北京市海淀区2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）
A．1∈∁
U （M∪P） B．2∈∁
U
（M∪P） C．3∈∁
U
（M∪P） D．6∉∁
U
（M∪P）
2．下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）
A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx
3．已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）
A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9
4．下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）
A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log
2
（x2+1）
5．代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
6．在边长为1的正方形ABCD中，向量=， =，则向量，的夹角为（）
A．B．C．D．
7．如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|
＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）
A．x=﹣ B．x=C．x=D．x=
8．已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值
C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值
二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
9．函数y=的定义域为．
10．已知a=40.5，b=0.54，c=log
4，则a，b，c从小到大的排列为．
0.5
11．已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα= ．12．已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）
（i）若∠ACB是直角，则x=
（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是．
13．燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速
．若两岁燕子耗氧量达到40个单度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog
2
位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位．
14．已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x
（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；
（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．三.解答题（本大题共4小题，共44分）
15．已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；
（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．
16．已知如表为“五点法”绘制函数f （x ）=Asin （ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）
（Ⅱ）求函数f （x ）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f （x ）在区间[0，]上的取值范围．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣，0），B （，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P 的坐标； （Ⅱ）当
•
=﹣时，求α的值；
（Ⅲ）在x 轴上是否存在定点M ，使得||=|
|恒成立？若存在，求出点M
的横坐标；若不存在，请说明理由．
18．已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分
（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；
（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；
（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．
选做题（本题满分10分）
19．记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x ∈V|x•=x•|
（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；
（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；
（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ
1，λ
2
，且λ
1+λ
2
=1，使得=λ
1
+λ
2
．
2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）
A．1∈∁
U （M∪P） B．2∈∁
U
（M∪P） C．3∈∁
U
（M∪P） D．6∉∁
U
（M∪P）
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】首先计算M∪P，并求其补集，然后判断元素与集合的关系．
【解答】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以∁
U
（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误；
故选：C．
2．下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）
A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】分别判断选项中的函数在区间（﹣∞，0）上的单调性即可．
【解答】解：对于A，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足题意；
对于B，g（x）=3x+1在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足题意；
对于C，h（x）=3﹣x=是（﹣∞，0）上的单调减函数，不满足题意；
对于D，t（x）=tanx在区间（﹣∞，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意．
故选：B．
3．已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）
A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量共线列出方程求解即可．
【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若∥，
可得t=9．
故选：D．
4．下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）
（x2+1）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log
2
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数，分析选项，即可得出结论．
【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数．A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，
故选B．
5．代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得答案．
【解答】解：sin（+）+cos（﹣）=．
故选：C．
6．在边长为1的正方形ABCD中，向量=， =，则向量，的夹角为（）
A．B．C．D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，根据向量的夹角的公式计算即可
【解答】解：设向量，的夹角为θ，
以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，
∴A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），
∵向量=， =，
∴E（，1），F（1，），
∴=（，1），=（1，），
∴||=， =，•=+=，
∴cosθ===，
∴θ=，
故选：B
7．如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|
＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）
A．x=﹣ B．x=C．x=D．x=
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由正弦函数的对称性可得2×+φ=kπ，k∈Z，结合范围|φ|＜，
可求φ，令2x+=kπ+，k∈Z，可求函数的对称轴方程，对比选项即可得解．
【解答】解：∵函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称，
∴2×+φ=kπ，k∈Z，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，
∵|φ|＜，
∴φ=，可得：f（x）=3sin（2x+），
∴令2x+=kπ+，k∈Z，可得：x=+，k∈Z，
∴当k=0时，可得函数的对称轴为x=．
故选：B．
8．已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）
A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值
C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】分别根据指数函数和二次函数的图象和性质，结合条件M∪P=R，讨论M，P，即可得到结论．
【解答】解：由函数y=2x的值域为（0，+∞），
y=x2的值域为[0，+∞），
且M∪P=R，
若M=（0，+∞），P=（﹣∞，0]，
则f（x）的最小值为0，故D错；
若M=（﹣∞，2），P=[2，+∞），
则f（x）无最小值为，故B错；
由M∪P=R，可得图象无限上升，
则f（x）无最大值．
故选：C．
二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
9．函数y=的定义域为[2，+∞）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．
【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．
∴函数y=的定义域为[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
10．已知a=40.5，b=0.54，c=log
0.5
4，则a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a ．【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵a=40.5＞40=1，
0＜b=0.54＜0.50=1，
c=log
0.54＜log
0.5
1=0，
∴a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a．
故答案为：c＜b＜a．
11．已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα= ﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．
【解答】解：∵角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣=，∴x=﹣，
∴tanα==﹣，
故答案为：﹣．
12．已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）
（i）若∠ACB是直角，则x=
