新河县四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

新河县四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设a=sin145°，b=cos52°，c=tan47°，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b
3．设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b ﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（）
A．B．C．D．
4．数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+2，a5+3构成公比为q的等比数列，则q=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．8+2B．8+8C．12+4D．16+4
6．若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．i是虚数单位，i2015等于（）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
8．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，点P从A点沿半圆弧运动至B点，设∠AOP＝x，将动点P到A，B 两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）
9．下列命题中的说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”
D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题
10．已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为
，x，y，则+的最小值是（）
A．20 B．18 C．16 D．9
11．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列
{}n a 的前n 项和为（ ）
A ．22n
- B ．1
2
2n +- C ．21n - D ．121n +-
二、填空题
13．观察下列等式 1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49 …
照此规律，第n 个等式为 ．
14．要使关于x 的不等式2
064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力. 15．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
16．不等式
的解为 ．
17．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ．
18．对任意实数x ，不等式ax 2﹣2ax ﹣4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题
19．双曲线C 与椭圆+
=1有相同的焦点，直线y=
x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．
20．（本小题满分12分）
某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：
员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元）
3
3．5
4
5
5．5
6．5
7
7．5
8
50
（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；
（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，x b y a
ˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值．
21．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间； （2）若存在0x ，使03,4
5a b a b x ++⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.
22．设函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ≠0）为奇函数，其图象在点（1，f （1））处的切线与直线x ﹣6y ﹣7=0垂直，导函数
f ′（x ）的最小值为﹣12． （1）求a ，b ，c 的值；
（2）求函数f （x ）的单调递增区间，并求函数f （x ）在[﹣1，3]上的最大值和最小值．
23．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；
（2）设(){}
1n
n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||2|)(+--=x x x f ，x x g -=)(. （1）解不等式)()(x g x f >；
（2）对任意的实数，不等式)()(22)(R m m x g x x f ∈+≤-恒成立，求实数m 的最小值.111]
新河县四中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，
∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；
￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，
∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．
故选：B．
2．【答案】A
【解析】解：∵a=sin145°=sin35°，b=cos52°=sin38°，c=tan47°＞tan45°=1，
∴y=sinx在（0，90°）单调递增，
∴sin35°＜sin38°＜sin90°=1，
∴a＜b＜c
故选：A
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用，正弦函数的单调性，难度不大，属于基础题．3．【答案】C
【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，
P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，
∴根据题意，M的长度为，N的长度为，
当集合M∩N的长度的最小值时，
M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是=．
故选：C．
4．【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．
化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
5．【答案】D
【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA
=2，AB=2，高为，
1
根据三视图得出侧棱长度为=2，
∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16，
故选：D
【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．6．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，
可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，
所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，
函数的最大值为：5．
故选：A．
【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．
7．【答案】D
【解析】解：i2015=i503×4+3=i3=﹣i，
故选：D
【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
8．【答案】
【解析】选B.取AP的中点M，
则P A＝2AM＝2OA sin∠AOM
＝2sin x
2
，
PB＝2OM＝2OA·cos∠AOM＝2cos x
2，
∴y＝f（x）＝P A＋PB＝2sin x
2＋2cos x
2
＝22sin（x
2
＋
π
4
），x∈[0，π]，根据解析式可知，只有B选项符合要求，
故选B.
9．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，
B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误，
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，
D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．
10．【答案】B
【解析】解：由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4，
故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，
而+=2（+）×（x+y）
=2（5++）≥2（5+2）=18，
故选B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．
11．【答案】B
【解析】解：∵y=f （|x|）是偶函数， ∴y=f （|x|）的图象是由y=f （x ）把x ＞0的图象保留，
x ＜0部分的图象关于y 轴对称而得到的．
故选B ．
【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f （x ）的图象和函数f （|x|）的图象之间的关系，函数y=f （x ）的图象和函数|f （x ）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．
12．【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．22log 1a =，25log 4a =，∴22a =,516a =,∴11a =,2q =，数列{}n a 的前n 项和为21n
-，选C ．
二、填空题
13．【答案】 n+（n+1）+（n+2）+…+（3n ﹣2）=（2n ﹣1）2 ．
【解析】解：观察下列等式 1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49 …
等号右边是12，32，52，72…第n 个应该是（2n ﹣1）2 左边的式子的项数与右边的底数一致， 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，
照此规律，第n 个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n ﹣2）=（2n ﹣1）2， 故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n ﹣2）=（2n ﹣1）2
【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．
14．【答案】±.
【解析】分析题意得，问题等价于2
64x ax ++≤只有一解，即2
20x ax ++≤只有一解，
∴2
80a a ∆=-=⇒=±，故填：±.
15．【答案】 3 ．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，
∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），
故三角形的面积S=×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．
16．【答案】{x|x＞1或x＜0}．
【解析】解：
即
即x（x﹣1）＞0
解得x＞1或x＜0
故答案为{x|x＞1或x＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出
17．【答案】34 5
【解析】
考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.
