象可得答案.
【详解】
由,,b a b
a b a a b ≥⎧*=⎨
<⎩
，得()()
()222,[2,1]
24224,(1,)(,2)x x g x x x x x x x -+∈-⎧=--+*-+=⎨--+∈+∞⋃-∞-⎩
，
当[2,1]x ∈-，()2[1,4g x x =-+∈]， 当(1,)
(,2)x ∈+∞-∞-，
()2
()154g x x =-++<，
可得()4g x ≤- 故选：A. 【点睛】
本题的关键点是根据已知定义求出函数解析式，然后画出图象求解.
9．A
解析：A 【分析】
函数()f x 是偶函数，判断出自变量的大小，利用函数的单调性比较大小得出答案． 【详解】
函数()f x 的图像关于y 轴对称， ∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，
∴()()120.52log 3log 3log 3f f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
∴2221log 2log 3log 42=<<=， 1.3 1.30.522-=>，600.71<<． ∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>， 故选：A 【点睛】
本题考查函数性质的综合应用，考查函数的单调性和奇偶性，考查指数和对数的单调性，属于中档题．
10．B
解析：B 【分析】
根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合
{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合{}
20{01},20{|02}1x M x
x x N x x x x x x ⎧⎫
=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭
，
所以{}
01M N x x ⋂=<<. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.
11．B
解析：B 【分析】
先根据题意得{}
13A y y =≤≤，{}
13B y y =-≤≤，再根据集合运算即可得答案. 【详解】
解：根据题意得{}11
1133A y y x y y x ⎧⎫==
≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭
，， {}
{}21,1213B y y x x y y ==--≤≤=-≤≤，
再根据集合的运算得}{
11B A y y -=-≤<. 故选：B. 【点睛】
本题考查集合的运算，函数值域的求解，考查运算能力，是中档题.
12．D
解析：D 【分析】
先解方程得集合A ，再根据A B B =得B A ⊂，最后根据包含关系求实数a ，即得结果.
【详解】
{}2|8150{3,5}A x x x =-+==,
因为A
B B =，所以B A ⊂，
因此,{3},{5}B =∅，对应实数a 的值为11
0,,35
，其组成的集合的子集个数有328=，选D. 【点睛】
本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.
二、填空题
13．【分析】根据局部奇函数的定义便知若函数是定义在上的局部奇函数只需方程有解可设从而得出方程在时有解从而设由二次函数的性质分析可得答案
【详解】根据题意由局部奇函数的定义可知：若函数是定义在上的局部奇函数 解析：[)2,-+∞
【分析】
根据“局部奇函数”的定义便知，若函数()f x 是定义在R 上的“局部奇函数”，只需方程
()()2
2
22280x
x x x m --+-+-=有解．可设()222x x
t t -+=≥，从而得出方程
280t mt --=在2t ≥时有解，从而设()2
8g x t mt =--，由二次函数的性质分析可得答
案． 【详解】
根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：
若函数()423x
x
f x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，
则方程()()f x f x -=-有解，即()423423x
x x x m m ---⋅-=--⋅-有解；
变形可得()442260x
x
x x m --+-+-=，
即()
()2
222280x x
x x m --+-+-=有解即可.
设22x x t -+=，则222x x t -=+≥=，当且仅当0x =时，等号成立. 则方程()()f x f x -=-等价为280t mt --=在2t ≥时有解.
设()2
8g t t mt =--，若方程280t mt --=的两根分别为1t 、2t ，则1280t t =-<，
所以，()2428240g m m =--=--≤， 解可得：2m ≥-，即m 的取值范围为[)2,-+∞． 故答案为：[)2,-+∞． 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
14．【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时存在满足 解析：()(),01,-∞⋃+∞
【分析】
由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围
【详解】
()()g x f x b =-有两个零点，
()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，
由32x x =可得，0x =或1x =
①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意
②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意
④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意
⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点
综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】
本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
15．1【分析】将指数式化为对数式得代入可得根据换底公式可求值【详解】由题意可得∵故答案为：1【点睛】本题主要考查对数与指数的互化对数的换底公式的应用考查基本运算求解能力
解析：1 【分析】
将指数式化为对数式得3log 63a =，7log 63b =，代入可得，
372121log 63log 63
a b +=+，根据换底公式可求值. 【详解】
由题意可得，3log 63a =，7log 63b =， ∵
6363363721212log 3log 7log 631log 63log 63
a b +=+=+== 故答案为：1 【点睛】
本题主要考查对数与指数的互化，对数的换底公式的应用，考查基本运算求解能力.
16．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值
解析：3
2
【分析】
根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得. 【详解】
72log 23
38log 2lg 5lg 47-+++
()
732log 232
3
32
log 32lg52lg 27=-++++
3
4222=-+++
32
= 故答案为：32
【点睛】
此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值.
