【高考模拟试卷】福建省2019届高中毕业班数学(理科)适应性练习(五)及答案

福建省2019届高中毕业班 ——数学(理科)适应性练习（五）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合{|P x y ==，{|ln 1}Q x x =<，则P Q =
（A ）(0,2]
（B ）[2,e)-
（C ）(0,1]
（D ）(1,e)
2.已知为虚数i 单位，a 为实数，复数z 满足ai a i z +=+3，若复数z 是纯虚数，则 （A ）3=a （B ）0=a （C ）0≠a （D ） 0<a
3.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行
了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径为22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向银币内投掷200次且都落在银币内，其中恰有60次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是 （A ）
25726mm π （B ）210363mm π （C ）25363mm π （D ） 220
363mm π
4.已知b a ,都是实数，那么“b
a 22>”是“2
2
b a >”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
5.已知x 为锐角，
cos sin a x
x
-=a 的取值范围为
（A ）(1,2] （B ） （C ）[2,2]- （D ） (1,2)
6. 若10,1<<<>b c a ，则下列不等式不正确．．．的是 （A ）b a 20182018log log > （B ）a a c b log log < （C ）b c a c a a c a )()(->- （D ）b
c a b c a b c )()(->-
7.已知正项数列{}n a 满足22
1120n n n n a a a a ++--=，设1
2
1
log n n a b a +=，则数列{}n b 的前n 项和为 （A ）
(1)2n n + （B ）(1)
2n n -
（C ）n （D ）
(1)(2)
2n n ++
8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为
（A ） （B ）
（C ）8 （D ）9
9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。

下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5，2，则输出的n = （A ）5
（B ）4
（C ）3 （D ）2
10.已知函数)2ln(2
1
)(,)(1
4x x g e x f x +=
=-，若)()(n g m f =成立，则m n -的最小值为
（A ）
（B ）
（C ） （D ）
11.已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物线分别相交于A ，B 以及C ，D ，若
111AF BF
+=，则四边形ACBD 的面积的最小值为 （A ）18 （B ）30 （C ）32 （D ）36
12.艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 零点时给出一个
数列{}n x ：满足()
()
1n n n n f x x x f x +=-
'，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数2()f x ax bx c =++（0a >）有两个零点1，2，数列{}n x 为牛顿数列，设2
ln 1
n n n x a x -=-，已知11a =，2n x >，{}n a 的前n 项和为n S ，则20181S +等于
（A ）2018 （B ）2019 （C ）20182 （D ）20192 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量)1,3(),,1(==λ，若向量-2与）（2,1=共线，则向量在向量方向上的投影为____________.
14.已知)0,022>>=-b a by ax （过圆01242
2
=++-+y x y x 的圆心，则1
1
24++
+b a 的最小值为______________.
15.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直
线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，2AF ，2BF 分别交y 轴于P ，Q 两点，若2PQF ∆的周长为16，则
1
b
a +的最大值为 ． 16.如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，已知2AC =
，PB =PA AB +最大时，三棱锥
P ABC -的表面积为_______________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（12分）
已知△ABC 的面积为33，AC=23，BC=6，延长BC 至D ，使∠ADC=45°. （1）求AB 的长； （2）求△ACD 的面积.
18．（12分）
如图1，在平行四边形11A ABB 中，︒=∠601ABB ，4=AB ，21=AA ，C 、1C 分别为AB 、
11B A 的中点，现把平行四边形11A ABB 1沿C 1C 折起如图2所示，连接C B 1、A B 1、11A B ．
（1）求证：11CC AB ⊥； （2）若61=
AB ，求二面角11A AB C --的正弦值．
19．（12分）
为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为
样本，测量其直径后，整理得到下表：
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（p 表示相应事件的频率）：①6826.0)(≥+≤<-σμσμX p ．②
9544.0)22(≥+≤<-σμσμX p ．③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX p ．评判规则为：若
同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M 的性能等级． （2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品
①从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望EY ； ②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望EZ ．
20．（12分）
已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的离心率3e =，左、右焦点分别为12,F F ，且2F 与抛物线
24y x =的焦点重合.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，且AC BD ⊥，求
AC BD +的最小值.
21．（12分）
已知函数()()ln 1f x x =+，()2
3
2
g x x x b =-
+. （1）若()()f x g x ≤恒成立，求实数b 的取值范围； （2）证明：对于任意正整数n ，都有()212ln 1!
4317n n n n
+≤-+成立.
附：)12)(1(6
1
3212
2
2
2
++=
++++n n n n . 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t y t
=⎧⎨=⎩(t 为参数，0a >)，以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭.
(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； (2)若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x m =-+-.
（1）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；
（2）若不等式()21f x m ≥-对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
福建省2019届高中毕业班—数学(理科)适应性练习（五）参 考
答 案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
13.0 14.
49 15.3
4
16.615234++ 1. 答案C. 解析：2
20x x --+≥得：20x -≤≤；由l n 1
x <得：01x <<,所以P Q =
(0,1]
2. 答案B. 解析：由3z i a ai +=+得：(3)z a a i =+-，又z 为纯虚数，0a ∴=且30a -≠
3. 答案B. 解析：2
60
120363=r =121=121=
10S S π
πππ∴⨯圆军旗， 4. 答案D. 解析：22a b a b a b >⇔>⇔>±；22a b a b >⇔>，所以“b
a 22>”是
“2
2b a >”的既不充分也不必要条件 5. 答案A. 解析：由
cos sin a x x -=cos 2sin()6
a x x x π
=+=+又x 为锐角，
所以，(]1,2a ∈
6. 答案C. 解析：因为10,1<<<>b c a ，,0c b a a a c ∴<->，所以()()c b
a c a a c a -<-
7. 答案A. 解析: 22
1120n n n n a a a a ++--=,
11(a )(2)0n n n n a a a +++-=，所以，
11111
2,2n n n n n a a a q a a a ++=∴==，11ln n n a b n a +∴== (1)
12...2n n n s n +∴=+++=
8. 答案D. 解析:由三视图可知，该几何体为三棱锥。

