XJ湘教版 九年级数学 下册第二学期春 教学设计 教案 第一章 二次函数 (第一单元全章 电子教案)

第一章二次函数
1．1 二次函数
1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)
2．能根据实际情况建立二次函数模型，并确定自变量的取值范围．(难点)
一、情境导入
已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数的相关概念
【类型一】二次函数的识别
下列函数哪些是二次函数？
(1)y＝2－x2; (2)y＝
1
x2－1
；
(3)y＝2x(1＋4x); (4)y＝x2－(1＋x)2.
解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式，不符合二次函数的定义，故y＝
1
x2－1
不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．
解：二次函数有(1)和(3)．
方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；
②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式中自变量最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值
如果函数y＝(k＋2)xk－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
解析：紧扣二次函数定义求解，注意易错点为忽视k＋2≠0.
解：根据题意知
⎩⎪
⎨
⎪⎧k2－2＝2，
k＋2≠0，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧k＝±2，
k≠－2，
∴k＝2.
方法总结：紧扣定义中的两个特征：①二次项系数不为零；②自变量最高次数为2.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型三】与二次函数系数有关的计算
已知一个二次函数，当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝
1
2；当x＝－1时，y＝
1
8.求这个二次函数中各项系数的和．
解析：
解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．把x＝0，y＝0；x＝2，y＝
1
2；x＝－1，y＝
1
8分别代入函数表达式，得
⎩⎪
⎨
⎪⎧
c＝0，
4a＋2b＋c＝
1
2，
a－b＋c＝
1
8，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＝18，
b＝0，
c＝0.
所以这个二次函数的表达式为y＝
1
8x
2.所以a＋b＋c＝1
8＋0＋0＝
1
8，即这个二次函数中各项系数的和为
1
8.
方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．解决这类问题要根据x，y的对应值，列出关于字母a，b，c 的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a，b，c的值．
探究点二：建立简单的二次函数模型
一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小长方形．剩余部分的面积为y cm2.
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
(2)当x的值为2或4时，相应的剩余部分的面积是多少？
解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．如图所示．
解：(1)y＝122－2x(x＋1)，又∵2x≤12，∴0<x≤6，即y＝－2x2－2x＋144(0<x≤6)，∴y 是x的二次函数；
(2)当x＝2时，y＝－2×22－2×2＋144＝132，当x＝4时，y＝－2×42－2×4＋144＝104，∴当x＝2或4时，相应的剩余部分的面积分别为132cm2或104cm2.
方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型．许多实际问题都可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型来解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
本节课是从生活实际中引出二次函数模型，从而得出二次函数的定义及一般形式，会写简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围，使学生认识到数学来源于生活，又应用于生活实际之中.
1．2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质
1．会用描点法画二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)
2．掌握形如y ＝ax 2(a >0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点
)
一、情境导入
自由落体公式h ＝1
2gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象
是什么形状呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象
已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k 是二次函数．
(1)求k 的值；
(2)画出函数的图象．
解析：根据二次函数的定义，自变量x 的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k 的值，从而确定表达式，画出图象．
解：(1)∵y ＝(k ＋2)xk 2＋k 为二次函数，∴⎩
⎪⎨⎪
⎧k 2＋k ＝2，k ＋2≠0，解得k ＝1；
(2)当k ＝1时，函数的表达式为y ＝3x 2，用描点法画出函数的图象．
列表：
描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，3
4
)，(1，3)．
连线：用光滑的曲线按x 的从小到大的顺序连接各点，图象如图所示．
方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y ＝ax 2(a ≠0)图象关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 探究点二：二次函数y ＝ax 2(a >0)的性质 已知点(－3，y
1)，(1，y 2)，(2，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则y 1、y 2、y 3的大
小关系是________．
解析：方法一：把x ＝－3，1，2分别代入y ＝x 2中，得y 1＝9，y 2＝1，y 3＝2，则y 1>y 3>y 2；
方法二：如图，作出函数y ＝x 2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y 1>y 3>y 2；
方法三：∵该图象的对称轴为y 轴，a >0，∴在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大，而点(－3，y 1)关于y 轴的对称点为(3，y 3)．又∵3>2>1，∴y 1>y 3>y 2.
