2021-2022学年基础强化沪科版九年级数学下册第24章圆专项攻克试题(含详解)

沪科版九年级数学下册第24章圆专项攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、ABC的边BC经过圆心O，AC与圆相切于点A，若20
∠=︒，则C
B
∠的大小等于（）
A．50︒B．25︒C．40︒D．20︒
2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3、图2是由图1经过某一种图形的运动得到的，这种图形的运动是（）
A．平移B．翻折C．旋转D．以上三种都不对
4、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
OA ，则点A在（）
5、已知⊙O的半径为4，5
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定
6、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）
A．B．
C ．
D ．
7、如图，CD 是ABC 的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点． （2）作直线GH 交AB 于点E ．
（3）在直线GH 上截取EF AE =．
（4）以点F 为圆心，AF 长为半径画圆交CD 于点P ．
则下列说法错误的是（ ）
A ．AE BE =
B ．GH CD ∥
C ．AB =
D ．45APB ∠=︒
8、下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9、如图，在AOB 中，4OA =，6OB =，AB =AOB 绕原点O 逆时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）
A ．()4,2-
B ．()-
C ．()-
D ．(- 10、如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、
E 分别是AB 、AC 的中点．将△ADE 绕点A 顺时针旋转60°，射线BD 与射线CE 交于点P ，在这个旋转过程中有下列结论：
①△AEC ≌△ADB ；②CP 存在最大值为3+BP 存在最小值为3；④点P 运动的路径长为2π．其中，正确的（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm 和180 cm ，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN 的长度为______cm ．
2、一个直角三角形的斜边长，两条直角边长的和是6cm ，则这个直角三角形外接圆的半径为______cm ，直角三角形的面积是________2cm ．
3、如图，已知，在ABC 中，AB AC =，30BAC ∠=︒．将ABC 绕点A 逆时针旋转一个α角()0180α︒<<︒至ADE 位置，连接BD ，CE 交于点F ．
（I ）求证：ABD ACE △△≌；
（2）若四边形ABFE 为菱形，求α的值；
（3）在（2）的条件下，若2AB =，直接写出CF 的值．
4、如图，一次函数(00)，=+<>y ax b a b 的图像与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图像过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数(0)y kx k k =-+>的关联二次函数是22y mx mx c =++（0m ≠），那么这个一次函数的解析式为______．
5、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝AC的长为
_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，顶点CD在第二象限．将正方形ABCD绕点A 按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B1、C1、D1，且D1、C1、O三点在一条直线上．记点D1的坐标是（m，n），C1的坐标是（p，q）．
（1）设∠DAD1＝30°，n＝2，求证：OD1的长度；
（2）若∠DAD1＜90°，m，n满足m+n＝﹣4，p2+q2＝25，求p+q的值．
2、如图，点A 是O 外一点，过点A 作出O 的一条切线．（使用尺规作图，作出一条即可，不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）
3、在所给的88⨯的正方形网格中，按下列要求操作：（单位正方形的边长为1）
（1）请在第二象限内的格点上找一点C ，使ABC 是以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，求点C 的坐标；
（2）画出ABC 以点C 为中心，旋转180°后的A B C ''，并求A B C ''的面积．
4、在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 作BC 的垂线AD ，垂足为D ，E 为线段DC 上一动点（不与点C 重合），连接AE ，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转90°得到线段AF ，连接BF ，与直线AD 交于点G ．
（1）如图，当点E 在线段CD 上时，