17．f(－3)>f(－π)【解析】由得是上的单调递增函数又
解析：f (－3)>f (－π)
【解析】
由()()1212()[]0x x f x f x >－－ 得()f x 是R 上的单调递增函数，又
3(3)()f f ππ>∴>－－，－－ ．
18．【分析】依题意分析的值域A 包含于的值域B 再对分类讨论得到的值域列关系计算即可【详解】因为总使得成立所以的值域A 包含于的值域B 依题意A=又函数因此当时不满足题意；当时在上递增则故即得；当时在上递减则故
解析：55,,22⎛
⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
【分析】
依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可. 【详解】
因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立， 所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4， 又函数()1=-g x ax ，2,2x
，因此，
当0a =时，{}1B =-，不满足题意；
当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，
故210214
a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得5
2a ≥；
当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇，
故210214
a a -≤⎧⎨--≥⎩，即得52a ≤-.
综上，实数a 的取值范围为55,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
. 故答案为：55,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
. 【点睛】
本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题.
19．③④⑤【分析】取结合（1）可判断①的正误；取结合（2）可判断②的正误；利用好集合的定义可判断③④的正误；由可推导出再结合（1）可判断⑤的正误【详解】对于命题①但①错误；对于命题②但②错误；对于命题③
解析：③④⑤ 【分析】
取2x =，2y =-结合（1）可判断①的正误；取2x =结合（2）可判断②的正误；利用“好集合”的定义可判断③④的正误；由y A ，可推导出y A -∈，再结合（1）可判断
⑤的正误. 【详解】
对于命题①，2P ∈，2P -∈，但()224P --=∉，①错误；
对于命题②，2Z ∈，但1
2
Z ∉，②错误； 对于命题③④，显然，集合Q 、R 均满足（1）（2），所以，Q 、R 都是“好集合”，
③④正确； 对于命题⑤，当y
A 时，由于0A ∈，则0y y A -=-∈，
当x A ∈，则()x y x y A +=--∈，⑤正确. 故答案为：③④⑤. 【点睛】
解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
20．【分析】根据指数函数的单调性解不等式化简集合A 解分式不等式化简集合B 求交集即可【详解】由得：解得故由得：解得故所以A∩B=【点睛】本题主要考查了指数不等式分式不等式集合的交集运算属于中档题 解析：(]3,2-
【分析】
根据指数函数的单调性解不等式化简集合A ，解分式不等式化简集合B ，求交集即可. 【详解】
由231x -+≥得：20x -+≥， 解得2x ≤， 故{|2}A x x =≤， 由
2113x x -≤+得：4
03
x x -≤+， 解得34x ， 故{|34}B x x =-<≤， 所以A ∩B = (]3,2- 【点睛】
本题主要考查了指数不等式，分式不等式，集合的交集运算，属于中档题.
三、解答题
21．（1）开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟；（2）不能在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题 【分析】
（1）根据函数()f x 的解析式，判断其单调性，可求出答案；
（2）分010x <<，1016x ≤≤和1630x <≤三种情况，分别解不等式()55f x ≥，进而可求出集中注意力的时间总和，然后和10分钟比较大小，可得出答案. 【详解】
（1）由题意，当010x <<时，()59f x x =+，此时函数单调递增； 当1016x ≤≤时，函数()f x 取得最大值，此时()59f x =； 当1630x <≤时，()3107f x x =-+，此时函数单调递减. 所以，开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟.
（2）当010x <<时，令()55f x ≥，即5955x +≥，解得9.210x ≤<，集中注意力时间共109.20.8-=分钟；
当1016x ≤≤时，()5955f x =≥，集中注意力时间共6分钟； 当1630x <≤时，令()55f x ≥，即310755x -+≥，解得52
163
x <≤，则集中注意力时间共
524
1633
-=分钟， 因为4122
0.8610315
++=<，所以不能在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题. 【点睛】
关键点点睛：本题考查分段函数的应用，解题关键是利用函数的解析式，判断函数在各个分段上的单调性，及解不等式()55f x ≥.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于
中档题.