方法总结：比较二次函数中函数值的大小有三种方法：①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比较；②图象法；③根据函数的增减性进行比较，但当要比较的几
个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比较．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 探究点三：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质的简单应用
已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．
(1)求满足条件的m 的值；
(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？
解析：由二次函数的定义知：m 2＋m －4＝2且m ＋2≠0；抛物线有最低点，则抛物线开口向上，即m ＋2>0.
解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪
⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2，
∴当m ＝2或m ＝－3时，原函
数为二次函数；
(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m >－2，∴取m ＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)．当x >0时，y 随x 的增大而增大．
方法总结：二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；函数有最低点即开口向上．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.
第2课时 二次函数y ＝ax 2(a <0)的图象与性质
1．会用描点法画二次函数y ＝ax 2(a <0)的图象；(重点)
2．掌握形如y ＝ax 2(a <0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)
一、情境导入
上节课我们学习了a >0时二次函数y ＝ax 2
的图象和性质，那么当a <0时，二次函数y ＝ax 2的图象和性质又会有怎样的变化呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝ax 2(a <0)的图象 【类型一】 二次函数y ＝ax 2(a <0)的图象
在直角坐标系内，作出函数y ＝－1
2
x 2的图象．
解析：作函数的图象采用描点法，即“列表、描点、连线”三个步骤． 解：列表：
描点和连线：画出图象在y 轴右边的部分，利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分，如图．
方法总结：(1)列表应以0为中心，选取x >0的几个点求出对应的y 值；(2)描点要准；(3)画出y 轴右边的部分，利用对称性，可画出y 轴左边的部分，连线要用平滑的曲线，不能是折线．
【类型二】 同一坐标系中两种不同图象的判断
当ab >0时，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝ax ＋b 在同一直角坐标系中的图象大致是
( )
解析：根据a 、b 的符号来确定．当a >0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上．∵ab >0，∴b >0.∴直线y ＝ax ＋b 过第一、二、三象限；当a <0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下．∵ab >0，∴b <0.∴直线y ＝ax ＋b 过第二、三、四象限．故选D.
方法总结：本例综合考查了一次函数y ＝ax ＋b 和二次函数y ＝ax 2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a 的符号是否一致入手进行分析．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二：二次函数y ＝ax 2(a <0)的性质 【类型一】 二次函数y
＝ax 2(a <0)的性质
(2015·山西模拟)抛物线y ＝－4x 不具有的性质是( ) A ．开口向上 B ．对称轴是y 轴
C ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大
D ．最高点是原点
解析：此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y ＝ax 2的基本形式，根据它的性质，进行解答．因为a ＝－4＜0，所以图象开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y 轴，最高点是原点．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．故选A.
方法总结：抛物线y ＝ax 2(a <0)的开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y 轴．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．当x ＝0时，图象有最高点，y 有最大值0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 二次函数
y ＝ax 2的开口方向、大小与系数a 的关系
如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y ＝ax ；②y ＝bx ；③y ＝cx 2；④y ＝dx 2，
则a 、
b 、
c 、
d 的大小关系为( )
A ．a >b >c >d
B ．a >b >d >c
C ．b >a >c >d
D ．b >a >d >c 答案：A
方法总结：抛物线y ＝ax 2的开口大小由|a |确定，|a |越大，抛物线的开口越小；|a |越小，抛物线的开口越大．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第
7题 探究点三：二次函数y ＝ax 2的图象与几何图形的综合应用
已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求： (1)a ，b 的值；
(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标；
(3)△AMB 的面积．
解析：直线与二次函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB 的面积，一般应画出草图进行解答．
解：(1)∵点A (1，b )是直线y ＝2x －3与二次函数y ＝ax 2的图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，
∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12
，b ＝2×1－3，∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1； (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)． 由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3， ∴y 1＝－1，y 2＝－9，
∴直线与二次函数的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)；
(3)如图所示，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，根据点的坐标的意义，可知MD ＝3，MC ＝1，CD ＝1＋3＝4，BD ＝9，AC ＝1，
∴S △AMB ＝S 梯形ABDC －S △ACM －S △BDM ＝12×(1＋9)×4－12×1×1－1
2
×3×9＝
6.