18．【答案】（﹣4，0]．
【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件；
当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，
则满足，
即，
∴
解得﹣4＜a ＜0，
综上：a 的取值范围是（﹣4，0]． 故答案为：（﹣4，0]．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．
三、解答题
19．【答案】
【解析】
解：设双曲线方程为（a ＞0，b ＞0）
由椭圆
+
=1，求得两焦点为（﹣2，0），（2，0），
∴对于双曲线C ：c=2． 又
y=x 为双曲线C 的一条渐近线，
∴
=
解得a=1，
b=
，
∴双曲线C
的方程为．
20．【答案】
【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；
ξ取值为0，1，2．
152)0(2102
4===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，3
1
)2(2
1026===C C P ξ， ∴ξ的分布列为
∴()012151535
E ξ=⨯+⨯+⨯=．
（3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，
2
1()
2.250.250.25 2.255n
i
i x x =-=+++=∑，
4
1
()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27i
i
i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，
1
2
1
()()
7 1.45
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
=
=-∑∑，ˆˆ5 1.4 2.5 1.5a y b x =-=-⨯=， 由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元．
21．【答案】（1）在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫
∞
⎪⎝⎭
上单调递增.（2）7b e a ≤<
【解析】【试题分析】（1）先对函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞求导得()'ln 1ln h x x b =+-，再解不
等式()'0h x >得b x e >
求出单调增区间；解不等式()'0h x <得b
x e
<求出单调减区间；（2）先依据题设345a b a b ++<得7b a <，由（1）知()m in 0h x ≤，然后分345a b b a b e ++≤≤、4b a b e +<、35
b a b
e +>三种情形，分别研究函数()()ln ln ,0,h x x x x b a x =-+∈∞的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出其取值范围7b
e a
≤
<： 解：（1）()()()ln ln ,0,,'ln 1ln h x x x x b a x h x x b =-+∈∞=+-，由()'0h x >得b x e >，()'h x ∴在0,b e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,b e ⎛⎫
∞
⎪⎝⎭上单调递增. （2）由345a b a b ++<得7b
a <，由条件得()min 0h x ≤. ①当345a
b b a b e ++≤≤，即345e b e e a e ≤≤--时，()min b b h x h a e e ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭，由0b a e -+≤得 3,5b b e e e a a e
≥∴≤≤-. ②当4b a b e +<时，()4,e a b h x a ->∴在3,45a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， ()min ln ln ln ln 4444a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
43?3044e b b
a b e e b e --+-=>=>，矛盾，∴不成立. 由0b
a e
-+≤得.
③当35b a b e +>，即35b e a e >-时，53e a b e ->，()h x ∴在3,4
5a b a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()min 3333ln ln ln ln 5555a b a b a b a b b h x h b a b a
e ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-+≥-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
52?2230553e b b
a b e
e b e
----=>=>，∴当35b e a e >
-时恒成立，综上所述，7b e a ≤<. 22．【答案】
【解析】解：（1）∵f （x ）为奇函数，
∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即﹣ax 3﹣bx+c=﹣ax 3
﹣bx ﹣c ，∴c=0． ∵f ′（x ）=3ax 2
+b 的最小值为﹣12，∴b=﹣12．
又直线x ﹣6y ﹣7=0
的斜率为，则f ′（1）=3a+b=﹣6，得a=2， ∴a=2，b=﹣12，c=0；
（2）由（1）知f （x ）=2x 3﹣12x ，∴f ′（x ）=6x 2
﹣12=6（
x+
）（x
﹣
），
）
，
∵f （﹣1）=10，f （
）=﹣8
，f （3）=18，
∴f （x ）在[﹣1，3]上的最大值是f （3）=18，最小值是f （）=﹣8
．
23．【答案】
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由990S =，15240S =，得1193690
15105240
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得12a d ==，……………3分
所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，
(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分
24．【答案】（1）13|{<<-x x 或}3>x ；（2）. 【
解
析
】
试
题解析：（1）由题意不等式)()(x g x f >可化为|1||2|+>+-x x x ， 当1-<x 时，)1()2(+->+--x x x ，解得3->x ，即13-<<-x ； 当21≤≤-x 时，1)2(+>+--x x x ，解得1<x ，即11<≤-x ； 当2>x 时，12+>+-x x x ，解得3>x ，即3>x （4分） 综上所述，不等式)()(x g x f >的解集为13|{<<-x x 或}3>x . （5分）
（2）由不等式m x g x x f +≤-)(22)(可得m x x ++≤-|1||2|，
分离参数m ，得|1||2|+--≥x x m ，∴max |)1||2(|+--≥x x m
∵3|)1(2||1||2|=+--≤+--x x x x ，∴3≥m ，故实数m 的最小值是. （10分） 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．1。