甘肃省兰州市第一中学高二数学下学期期中试题 理

甘肃兰州一中
2014—2015学年度下学期期中考试
高二数学理试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1. 有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点， 因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=， 所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.
以上推理中 （ ）
A ．大前提错误
B ． 小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确
2. 设函数()ln(23)f x x =-，则'
1()3
f = （ ）
A ．13
B ．
1
2
C ．2-
D ． 3- 3．复数i
i z -+=1)2(2
（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．若关于x 的方程3
30x x m -+=在上有根，则实数m 的取值范围是 （ ）
A ．[20]-，
B ．[02]，
C ．[22]-，
D ．(2)(2)-∞-+∞，，
5. 若当n →+∞时，
1
123(0)p p p p
P n p n +++++>无限趋近于一个常数A ，则A 可用定积分表
示为 （ ）
A ．1
01dx x
⎰
B ．1
p x dx ⎰
C ．101
()p dx x ⎰
D ．10()p x
dx n
⎰
6. 已知函数1ln ()x f x x +=
，在区间2
(,)3
a a +（0a >）上存在极值，则实数a 的取值范围是 （ ）
A .( 0,1)
B .(23，1)
C .( 12，1)
D .( 1
3, 1)
7. 已知z ∈C ，且|z |=1，则|z -2-2i |（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）
A ．
B
C
D
8. 平面几何中，有边长为a
的正三角形内任一点到三边距离之和为定值
，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）
Ａ
．
3a Ｂ
．4a Ｃ
．3a Ｄ
．4
a 9. 函数y =x +
cosx 的大致图象是(图中虚线是直线y =x ) （ ）
10．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相
等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒. 当所做的铁盒的容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ）
A ．12
B . 10
C . 8
D . 6
11．曲线y =x 2
-ln x 上任意一点P 到直线y =x -2的距离的最小值是 （ ）
A ． １
B
C . ２
D . 12．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)=1, f '(x )为f (x )的导函数，已知y =f '(x )的图象如右图所示，若两正数a ,b 满足f (2a +b )<1,则2
2
b a ++ 的取值范围是 （ ）
A . (- ∞, -3)
B . (- ∞, 1
2
)∪(3,+∞)
C .( 12，3)
D . ( 13,12
)
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．已知复数z 与 (z +2)2
-8i 均是纯虚数,则 z = ． 14．仔细观察下面4个数字所表示的图形：
请问：数字100所代表的图形中小方格的个数为 ． 15. 设()f x 是连续函数，且1
0()3()f x x f t dt =+⎰，则f (x )= ．
16．函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2
－3ax (a <0) 在区间（-∞，
3
a
）内单调递减，则a 的取值范围是 ． 三、解答题(本大题共4小题，共36分)
17．(本小题满分8分) 已知抛物线C ：y =-x 2
+4x -3 .
（1）求抛物线C 在点A （0，－3）和点B (3，0)处的切线的交点坐标； （2）求抛物线C 与它在点A 和点B 处的切线所围成的图形的面积.
18. (本小题满分8分) 已知函数ln ()x
f x x
=. （1）求函数f (x )的单调区间；
（2）已知a 、b ∈R,a >b >e , (其中e 是自然对数的底数), 求证:b a
>a b
.
19．（本小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；
（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
20．（本小题满分12分）已知f (x )=ax 2
(a ∈R), g (x )=2ln x . （1）讨论函数F (x )=f (x )-g (x )的单调性；
（2）是否存在实数a ，使得f (x )≥g (x )+2 (x>0)恒成立，若不存在，请说明理由；若存
在，求出a 的取值范围;
（3）若方程f (x )=g (x )在区间]e 上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围.
兰州一中2014-2015-2学期期中考试参考答案
高二数学（理）
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13．-2i ． 14．20201． 15. 3
4
x -． 16．(－∞，－1]． 三、解答题(本大题共4小题，共36分) 17．(本小题满分8分)
解：(1)24y x '=-+，1(0)
4,(3)2k y y y '''====-， 所以过点A （0，－3）和点B (3，0)的切线方程分别是
43y 26y x x =-=-+和，
两条切线的交点是（3,32
），………………4分 (2)围成的区域如图所示：区域被直线3
2
x =
分成了两部分，分别计算再相加，得： 3
33
32222330
2
2
[(43)(43)][(26)(43)]S x dx x x dx x dx x x dx =---+-+-+--+-⎰⎰⎰⎰
332
32233232200
332
2
1
1
(23)(23)
(6)
(23)
3
3
x x x x x x x x x x =---+-+-+--+-94
=
即所求区域的面积是9
4
. ………………8分 18. (本小题满分8分) 解：（1）ln ()x f x x =
, ∴21ln ()x
f x x
-'= ∴当x e >时,()0f x '<,∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. 当0<x <e 时,()0f x '>,∴函数()f x 在(0,e )上是单调递增. ∴f (x )的增区间是(0,e ),减区间是(,)e +∞. ………………4分 (2)证明:∵0,0a b b a >> ∴要证: a
b
b a > 只要证:ln ln a b b a > 只要证
ln ln b a b a
>.(∵a b e >>) 由（1）得函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. ∴当a b e >>时,有()()f b f a >即ln ln b a
b a
>. ∴ a
b
b a >………………8分 19．（本小题8分） 解：（1）依题设可得111212a =
=⨯，211
623
a ==⨯， 3111234a ==⨯，4112045
a ==⨯； ………………………3分
（2）猜想：1
(1)
n a n n =
+．………………………4分
证明：①当1n =时，猜想显然成立．………………………5分 ②假设*()n k k =∈N 时，猜想成立，即1
(1)
k a k k =
+．…………………6分
那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11
k k k
S ka k =-=+， 所以
111(1)1
k k k
a k a k +++=-++， 从而111
(1)(2)(1)[(1)1]
k a k k k k +=
=+++++．
即1n k =+时，猜想也成立． ………………………7分 故由①和②，可知猜想成立． ………………………8分
20.（本小题满分12分）
解：（1）2
()2ln ,(0,)F x ax x =-+∞其定义域为222(1)
()2(0)ax F x ax x x x
-'∴=-=>
（i ）当a >0时，由ax 2
-1>0得 x
>,
由ax 2
-1<0得 0x
<<.
故当a >0时，F (x )的递增区间为)
+∞， 递减区间为
. （ii ）当0,()0(0)a F x x '≤<>时恒成立
故当0,()(0,)a F x ≤+∞时在上单调递减. ………………………4分 （2）即使()20F x x ≥>在时恒成立.
（i ）当a≤0时，由（1）知当,().x F x →+∞→-∞则
∴()20F x x ≥>在时不可能恒成立.， （ii ）当a>0时，由（1）可知
min 1()11ln F x F a ==-=-
1
1ln
2a
∴-≥只须即可 , ln 1a a e ∴≥∴≥
故存在这样的a 的值，使得()()2()f x g x x R +≥+∈恒成立
a 的取值范围是 ………………………8分
（3）等价于方程
2
2ln ()x
a x x ϕ=
=在区间]e 上有两个不等解， ∵24
2ln 2(12ln )
()x x x x x x ϕ-'=
=
()x ϕ在区间上为增函数，在)e 上为减函数，
∴max 1()x e
ϕϕ==，
2
22ln 2ln 2()(2)42e e ϕϕϕ=
<===，min ln 2
()2
x ϕϕ== a 的取值范围是ln 21
[
,)2e
………………………12分。