平桥区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

平桥区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． （文科）要得到的图象，只需将函数的图象（ ）
()2log 2g x x =()2log f x x =A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位
2． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞2
B ．m ＞4
C ．m ＞6
D ．m ＞8
3． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（
）
A ．2bsinA
B ．2bcosA
C ．2bsinB
D ．2bcosB
4． 如图甲所示， 三棱锥 的高 ，分别在P ABC -8,3,30PO AC BC ACB ===∠=
,M N BC
和上，且，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥的体积与PO (),203CM x PN x x ==∈
（，N AMC -y 的变化关系，其中正确的是（
）
A ．
B ． C. D ．1111]
5． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ）1
2
A.缩小到原来的一半
B.扩大到原来的倍
C.不变
D.缩小到原来的
16
6． 已知f （x ）=，则“f[f （a ）]=1“是“a=1”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．即不充分也不必要条件
7． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（
）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个8． 以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．，(0,)x π∃∈sin tan x x
=
B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++<
C ．，函数都不是偶函数R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+
D ．中，“”是“”的充要条件
ABC ∆sin sin cos cos A B A B +=+2
C π
=
【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．9． 由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ）
A ．45
B ．90
C ．120
D ．360
10．已知||=3，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（
）A ．2B ．
C ．
D ．13
　11．函数的定义域为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．（，1）12．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量（单位：毫克/升）与时间（单位：P t 小时）间的关系为（，均为正常数）．如果前5个小时消除了的污染物，为了消除0e kt
P P -=0P k 10%27.1%
的污染物，则需要（ ）小时.
A. B. C. D. 81015
18
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新
课标的这一重要思想.
二、填空题
13．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数，
若曲线()()ln R x f x x a a x
=+-∈122e e 1x x y +=+（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________.
e ()00,x y ()()00
f f y y =a 14．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数，其中，若存在唯一的整数
()()21x
f x e
x ax a =--+1a <，使得，则的取值范围是
0x ()00f x <a 15．设，在区间上任取一个实数，曲线在点处的切线斜率为，则随机()x x
f x e
=
[0,3]0x ()f x ()00,()x f x k 事件“”的概率为_________.
0k <16．等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的自然数是________.{}n a 39||||a a =0d <n S 17．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．18．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．
三、解答题
19．已知双曲线过点P（﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
20．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，
（1）求a，b；
（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．
xOy(2,0)y
21．在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨C
迹为曲线．
C
（1）求曲线的方程；111]
(1,0)C A B C E F
（2）过点作互相垂直的两条直线，，与曲线交于，两点与曲线交于，两点，AB EF M N MN P P
线段，的中点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），过点的直线交曲线于两点.
C ⎩⎨⎧==α
α
sin cos 2y x α)0,1(P C B A 、（1）将曲线的参数方程化为普通方程；
C （2）求的最值.
||||PB PA ⋅23．已知函数f （x ）=sin2x •sin φ+cos 2x •cos φ+sin （π﹣φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，．）
（Ⅰ）求函数f （x ）在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若x 0∈（，π），sinx 0=，求f （x 0）的值．
24．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，E ，F ，G 分别是AC ，AD ，BC 的中点．求证：（I ）AB ∥平面EFG ；（II ）平面EFG ⊥平面ABC ．
平桥区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
试题分析：，故向上平移个单位.()2222log 2log 2log 1log g x x x x ==+=+考点：图象平移．
2． 【答案】C
【解析】解：由f ′（x ）=3x 2﹣3=3（x+1）（x ﹣1）=0得到x 1=1，x 2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f ′（x ）＜0，（1，2）上f ′（x ）＞0，
∴函数f （x ）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f （x ）min =f （1）=m ﹣2，f （x ）max =f （2）=m+2，f （0）=m 由题意知，f （1）=m ﹣2＞0 ①；
f （1）+f （1）＞f （2），即﹣4+2m ＞2+m ②由①②得到m ＞6为所求．故选C
【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值　
3． 【答案】D 【解析】解：∵A=2B ，
∴sinA=sin2B ，又sin2B=2sinBcosB ，∴sinA=2sinBcosB ，根据正弦定理==2R 得：
sinA=
，sinB=
，
代入sinA=2sinBcosB 得：a=2bcosB ．故选D
4． 【答案】A 【解析】
考
点：几何体的体积与函数的图象.