①依题意补全图形，并直接写出BC与CF的位置关系；
②求证：点G为BF的中点．
（2）直接写出AE，BE，AG之间的数量关系．
5、在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P 是线段OQ的“潜力点”
已知点O（0，0），Q（1，0）
（1）在P1（0，-1），P2（1
2，
3
2
），P3（-1，1）中是线段OQ的“潜力点”是_____________；
（2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；
（3）直线y＝2x＋b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，根据切线的性质得到90OAC ∠=︒，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】
解：连接OA ，
20B ︒∠=，
240AOC B ∴∠=∠=︒， AC 与圆相切于点A ，
90OAC ∴∠=︒，
904050C ∴∠=︒-︒=︒，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
2、D
【详解】
解：A ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3、C
【详解】
解：根据图形可知，这种图形的运动是旋转而得到的，
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的旋转，熟记图形的旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转）是解题关键．
4、D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5、C
【分析】
根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．
【详解】
解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，
∴d>r，
∴点A在⊙O外，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．
6、C
【分析】
利用中心对称图形的定义：旋转180 能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故A错误．
B、不是中心对称图形，故B错误．
C、是中心对称图形，故C正确．
D、不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．
7、C
【分析】
连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，再根据EF AE =可得∠AFE =45°，进而得出∠AFB ＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．
【详解】
解：连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，
∴AE BE =，故A 正确；
∵CD 是ABC 的高，
∴GH CD ∥，故B 正确；
∵EF AE =，AE BE =，
∴2AB EF =，故C 错误；
∵EF AE =，
∴∠AFE =45°，
同理可得∠BFE =45°，
∴∠AFB ＝90°，
1452
APB AFB ∠=∠=︒，故D 正确； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．
8、C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
9、C
【分析】
过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，设OC a = ，则6BC a =- ，根据勾股定理，可得2222AB BC OA OC -=-，
从而得到2OC = ，进而得到∴AC =，可得到点(2,A ，再根据旋转的性质，即可求解．
【详解】
解：如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，
设OC a = ，则6BC a =- ，
∵222AC OA OC =- ，222AC AB BC =-，
∴2222AB BC OA OC -=-，
∵4OA =， AB =
∴(()22
2264a a --=- ， 解得：2a = ，
∴2OC = ，
∴AC ，
∴点(2,A ，
∴将AOB 绕原点O 顺时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A ''的坐标是()
2-，
∴将AOB 绕原点O 逆时针旋转90°，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是()
-．
故选：C
【点睛】
本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是求出点A 的坐标，属于中考常考题型．
10、B
【分析】
根据90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．得出∠DAE =90°，AD =AE =16=32