9. 答案B.
10. 答案D. 解析: 设)()(n g m f ==t ，41
1
ln(2)t 2
m e
n -∴=
+=，12
1141ln ,m (1ln ),42t m t t n e -∴-==+=即，1211m (1ln )(t 0)24
t e t -=-+>即h(t)=n-，
通过求导易求最小值为
1ln 2
4
+ 11. 答案C. 解析：由抛物线性质知：
112AF BF p +=，又111AF BF
+=，2p ∴=，即2
4y x = 设AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为1k ，由2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得：2222
(24)0k x k x k -++=
242,1A B A B x x x x k ∴+=+
⋅=，22
4
4,44AB CD k k
∴=+=+ 22114(4)(44k )22S AB CD k ∴==++ 221
8(2k )32k =++≥
12. 答案 C. 解析：函数2()f x ax bx c =++（0a >）有两个零点1，2，
2()(1)(2)(32)
f x a x x a x x ∴=--=-+，
()2ax 3a
f x '∴=-。

()()221(32)22323n n n n n n n n n n f x a x x x x x x f x ax a x +-+-=-=-='--，22
1212
2
2232()213
1
23
n n n n n n n n x x x x x x x x ++-----∴
==----- 12ln 11n n n x a a x -==-且，11112ln 2,21
n n n n n n x a a a x -+++-∴==∴=-，20182018
12S ∴+=
13. 答案
4.解析：由向量-2与）
（2,1=共线，可求1
2λ=-，1(1,)2
a ∴=
-，易求向量在向量14. 答案
9
4.解析：)0,022>>=-b a by ax （过圆012422=++-+y x y x 的圆心,有1a b +=, 411419()(21)214214
a b a b a b ∴+=++++≥++++ 15.
答案43
.解析：由2PQF ∆的周长为16,知2ABF ∆的周长为32, 2
2222232,4,b
AF BF AB AF BF AB a AB a ++=+-==
,
24324,b a b a
∴=-∴=t a 11b a ∴==++令得：
1b a =+43
16. 答案6.解析：设,PA x AB y ==
在Rt PAC 中, 2222
4PC PA AC x =-=-,在Rt ABC 中, 2
2
2
2
4BC BA AC y =-=-, 在Rt PBC 中, 222
PB PC BC =+,即2
2
2
24424,32x y x y -+-=∴+=
由
222
()22x y x y ++≥得，x y +≤，当且仅当4x y ==时取等号。