方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计
本节课仍然是从学生画图象着手，结合上节课y ＝ax 2(a ＞0)的图象和性质，从而得出y ＝ax 2(a ＜0)的图象和性质，进而得出y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.
第3课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质
1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2的图象；
2．掌握形如y ＝a (x －h )2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3．理解二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2之间的联系．(难点
)
一、情境导入
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？
二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 【类型一】 y ＝
a (x －h )2的顶点坐标
已知抛物线y ＝a (x －h )(a ≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求
a ，h 的值．
解：∵抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h ＝－2.又∵抛物线y ＝a (x ＋2)2经过点(－4，2)，∴a (－4＋2)2＝2.∴a ＝1
2
.
方法总结：二次函数y ＝a (x －h )2的顶点坐标为(h ，0)．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】 二次函数y
＝a (x －h )2图象的形状
顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－1
2
x 2的图象相同的抛物线的解析式
为( )
A ．y ＝12(x －2)2
B ．y ＝1
2(x ＋2)2
C ．y ＝－12(x ＋2)2
D ．y ＝－1
2
(x －2)2
解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，
而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－1
2，而抛物线的顶点为(－2，
0)，所以h ＝－2，把a ＝－12，h ＝－2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－1
2
(x ＋2)2.故选C.
方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相
同．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题 【类型三】 二次函数y
＝a (x －h )2的增减性及最值
对于二次函数y ＝9(x －1)，下列结论正确的是( ) A ．y 随x 的增大而增大
B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
C ．当x ＝－1时，y 有最小值0
D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大
解析：因为a ＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h ＝1，顶点坐标为(1，0)，所以当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．故选D.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2图象的平移 【类型一】 利用平移确定y
＝a (x －h )2的解析式
抛物线y ＝ax 向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关
系式．
解析：y ＝ax 2向右平移3个单位后的关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a 的值．
解：二次函数y ＝ax 2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把x ＝－1，y ＝4代入，得4＝a (－1－3)2，a ＝14，∴平移后二次函数关系式为y ＝1
4(x －
3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a 不变，括号内应“减
去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型二】 确定y
＝a (x －h )2与y ＝ax 2的关系
向左或向右平移函数y ＝－1
2
x 2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？
若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
解：能，理由如下：
设平移后的函数为y ＝－1
2
(x －h )2，
将x ＝－9，y ＝－8代入得－8＝－1
2(－9－h )2，
所以h ＝－5或h ＝－13，
所以平移后的函数为y ＝－12(x ＋5)2或y ＝－1
2
(x ＋13)2.
即抛物线的顶点坐标为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点三：二次函数y＝a(x－h)2与几何图形的综合
把函数y＝
1
2x
2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边)，求△ABC的面积．
解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC的面积．
解：平移后的函数为y＝
1
2(x－4)
2，顶点C的坐标为(4，0)，OC＝4.
解方程组
⎩⎪
⎨
⎪⎧y＝1
2（x－4）
2，
y＝x，
得
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝2，
y＝2，
或
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝8，
y＝8.
∵点A在点B的左边，∴A(2，2)，B(8，8)，∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝
1
2×4×8－
1
2×4×2＝12.
方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
通过本节学习使学生认识到y＝a(x－h)2的图象是由y＝ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a，h对y＝a(x－h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左、向右平移，从中领会数形结合的数学思想.
第4课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质
1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2＋k 的图象；
2．掌握形如y ＝a (x －h )2＋k 的二次函数的图象与性质，并会应用；(重点) 3．理解二次函数y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2之间的联系．(难点
)
一、情境导入
前面我们是如何研究二次函数y ＝ax 2、y ＝a (x －h )2的图象与性质的？如何画出y ＝1
2(x
－2)2＋1的图象？
二、合作探究
探究点一：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质 【类型一】 二次函数
y ＝a (x －h )2＋k 的图象
已知y ＝1
2
(x －
3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x 轴交点的一个坐标是(1，
0)，则另一个交点的坐标是________．
解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x ＝3，一个交点坐标是(1，0)，则另一个交点坐标是(5，0)．
解：(5，0)
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】 二次函数y
＝a (x －h )2＋k 的性质
试说明抛物线y ＝2(x －1)与y ＝2(x －1)2＋5的关系．
解析：对抛物线的分析应从开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，及最大(小)值几个方面分析．
解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同；(2)它们的对称轴相同，都是x ＝1.当x <1时都是左降，当x >1时都是右升；(3)它们都有最小值．
不同点：(1)顶点坐标不同．y ＝2(x －1)2的顶点坐标是(1，0)，y ＝2(x －1)2＋5的顶点坐标是(1，5)；(2)y ＝2(x －1)2的最小值是0，y ＝2(x －1)2＋5的最小值是5.