⨯，可证∠DAB =∠EAC ，再证△DAB ≌△EAC （SAS ），可判断①△AEC ≌△ADB 正确；作以点A 为圆心，AE 为半径的圆，当CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，根据△AEC ≌△ADB ，得出∠DBA=∠ECA ，可证
∠P =∠BAC =90°，CP 为⊙A 的切线，证明四边形DAEP 为正方形，得出PE =AE =3，在Rt△AEC 中，CE =
CP 存在最大值为3+AEC ≌△ADB ，
得出BD =CE =Rt△BPC 中，BP 最小3==可判断③BP 存
在最小值为3不正确；取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，AB =AC =6，∠BAC =90°，BP =CO =AO =
1122
BC ==⨯，当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =3162
AE AC ==，可求∠ACE =30°，根据圆周角定理得出∠AOP =2∠ACE =60°，当AD ⊥BP′时，BP′与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ABD =
3162AD AB ==，可得∠ABD =30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD =60°，点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径，的圆上运动轨迹为PAP '，L PAP '12032180
ππ⨯==可判断④点P 运动的路径长为2π正确即可． 【详解】
解：∵90BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点．
∴∠DAE =90°，AD =AE =16=32
⨯， ∴∠DAB +∠BAE =90°，∠BAE +∠EAC =90°，
∴∠DAB =∠EAC ，
在△DAB 和△EAC 中，
AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），
故①△AEC ≌△ADB 正确；
作以点A 为圆心，AE 为半径的圆，当CP 为⊙A 的切线时，CP 最大，
∵△AEC ≌△ADB ，
∴∠DBA =∠EC A ，
∴∠PBA +∠P =∠ECP +∠BAC ，
∴∠P =∠BAC =90°，
∵CP 为⊙A 的切线，
∴AE ⊥CP ，
∴∠DPE =∠PEA =∠DAE =90°，
∴四边形DAEP 为矩形，
∵AD =AE ，
∴四边形DAEP 为正方形，
∴PE =AE =3，
在Rt△AEC 中，CE
===，
∴CP 最大=PE +EC =3+
故②CP 存在最大值为3+
∵△AEC ≌△ADB ，
∴BD =CE =
在Rt△BPC 中，BP 最小3=，
BP 最短=BD -PD =，
故③BP 存在最小值为3不正确；
取BC 中点为O ，连结AO ，OP ，
∵AB =AC =6，∠BAC=90°，
∴BP =CO =AO =1122
BC =⨯=， 当AE ⊥CP 时,CP 与以点A 为圆心，AE 为半径的圆相切，此时sin∠ACE =
3162
AE AC ==， ∴∠ACE =30°，
∴∠AOP =2∠ACE =60°，
当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=
31
62 AD
AB
==，
∴∠ABD=30°，
∴∠AOP′=2∠ABD=60°，
∴点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为PAP'，∵∠POP=∠POA+∠AOP′=60°+60°=120°，
∴L PAP'
1203
2
180
π
π
⨯
==．
故④点P运动的路径长为2π正确；
正确的是①②④．
故选B．
【点睛】
本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．
二、填空题
1、
【分析】
如图，设小圆的切线MN 与小圆相切于点D ，与大圆交于M 、N ，连接OD 、OM ，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．
【详解】
解：如图，设小圆的切线MN 与小圆相切于点D ，与大圆交于M 、N ，连接OD 、OM ，
则OD ⊥MN ，
∴MD =DN ，
在Rt △ODM 中，OM =180cm ，OD =60cm ，
∴MD =，
∴2MN MD ==，
即该球在大圆内滑行的路径MN 的长度为，
故答案为：
【点睛】
本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．
2【分析】
设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ）根据勾股定理()(2
22+6x x -=，解一元二次方程求出
1224x x ==，，利用三角形面积公式求124=42⨯⨯2cm 即可．
【详解】
解：设一直角边长为x ，另一直角边长为（6-x ），
∵三角形是直角三角形，
∴根据勾股定理()(222+6x x -=，
整理得：2680x x -+=，
解得1224x x ==，，
这个直角三角形的斜边长为外接圆的直径，
， 三角形面积为1
24=42⨯⨯2cm ．
4．
【点睛】
本题考查直角三角形的外接圆，直角所对弦性质，勾股定理，一元二次方程，三角形面积，掌握以上知识是解题关键．