所以表面积为
6
三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（1）由ABC
s
=1
6sin 2
ABC
s
ACB =⨯⨯∠=所以，0030150ACB ∠=或
又045ADC ∠=,所以，0
150ACB ∠=
由余弦定理得：2
123626cos15084AB =+-⨯=
所以AB ==(2)在ABC 中，因为0
150,45ACB ADC ∠=∠= 所以0
105CAD ∠= 由正弦定理得：
sin sin CD AC
ACD ADC
=
∠∠
所以，3CD =+
所以
111
sin (3222
ACD
s
AC CD ACD =
∠=⨯+⨯1)= 18．证明：（1）取1CC 的中点O ，连接OA ，1OB ，1AC ，
∵在平行四边形11A ABB 中，︒=∠601ABB ，4=AB ，21=AA ，
C 、1C 分别为AB 、11B A 的中点，∴1ACC ∆，1BCC ∆为正三角形，
则1CC AO ⊥，11CC OB ⊥，又∵O OB AO =1 ，∴⊥1CC 平面1OAB ， ∵⊂1AB 平面1OAB ∴11CC AB ⊥；
（2）∵︒=∠601ABB ，4=AB ，21=AA ，C 、1C 分别为AB 、11B A 的中点， ∴2=AC ，31=
=OB OA ，∵61=AB ，则2
1212AB OB OA =+，
则三角形1AOB 为直角三角形，则1OB AO ⊥，以O 为原点，以OC ，1OB ，OA 为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，
则()100C ，，
，()10B ，()11,00C -，
，(00A ， 则)0,0,2(1-=CC
则)0,0,2(11-==CC
，(10AB =
，(10AC =，，
设平面1AB C 的法向量为),,(z y x =，
则⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=030
331z x n z y AB n ，令1=z ，则1=y ，3=x ，则)1,1,3(=， 设平面11A B A 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-=0
330211z y AB m x m ，
令1=z ，则0=x ，1=y ，即)1,1,0(=m ，
则
5
10
,cos >=
< ∴二面角11A AB C --的正弦值是
5
15. 19．解：（1）6826.08.0)2.678.62()(>=≤<=+≤<-X p X p σμσμ，
9544.094.0)4.696.60()22(<=≤<=+≤<-X p X p σμσμ，
9974.098.0)6.714.58()33(<=≤<=+≤<-X p X p σμσμ
因为设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；
（2）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06． ①由题意可知)100
6,
2(~B Y ，于是253
10062=⨯
=EY ②由题意可知Z 的分布列为：
故+⨯=21002940
C C EZ +⨯2100194161C C C 25
3
2210026=⨯C C
20．解：（1）抛物线2
4y x =的焦点为()1,0，所以1c =，
又因为13
c e a a =
==，所以a = 所以2
2b =，所以椭圆的标准方程为22
132
x y +=. （2）（i ）当直线BD 的斜率k 存在且0k ≠时，
直线BD 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程22
132
x y +=， 并化简得()
222232
6360k x k x k +++
-=.
设()11,B x y ，()22,D x y ，则2122632k x x k +=-+
，2122
36
32
k x x k -=+， 12BD x x =-=
)22132
k k +=
+.
易知AC 的斜率为1k
-
，
所以)222
2111
12332k k AC k k ⎫
+⎪+⎝⎭==+⨯+
. )2221
113223AC BD k k k ⎛⎫+=++ ⎪
++⎝
⎭
)
()(
)
)
()()2
2
222
2
22
2
11322332232k k k
k k k ++=
≥
++⎡⎤+++⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
)(
)
2
22
2
12514
k k +=
=
+当2
1k =，即1k =±时，上式取等号，故AC BD +
. （ii ）当直线BD
的斜率不存在或等于零时，易得AC BD +=
>. 综上，AC BD +
的最小值为
5
. 21．解：（1）设()()()()ln 1F x f x g x x =-=+()2
3
12
x x b x -+
->-. ()13
212F x x x '=
-+=+()()()
45121x x x +--
+. 110x x >-⇒+>，450x +>，所以当()1,1x ∈-时，()0F x '>，
于是()F x 在()1,1-上单调递增；
当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，于是()F x 在()1,+∞上单调递减.
所以()()max 3
1ln 212
F x F b ==-+
-，()()()0f x g x F x ≤⇔≤， 所以31
ln 210ln 222
b b -+-≤⇒≥+.
（2）根据（1）可知1ln 22b ≥+时有不等式()2
3ln 12
x x x b +≤-+在()1,-+∞上恒成立，
又因为2
e >
，所以2
12ln e ln ln 22=>=+
，即1
2ln 22
>+成立. 所以不等式()2
3
ln 122
x x x +≤-
+在()1,-+∞上恒成立. 所以对于任意正整数n ，()2
3ln 122
n n n +≤-+恒成立.
所以23ln 21122≤-⨯+，23ln 32222≤-⨯+，…，()2
3ln 122
n n n +≤-+，
所以()ln 2ln3ln 1n ++++≤L ()222
3121222
n n n +++-++++L L ，
所以()()()1ln 1!1216n n n n +≤++()31
1222n n n -⨯++，
()()()()1ln 1!2121912412n n n n n +≤++-++⎡⎤⎣⎦()21
431712
n n n =-+， 所以
()212ln 1!
4317n n n n
+≤-+.
22.(1)直线l 的参数方程为：1cos ,
(sin x t t y t αα=+⎧⎨
=⎩
为参数）. 2
8cos sin θρθ
=
，2sin 8cos ,ρθθ∴=22sin 8cos ,ρθρθ∴=2
8.y x =即 （2）当4πα=时，
直线l
的参数方程为：1,2
(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
为参数）, 代入
2
8y
x =可得2160,t --= 12,,A B t t
设、两点对应的参数分别为则11t t +=1216
t t =-
128 3.AB
t t ∴=-==1sin
,4
2
O
AB d π
=⨯=
又点到直线的距离11222AOB S AB d ∆∴=
⨯=⨯=
23.（1）当3m =时，原不等式可化为135x x -+-≥.
若1x ≤，则135x x -+-≥，即425x -≥，解得1
2
x ≤-； 若13x <<，则原不等式等价于25≥，不成立； 若3x ≥，则135x x -+-≥，
解得92x ≥.综上所述，原不等式的解集为：19|22x x x ⎧
⎫≤-≥⎨⎬⎩
⎭或.
（2）由不等式的性质可知()1f x x x m =-+-1m ≥-， 所以要使不等式()21f x m ≥-恒成立，则121m m -≥-，
所以112m m -≤-或121m m -≥-，解得23m ≤
，所以实数m 的取值范围是2|3m m ⎧
⎫
≤⎨⎬⎩⎭
.。