方法总结：对于y ＝a (x －h )2＋k 类抛物线，a 决定开口方向；|a |决定开口大小；h 决定对称轴；k 决定最大(小)值的数值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象的平移
将抛物线y ＝1
3
x 2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )
A ．y ＝1
3(x －2)2－1
B ．y ＝1
3(x －2)2＋1
C ．y ＝1
3(x ＋2)2＋1
D ．y ＝1
3
(x ＋2)2－1
解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y ＝1
3x 2向下平移1个单位所得抛物
线的解析式为y ＝13x 2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y ＝1
3x 2－1向右平移2
个单位所得抛物线的解析式为y ＝1
3
(x －2)2－1.故选A.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 探究点三：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与几何图形的综合
如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，再向下
平移4个单位，得到抛物线y ＝(x －h )2＋k .所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，顶点为D .
(1)求h ，k 的值；
(2)判断△ACD 的形状，并说明理由．
解析：(1)按照图象平移规律“左加右减，上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式；
(2)分别过点D 作x 轴和y 轴的垂线段DE ，DF ，再利用勾股定理，可说明△ACD 是直角三角形．
解：(1)∵将抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y ＝(x ＋1)2－4，∴h ＝－1，k ＝－4；
(2)△ACD 为直角三角形．理由如下：由(1)得y ＝(x ＋1)2－4.当y ＝0时，(x ＋1)2－4＝0，x ＝－3或x ＝1，∴A (－3，0)，B (1，0)．当x ＝0时，y ＝(x ＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，∴C 点坐标为(0，－3)．顶点坐标为D (－1，－4)．作出抛物线的对称轴x ＝－1交x 轴于点E ，过D 作DF ⊥y 轴于点F ，如图所示．在Rt △AED 中，AD 2＝22＋42＝20；在Rt △AOC 中，AC 2＝32＋32＝18；在Rt △CFD 中，CD 2＝12＋12＝2.∵AC 2＋CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计
通过本节学习使学生掌握二次函数y ＝ax 2，y ＝a (x －h )2，y ＝a (x －h )2＋k 图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律.
第5课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质
1．会用描点法画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象；
2．会用配方法或公式法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标与对称轴，并掌握其性质；(重点)
3．二次函数性质的综合应用．(难点
)
一、情境导入
火箭被竖直向上发射时，它的高度h (m)与时间t (s)的关系可以用h ＝－5t 2＋150t ＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？
二、合作探究
探究点一：化二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为y ＝a (x －h )2＋k 的形式
把抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
所得图象的解析式为y ＝x 2
－3x ＋5，则( )
A ．b ＝3，c ＝7
B ．b ＝6，c ＝3
C ．b ＝－9，c ＝－5
D ．b ＝－9，c ＝21
解析：y ＝x 2－3x ＋5化为顶点式为y ＝(x －32)2＋114.将y ＝(x －32)2＋11
4
向左平移3个单位
长度，再向上平移2个单位长度，即为y ＝x 2＋bx ＋c .则y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x ＋32)2＋19
4，化简后
得y ＝x 2＋3x ＋7，即b ＝3，c ＝7.故选A.