3、（1）见解析；（2）120°；（3）2
【分析】
（1）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质求得∠ABD =90°－12α，∠BAE =α+30°，根据菱形的邻角互补求解即
可；
（3）连接AF ，根据菱形的性质和全等三角形的性质可求得∠FAC =45°，∠FCA =30°，过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：（1）由旋转得：AB=AD ，AC=AE ，∠BAD =∠CAE =α，
∵AB=AC ，
∴AB=AC =AD=AE ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；
（2）∵AB=AD ，∠BAD =α，∠BAC =30°，
∴∠ABD =（180°－∠BAD ）÷2=（180°－α）÷2=90°－12α，∠BAE =α+30°，
∵四边形ABFE 是菱形，
∴∠BAE +∠ABD=180°，即α+30°+90°－12α=180°，
解得：α=120°；
(3)连接AF ，
∵四边形ABFE 是菱形，∠BAE =α+30°=150°，
∴∠BAF =1
2∠BAE =75°，又∠BAC =30°，
∴∠FAC =75°－30°=45°，
∵△ABD ≌△ACE ，
∴∠FCA =∠ABD =90°－12α=30°，
过F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，
在Rt△AGF 中，∠FAG =45°，∠AGF=90°，
∴∠AFG =∠FAG =45°，
∴△AGF 是等腰直角三角形，
∴AG=FG=x ，
在在Rt△AGF 中，∠FCG =30°，∠FGC =90°，
∴CF =2FG =2x ，
CG ==，
∵AC=AB=2，又AG+CG=AC ，
∴2x =，
解得：1x =，
∴CF =2x = 2．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
4、3+3y x =-
【分析】
由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k ），（1，0），（-k ，0），将其代入抛物线
22y mx mx c =++（0m ≠）即可得m 、k 的二元一次方程组30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩，即可解出13m k =-⎧⎨=⎩
，故这个一次函数的解析式为3+3y x =-．
【详解】
一次函数(0)y kx k k =-+>与y 轴的交点为（0，k ），与x 轴的交点为（1，0）
绕O 点逆时针旋转90°后，与x 轴的交点为（-k ，0）
即（0，k ），（1，0），（-k ，0）过抛物线22y mx mx c =++（0m ≠）
即22020k c m m c k m km c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩
得30210
m k km m +=⎧⎨-+=⎩ 将3
k m -=代入210km m -+=有 (2)103k k --⋅
+= 整理得2230k k --=
解得k =3或k =-1（舍）
将k =3代入3
k m -=得1m =- 故方程组的解为13m k =-⎧⎨=⎩
则一次函数的解析式为3+3y x =-
故答案为：3+3y x =-．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．
5、4π3
【分析】
连接OB ，交AC 于点D ，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC 为菱形，根据菱形的性质可得：OB AC ⊥，OA AB =，AD DC =，根据等边三角形的判定得出OAB 为等边三角形，由此得出120AOC ∠=︒，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB ，交AC 于点D ，
∵四边形OABC 为平行四边形，OA OC =，
∴四边形OABC 为菱形，
∴OB AC ⊥，OA AB =，12
AD DC AC ==
= ∵OA OB AB ==，
∴OAB 为等边三角形，
∴60AOB ∠=︒，
∴120AOC ∠=︒，
在Rt OAD 中，设AO r =，则12
OD r =， ∴222AD OD AO +=，
即22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得：2r =或2r =-（舍去），
∴AC 的长为：120241803
ππ⨯⨯=， 故答案为：43
π． 【点睛】
题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．
三、解答题
1、（1）4；（2）-1或-7
【分析】
（1）如图，130DAD ∠=︒且11D C O 、、三点在一条直线上的情况，连接1D O ，过点D 向x 作垂线交点为E ，在直角三角形1D EO 中，1130AD E AOD ∠=︒=∠，11
sin30D E OD =︒，可求1D O 的长； （2）如图，过点1D 向x 作垂线交点为N ，过点1C 作x 轴垂线交于点G ，作11D M C G ⊥交点为M ；由111111111AND C MD AD N C D M AD C D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，知111AND C MD ≌，11D N D M =，点G 坐标为()4,0G -，得4p =-，由2225p q +=知q 的值，从而得到p q +的值．