（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】（i）求出=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），由∠ACB是直角，则=0，由此能求出x．
（ii）分别求出，，，，，，由△ABC是锐角三角形，得，
由此能求出x的取值范围．
【解答】解：（i）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），
∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），
∵∠ACB是直角，
∴=（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣1）（﹣1）=x2﹣3=0，
解得x=．
（ii）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），
∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），=（x+2，1），=（4，0），=（x﹣2，1），=（﹣4，0），
∵△ABC是锐角三角形，
∴，解得﹣2＜x＜﹣或x＞2．
∴x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．
故答案为：，（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．
13．燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速
．若两岁燕子耗氧量达到40个单度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog
2
位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到320 单位．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由题意，令x=4，y=10代入解析式得到a；求得解析式，然后将v=25代入解析式求x
【解答】解：由题意，令x=40，v=10
4；所以a=5；
10=alog
2
v=25 m/s，25=5 log，得到x=320单位．
故答案为：320．
14．已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x
（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；
（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）化为分段函数，再解不等式即可，
（2）①）当a≥1②当0＜a＜1③当a≤0三种情况，画出f（x）=|ax﹣1|与g （x）=（a﹣1）x的图象，利用图象确定有无交点．
【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，
∵f（x）＞1，
∴，
解得x＞2，
故x的取值范围为（2，+∞），
（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，
①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：
两函数的图象恒有交点，
②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：
要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，
∴a≥，故≤≤a＜1
③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：
两函数的图象恒有交点，
综上①②③知：≤a＜1
故答案为：（2，+∞），[，1）
三.解答题（本大题共4小题，共44分）
15．已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；
（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（Ⅰ）若函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，则=0，解得b值；（Ⅱ）由（I）得g（x）=f（x）﹣2=x2+c﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，则△=﹣4（c﹣2）＞0，解得c的范围；
（Ⅲ）函数f （x ）=x 2+c 的开口朝上，证得|c 2+1|2﹣|c|2＞0恒成立，可得不等式f （c 2+1）＞f （c ）对任意c ∈R 成立．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=x 2+bx+c ，其对称轴为y 轴， ∴
=0，
解得：b=0；
（Ⅱ）由（I ）得：f （x ）=x 2+c ， 则g （x ）=f （x ）﹣2=x 2+c ﹣2， 若函数g （x ）有两个不同的零点， 则△=﹣4（c ﹣2）＞0， 解得：c ＜2；
（Ⅲ）证明：函数f （x ）=x 2+c 的开口朝上， ∵|c 2+1|2﹣|c|2=c 4+c 2+1=（c 2+）2+＞0恒成立， 故|c 2+1|＞|c|，
故不等式f （c 2+1）＞f （c ）对任意c ∈R 成立．
16．已知如表为“五点法”绘制函数f （x ）=Asin （ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）
（Ⅱ）求函数f （x ）的单调递减区间； （Ⅲ）求函数f （x ）在区间[0，
]上的取值范围．
【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f （x ）的解析式，从而求得它的周期． （Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f （x ）的单调递减区间． （Ⅲ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f （x ）在区间[0，
]上的取值
【解答】解：（Ⅰ）由表格可得A=2， =
+
，∴ω=2，结合五点法作
图可得2•
+φ=
，∴φ=
，
∴f （x ）=2sin （2x+），它的最小正周期为
=π．
（Ⅱ）令2k π﹣
≤2x+≤2k π+
，求得k π﹣
≤x ≤k π+，
可得函数f （x ）的单调递减区间为[k π﹣，k π+
]，k ∈Z ．
（Ⅲ）在区间[0，]上，2x+
∈[
，
]，sin （2x+
）∈[﹣
，1]，
f （x ）∈[﹣
，2]，
即函数f （x ）的值域为[﹣，2]．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣，0），B （，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P 的坐标； （Ⅱ）当
•
=﹣时，求α的值；
（Ⅲ）在x 轴上是否存在定点M ，使得||=|
|恒成立？若存在，求出点M
的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】向量数乘的运算及其几何意义；任意角的三角函数的定义． 【分析】（Ⅰ）用α的三角函数的坐标法定义得到P 坐标；
（Ⅱ）首先写成两个向量的坐标根据•
=﹣，得到关于α的三角函数等式，
求α的值；
（Ⅲ）假设存在M （x ，0），进行向量的模长运算，得到三角等式，求得成立的x
【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；
（Ⅱ），，•=﹣时，
即（cos）（cos）+sin2α=，整理得到cos，所以锐角α=60°；
（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，
则由||=||恒成立，得到=，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，
所以存在x=﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．
18．已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分
（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；
（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；
（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】（I）①利用Ω对于即可判断出函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．
（II）（i）函数f（x）是Ω函数，可得存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf （﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，可得Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），通过换元进而得出：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（ii）同（i）可以证明．
（III）当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）
=f（x），可得Ta x+T=a x，化为：Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，即可证明．
【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．
②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．
∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．
（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f （t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），
∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，
∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．
选做题（本题满分10分）
19．记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x ∈V|x•=x•|
（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；
（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；
（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ
1，λ
2
，且λ
1+λ
2
=1，使得=λ
1
+λ
2
．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），运用数量积的坐标表示，即可得到所求元素；
（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），运用数量积的坐标表示，以及共线定理即可得到；
（3）设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），运用新定义和数量积的坐标表示，解方程可得a，即可得证．
【解答】解：（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），
由•=•，可得x+2y=3x+4y，
即为x+y=0，
则集合V（，）中的三个元素为（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）；
（2）由（1）可得这些向量共线．
理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），
由•=•，可得as+bt=cs+dt，
即有s=t，
即=（t，t），
故集合V（，）中元素的关系为共线；
（3）证明：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），
=（u，v），=（e，f），
若V（，）=V（，），
即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，
解得a=•c+•e+，
可令d=f ，可得λ1=，
λ2=
，
则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．。