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为，将圆锥的高扩大到原来2
113
V r h π=的倍，底面半径缩短到原来的，则体积为，所以，故选A.
122
22111(2)326
V r h r h ππ=⨯=122V V =考点：圆锥的体积公式.16． 【答案】B
【解析】解：当a=1，则f （a ）=f （1）=0，则f （0）=0+1=1，则必要性成立，若x ≤0，若f （x ）=1，则2x+1=1，则x=0，若x ＞0，若f （x ）=1，则x 2﹣1=1，则x=，
即若f[f （a ）]=1，则f （a ）=0或，
若a ＞0，则由f （a ）=0或1得a 2﹣1=0或a 2﹣1=，即a 2=1或a 2=
+1，解得a=1或a=
，若a ≤0，则由f （a ）=0或1得2a+1=0或2a+1=，即a=﹣，此时充分性不成立，
即“f[f （a ）]=1“是“a=1”的必要不充分条件，故选：B ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据分段函数的表达式解方程即可．
7． 【答案】B
【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A ⊆B ，A ⊆C ；∴A ⊆B ∩C={0，2}
∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素，
故最多有4个子集．
故选：B．
8．【答案】D
9．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，
所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
10．【答案】C
【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为，
可得=||||cos＜，＞=3×1×=，
即有|﹣4|=
==．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．　
11．【答案】C
【解析】解：要使原函数有意义，则log2（4x﹣1）＞0，
即4x﹣1＞1，得x．
∴函数的定义域为．
故选：C ．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．　
12．【答案】15 【
解
析
】
二、填空题
13．【答案】1,e
⎛⎤-∞ ⎥
⎝
⎦
【解析】结合函数的解析式：可得：，1
22e e 1x x y +=+()()
122
221'1x x x e e y e +-=+令y ′=0，解得：x =0，
当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，
则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减，则当x =0时，取最大值，最大值为e ，∴y 0的取值范围（0，e ]，
结合函数的解析式：可得：，()()R lnx
f x x a a x
=+-∈()22
ln 1'x x f x x -+=x ∈（0，e ），，
()'0f x >则f （x ）在（0，e ）单调递增，下面证明f （y 0）=y 0．
假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0．同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0．综上可得：f （y 0）=y 0．
令函数．()ln x
f x x a x x =
+-=设，求导，
()ln x g x x =()2
1ln 'x
g x x -=当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0，
g （x ）在（0，e ）单调递增，当x =e 时取最大值，最大值为，()1g e e
=当x →0时，a →-∞，∴a 的取值范围.
1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．14．【答案】
【解析】试题分析:设
,由题设可知存在唯一的整数，使得
在直线0x
的下方.因为
,故当
时,
,函数
单调递减;
当
时,
,函数单调递增;故,而当
时,
,故当
且
,解之得
,应填答案
.3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点，使得为背景,设置了一道求函数解析式中的参数0x ()00f x <的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数，使得在直线
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
0x 据题设建立不等式组求出解之得.
15．【答案】
3
5
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
，由得，，∴随机事件“”的概率为．0
001()x x k f x e -'==
0()0f x '<01x >0k <2
3
16．【答案】或
【解析】
试题分析：因为，且，所以，所以，所以，所以0d <39||||a a =39a a =-1128a d a d +=--150a d +=，所以，所以取得最大值时的自然数是或．
60a =0n a >()15n ≤≤n S 考点：等差数列的性质．
【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出，所以是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的一个150a d +=60a =易错点．
17．【答案】　x ﹣y ﹣2=0　．
【解析】解：直线AB 的斜率 k AB =﹣1，所以线段AB 的中垂线得斜率k=1，又线段AB 的中点为（3，1），所以线段AB 的中垂线得方程为y ﹣1=x ﹣3即x ﹣y ﹣2=0，
故答案为x ﹣y ﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
18．【答案】
【解析】（2a ＋b ）·a ＝（2，－2＋t ）·（1，－1）
＝2×1＋（－2＋t ）·（－1）
＝4－t ＝2，∴t ＝2.