【详解】
解：（1）∵∠DAD 1＝30°且D 1、C 1、O 三点在一条直线上
∴如图所示，连接1OD ，过点1D 向x 作垂线交点为E
∴1130AD E AOD ∠=︒=∠
∵12n D E ==
111sin302D E OD ∴
=︒= 14OD ∴=．
（2）如图过点1D 向x 作垂线交点为N ，过点1C 作x 轴垂线交于点G ，作11D M C G ⊥交点为M
11190AND D MC ∠=∠=︒，111111190AD N ND C ND C C D M ∠+∠=∠+∠=︒
111AD N C D M ∴∠=∠
在1AND 和11C MD 中
111111111AND C MD AD N C D M AD C D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()111AND C MD AAS ∴≌
11D N D M ∴=
G 点横坐标可表示为14m NG m D M m n +=+=+=-
()4,0G ∴-
4p ∴=-
2225p q +=
3q ∴=±
∴p +q =-7或-1．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数值，三角形全等,图形旋转的性质等知识．解题的关键与难点是找出线段之间的关系．
2、见解析
【分析】
先作线段OA 的垂直平分线．确定OA 的中点，再以中点为圆心，OA 一半为半径作圆交O 于B 点，然后作直线AB ，则根据圆周角定理可得AB 为所求．
【详解】
如图，直线AB 就是所求作的，
（作法不唯一，作出一条即可，需要有作图痕迹）
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是掌握复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
3、
（1）图见解析，点C 的坐标为()1,1-
（2）图见解析，4
【分析】
（1）根据题意，腰长为无理数且ABC 为以AB 为底的等腰三角形，只在第二象限，作图即可确定点，然后写出点的坐标即可；
（2）现确定旋转后的点，然后依次连接即可，根据旋转前后三角形的面积不变，利用表格及勾股定理确定三角形的底和高，即可得出面积．
（1）
解：如图所示，点C 的坐标为()1,1-；
BC AC =
（2）
如图所示：点A '的坐标()0,2-，点B '的坐标为()20,，
∵旋转180°后的A B C ''的面积等于ABC 的面积，
AB CD ===
∴11422
A B C S AB CD ''=⋅=⨯=△， ∴''A B C 的面积为4．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的定义及旋转图形的作法，理解题意，熟练掌握在坐标系中旋转图形的作法是解题关键．
4、（1）①BC ⊥CF ；证明见详解；②见详解;（2）2AE 2=4AG 2+BE 2．证明见详解．
【分析】
（1）①如图所示，BC ⊥CF ．根据将线段AE 逆时针旋转90°得到线段AF ，得出AE =AF ，
∠EAF =90°，可证△BAE ≌△CAF （SAS ），得出∠ABE =∠ACF =45°，可得
∠ECF =∠ACB +∠ACF =45°+45°=90°即可；
②根据AD ⊥BC ，BC ⊥CF ．可得AD∥CF ，可证△BDG ∽△BCF ，可得BD BG BC BF =，得出12
BG BF =即可；
（2）2AE 2=4AG 2+BE 2，延长BA 交CF 延长线于H ，根据等腰三角形性质可得AD 平分∠BAC ，可得
∠BAD =∠CAD =1452
BAC ∠=︒，可证△BAG ∽△BHF ，得出HF =2AG ，再证△AEC ≌△AFH （AAS ），得出EC =FH =2AG ，利用勾股定理得出22222EF AE AF AE =+=，222EF EC CF =+即22224+AE AG BE =即可．
【详解】
解：（1）①如图所示，BC ⊥CF ．
∵将线段AE 逆时针旋转90°得到线段AF ，
∴AE =AF ，∠EAF =90°，
∴∠EAC +∠CAF =90°，
∵AB AC =，90BAC ∠=︒，
∴∠BAE +∠EAC =90°，∠ABC =∠ACB =45°，
∴∠BAE =∠CAF ，
在△BAE 和△CAF 中，
AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BAE ≌△CAF （SAS ），
∴∠ABE =∠ACF =45°，
∴∠ECF =∠ACB +∠ACF =45°+45°=90°，
∴BC ⊥CF ；
②∵AD⊥BC，BC⊥CF．
∴AD∥CF，
∴∠BDG=∠BCF=90°，∠BGD=∠BFC，∴△BDG∽△BCF，
∴BD BG BC BF
=，
∵AB AC
=，AD⊥BC，
∴BD=DC=1
2 BC，
∴1
2
BC BG BC BF
=，
∴
1
2 BG
BF
=，
∴
1
2
BG BF
=，
∴BG=GF;
（2）2AE2=4AG2+BE2．延长BA交CF延长线于H，∵AD⊥BC，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=1
45
2
BAC
∠=︒，
∵BG =GF ，AG∥HF ，
∴∠BAG =∠H =45°，∠AGB =∠HFB ，