22．（1）函数()f x 的单调减区间为(],1-∞-，增区间()1,-+∞；（2）1a ≤且0a ≠． 【分析】
（1）当1a =-时，(2),1
()(1),1x x x f x x x +≥-⎧=⎨
--<-⎩
，进而可得函数的单调区间；
（2）令()0f x =，分别解出x ，由方程()0f x =仅有一个实数根，列出不等式解出实数a 的取值范围． 【详解】
（1）当1a =-时，(2),1
()(1),1x x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩
，
则函数()f x 的单调减区间为(],1-∞-，增区间()1,-+∞；
（2）令()0f x =，当x a ≥时，解得0x =或2x a =；当x a <时，解得1x =；
方程()0f x =仅有一个实数根，则021a a a a ≤⎧⎪<⎨⎪≤⎩或021a a a a >⎧⎪≥⎨⎪≤⎩或0
21a a a a >⎧⎪
<⎨⎪>⎩
，
解得1a ≤且0a ≠． 【点睛】
方法点睛：本题考查分段函数的单调性，考查函数与方程思想，关于分段函数的理解，需要有：
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围，有不同的对应法则的函数； 分段函数是一个函数;
分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集． 23．（1）(][
),16;5,9lg -∞（2）6a > 【分析】
（1）当10a =时，()()
()(
2
2
1010log 109log [516f x x x x ⎤=-+-=--+⎦
，令
2109t x x =-+-，求出2109t x x =-+-的单调区间与取值范围，即可得出结果；
（2）若()f x 存在单调递增区间，则当1a >，则函数29t x ax =-+-存在单调递增区间即可，当01a <<，则函数29t x ax =-+-存在单调递减区间即可，根据判别式即可得出结果. 【详解】
解：（1）当10a =时，()()
()(
2
2
1010log 109log [516f x x x x ⎤=-+-=--+⎦
，
设()2
2109516t x x x =-+-=--+，
由21090x x -+->，得21090x x -+<，得19x <<，即函数的定义域为()1,9，
此时()(]2
5160,16t x =--+∈，
则1010log log 16y t =≤，即函数的值域为(]
,16lg -∞，
要求()f x 的单调减区间，等价为求()2
516t x =--+的单调递减区间，
()2
516t x =--+的单调递减区间为[)5,9，
()f x ∴的单调递减区间为[)5,9．
（2）若()f x 存在单调递增区间，
则当1a >，则函数29t x ax =-+-存在单调递增区间即可，则判别式2360a ∆=->得
6a >或6a <-舍，
当01a <<，则函数29t x ax =-+-存在单调递减区间即可，则判别式2360a ∆=->得
6a >或6a <-，此时a 不成立， 综上实数a 的取值范围是6a >． 【点睛】
本题主要考查对数型复合函数的单调性、以及已知函数单调性求参数的问题，熟记对数函数以及二次函数的单调性即可，属于常考题型. 24．（1）110；（2）-1 【分析】
（1）原式化简为分数指数幂，计算结果；（2）根据对数运算公式化简求值. 【详解】 （1）原式11313
3
23
44
32222323-
⎛⎫
⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11
3
3
22210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
110=
（2）原式()
()2
2
lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-
()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-
()2
2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅-- ()()2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-
()lg5lg2lg51lg5=⋅+--
lg51lg51=--=-
【点睛】
本题考查指数幂和对数运算，重点考查计算能力，转化与变形，属于基础题型. 25．（1）4a =；（2）当2x =时，()g x 取得最小值为5.
【分析】
（1）利用不等式的解集，推出对应方程的根，然后求解a ． （2）化简函数的解析式，利用基本不等式转化求解函数的最值即可． 【详解】
（1）因为()00x a
f x x
+<⇔<的解集为()4,0-， 故()0x a
f x x
+=
=一个根为-4， 404a
-+=- 得4a =
（2）()()44
1x g x x f x x x x x
+=+=+=++
因为0x >，所以4115x x ++≥=， 当且仅当4
x x
=
，即2x =时取等号； 所以当2x =时，()g x 取得最小值为5. 【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
26．（1）{}23A B x x ⋃=-<<；（2）{}2m m ≤-；（3）{}
0m m ≥． 【分析】
（1）当1m =-时，求出集合B ，利用并集的定义可求得集合A
B ；
（2）由A B B ⋃=可得出A B ⊆，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数
m 的取值范围；
（3）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，结合A B =∅可得出关于实数m 的不等式组，
由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】
（1）当1m =-时，{}
22B x x =-<<，则{}
23A B x x ⋃=-<<； （2）由A B B ⋃=，可得A B ⊆，所以，21
13m m ≤⎧⎨-≥⎩
，解得2m ≤-.
因此，实数m 的取值范围是{}
2m m ≤-； （3）
A B =∅，分以下两种情况讨论：
①若21m
m 时，即当1
3
m ≥时，B =∅，符合题意；
②若21m m 时，即当1
3m <时，则11m -≤或23m ≥，解得0m ≥，此时103
m ≤<. 综上所述，0m ≥.
即实数m 的取值范围为{}0m m ≥.
【点睛】
本题考查并集的计算，同时也考查了利用交集和并集的运算求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.。