答案：2
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设双曲线的方程为y 2﹣
x 2=λ（λ≠0），
代入点P （﹣3，4），可得λ=﹣16，∴所求求双曲线的标准方程为
（2）设|PF 1|=d 1，|PF 2|=d 2，则d 1d 2=41，
又由双曲线的几何性质知|d 1﹣d 2|=2a=6，
∴d 12+d 22﹣2d 1d 2=36即有d 12+d 22=36+2d 1d 2=118，
又|F 1F 2|=2c=10，
∴|F 1F 2|2=100=d 12+d 22﹣2d 1d 2cos ∠F 1PF 2
∴cos ∠F 1PF 2=
【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P 的情况下求它的标准方程，并依此求∠F 1PF 2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．　
20．【答案】
【解析】解：（1）因为不等式ax 2﹣3x+6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，所以x 1=1与x 2=b 是方程ax 2﹣3x+2=0的两个实数根，
且b ＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．
（2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax 2﹣（ac+b ）x+bc ＜0，
即x 2﹣（2+c ）x+2c ＜0，即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0．
①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x|2＜x ＜c}；
②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}；
③当c=2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅．
综上所述：当c ＞2时，不等式ax 2﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为{x|2＜x ＜c}；
当c ＜2时，不等式ax 2﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}；
当c=2时，不等式ax 2﹣（ac+b ）x+bc ＜0的解集为∅．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．　
21．【答案】（１） ；（２）证明见解析；．
24y x =(3,0)【解析】
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，，，
11(,)A x y 22(,)B x y 则直线：，，(1)y k x =-1212(,)22
x x y y M ++
由得，24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222(24)0k x k x k -++=，
2242(24)416160k k k ∆=+-=+>
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当不含参数时，可通过解不等式)(x f )0)((0)('
'<>x f x f 直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意),(),0)((0)(''b a x x f x f ∈≤≥参数的取值是不恒等于的参数的范围．)('
x f 22．【答案】（1）.（2）的最大值为，最小值为.1222=+y x ||||PB PA ⋅2
1
【解析】
试
题解析：解：（1）曲线的参数方程为（为参数），消去参数C ⎩⎨⎧==α
αsin cos 2y x αα
得曲线的普通方程为 （3分）C 12
22
=+y x （2）由题意知，直线的参数方程为（为参数），将代入⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x ⎩⎨⎧=+=θ
θsin cos 1t y t x 1222
=+y x 得 （6分）
01cos 2)sin 2(cos 222=-++θθθt t 设对应的参数分别为，则.B A ,21,t t ]1,2
1[sin 11sin 2cos 1||||||22221∈+=+==⋅θθθt t PB PA ∴的最大值为，最小值为. （10分）||||PB PA ⋅2
1考点：参数方程化成普通方程．
23．【答案】
【解析】（本小题满分12分）φ
解：（Ⅰ）f （x ）=
+﹣
=
+=）
由f （x ）图象过点（
）知：
所以：φ=
所以f（x）=
令（k∈Z）
即：
所以：函数f（x）在[0，π]上的单调区间为：
（Ⅱ）因为x0∈（π，2π），
则：
2x0∈（π，2π）
则：=
sin
所以=）=
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调区间的确定，三角函数的求值问题，属于基础题型．
24．【答案】
【解析】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．
所以AB∥EG…
因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG
所以AB∥平面EFG…
（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD
所以AB⊥CD…
又BC⊥CD且AB∩BC=B
所以CD⊥平面ABC…
又E，F分别是AC，AD，的中点
所以CD∥EF
所以EF⊥平面ABC…
又EF⊂平面EFG，
所以平面平面EFG⊥平面ABC．…
【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．。