∴△BAG ∽△BHF ， ∴12
AG BG HF BF ==， ∴HF =2AG ，
∵∠ACE =45°，
∴∠ACE =∠H ，
∵∠EAC +∠CAF =90°，∠CAF +∠FAH =90°，
∴∠EAC =∠FAH ，
在△AEC 和△AFH 中，
ACE AHF EAC FAH AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AEC ≌△AFH （AAS ），
∴EC =FH =2AG ，
在Rt△AEF 中，根据勾股定理22222EF AE AF AE =+=，
在Rt△ECF 中，222EF EC CF =+即22224+AE AG BE =．
【点睛】
本题考查图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，掌握图形旋转性质，三角形完全判定与性质，等腰直角三角形性质，三角形相似判定与性质，勾股定理是解题关键．
5、（1）3P ；（2）p x ≤<（3）1b <≤或1 1.b -<<- 【分析】
（1）分别计算出OQ 、PO 和PQ 的长度，比较即可得出答案；
（2）先判断点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，结合PO ≤2，点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，可得点P 在如图所示的线段AB 上（不包含点B ），过B 作BC y ⊥轴，过A 作AD y ⊥轴，垂足分别为,,C D 再根据图形的性质求解,,BC AD 从而可得答案；
（3）由（2）得：点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO ＜PQ ，点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，再分两种情况讨论：当0b >时，当0b ≤时，分别画出两种情况下的临界直线2,y x b =+ 再根据临界直线经过的特殊点求解b 的值，再确定范围即可.
【详解】
解：（1） O （0，0），Q （1，0），
1,OQ P 1（0，-1），P 2（12，3
2
），P 3（-1，1）
22111,112,OP PQ 不满足OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，
所以1P 不是线段OQ 的“潜力点”， 同理：22222213101310,10,222222
OP P Q 所以不满足OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，
所以2P 不是线段OQ 的“潜力点”， 同理：222233112,11105,OP PQ
125,22,
所以满足：OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，
所以3P 是线段OQ 的“潜力点”，
故答案为：P 3
（2）∵点P 为线段OQ 的“潜力点”，
∴OQ ＜PO ＜PQ 且PO ≤2，
∵OQ ＜PO ，
∴点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外
∵PO ＜PQ ，
∴点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，而OQ 的垂直平分线为：1,2
x ∵PO ≤2，
∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内
又∵点P 在直线y ＝x 上，
∴点P 在如图所示的线段AB 上（不包含点B ）
过B 作BC y ⊥轴，过A 作AD y ⊥轴，垂足分别为,,C D
由题意可知△BOC 和 △AOD 是等腰三角形，1,2,OB OA ∴2sin 45
,sin 452,BC OB AD OA
∴x p ＜2 （3）由（2）得：点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，
而PO ＜PQ ，点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧
当0b >时，2y x b =+过10,1N 时，
1,b ∴= 即函数解析式为：21,y x =+ 此时11,0,2M 则111tan ,2
M N O
当2y x b =+与半径为2的圆相切于S 时，则90,NSO
由11,MN M N ∥
111tan tan ,2SO SNO M N O SN 而2,SO 224,2425,SN ON
125,b
当0b ≤时，如图，同理可得：点P 在以O 为圆心，1为半径的圆外且点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上或圆内，
而PO ＜PQ ，点P 在线段OQ 垂直平分线的左侧，
同理：当2y x b =+过10,1,N 则1,b =- 直线为21,y x
11,0,2M 1M 在直线12
x =上， 此时221115,M K OK OM 当2y x b =+过115,2K 时， 则151+,b 151,b
所以此时：1 1.b -<<-
综上：b 的范围为：1＜b ≤1-＜b ＜-1 【点睛】
本题考查的是新定义情境下的知识运用，圆的基本性质，圆的切线的性质，一次函数的综合应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，数形结合是解本题的关键.。