方法总结：二次函数由一般式化为顶点式，平移时遵循“左正右负，上正下负”，逆向推理则相反．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 探究点二：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 【类型一】 二次函数与一次函数图象的综合
在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)
的图象可能是(
)
解析：A 、B 中由函数y ＝mx ＋m 的图象可知m ＜0，即函数y ＝mx 2＋2x ＋2开口方向朝下，对称轴为x ＝－b 2a ＝－22m ＝－1
m ＞0，则对称轴应在y 轴右侧，故A 、B 选项错误；C 中
由函数y ＝mx ＋m 的图象可知m ＞0，即函数y ＝mx 2＋2x ＋2开口方向朝上，对称轴为x ＝－b 2a ＝－22m ＝－1
m ＜0，则对称轴应在y 轴左侧，故C 选项错误；D 中由函数y ＝mx ＋m 的图象可知m ＜0，即函数y ＝mx 2＋2x ＋2开口方向朝下，对称轴为x ＝－b 2a ＝－22m ＝－1
m ＞0，
则对称轴应在y 轴右侧，与图象相符，故D 选项正确．故选D.
方法总结：熟记一次函数y ＝kx ＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【类型二】 二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质
若点A (2，y 1)，B (－3，y 2)，C (－1，y 3)三点在抛物线y ＝x 2－4x －m 的图象上，则
y 1、y 2、y 3的大小关系是( )
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 2＞y 1＞y 3
C ．y 2＞y 3＞y 1
D ．y 3＞y 1＞y 2
解析：∵二次函数y ＝x 2－4x －m 中a ＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x ＝－b
2a ＝2.∵A (2，
y 1)中x ＝2，∴y 1最小．又∵B (－3，y 2)，C (－1，y 3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，故y 2＞y 3.∴y 2＞y 3＞y 1.故选C.
方法总结：当二次项系数a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3题 【类型三】 二次函数图象的位置与各项系数符号的关系
已知抛物线y ＝ax ＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－b
2a
＞0；④abc ＞0.其中正确的结论是________．
解析：由抛物线的开口方向向下可推出a ＜0，抛物线与y 轴的正半轴相交，可得出c
＞0，对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号，b ＞0，∴abc ＜0；∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为－b
2a
＞0；由图象可知：当x ＝1时，y ＞0，∴a ＋b ＋c ＞0.∴①②③④都正确． 方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题 【类型四】 二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c 的最值
已知二次函数y ＝ax ＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为( ) A ．3 B ．－1 C ．4 D ．4或－1
解析：∵二次函数y ＝ax 2
＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 2
4a
＝
4a （a －1）－42
4a ＝2，整理，得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.
方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
探究点三：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与几何图形的综合应用
如图，已知二次函数y ＝－1
2x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2，0)、B (0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)
设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．
解：(1)把A (2，0)、B (0，－6)代入y ＝－12x 2
＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.
∴这个二次函数的解析式为y ＝－1
2x 2＋4x －6；
(2)∵该抛物线对称轴为直线x ＝－4
2×（－1
2）
＝4，
∴点C 的坐标为(4，0)， ∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2， ∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝1
2
×2×6＝6.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
三、板书设计
本节课所学的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质可以看作是y ＝ax 2，y ＝a (x －h )2，y ＝a (x
－h )2
＋k 的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律.
*
1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求二次函数解析式的方法；(重点)
2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的解析式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．(难点
)
一、情境导入
某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为1
2米．你能写出如图所示的平面直角坐标
系中抛物线水柱的解析式吗？
二、合作探究
探究点一：不共线三点确定二次函数的表达式 【类型一】 用一般式确定二次函数解析式
已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的解
析式．
解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.
∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.
方法总结：当题目给出函数图象上的任意三个点时，设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】 用顶点式确定二次函数解析式
已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解
析式．
解：设二次函数解析式为y ＝a (x －h )2＋k ， ∵图象顶点是(－2，3)， ∴h ＝－2，k ＝3，
依题意得5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2.
∴二次函数的解析式为y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.
方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y ＝a (x －h )2＋k .顶点坐标为(h ，k )，对称轴为x ＝h ，最值为当x ＝h 时，y 最值＝k .
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型三】 用交点式确定二次函数解析式
已知抛物线与x 轴相交于点A (－1，0)，B (1，0)，且过点M (0，1)，求此函数的解
析式．
解析：由于已知图象与x 轴的两个交点，所以可设y ＝a (x －x 1)(x －x 2)求解．
解：因为点A (－1，0)，B (1，0)是图象与x 轴的交点，所以设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －1)．又因为抛物线过点M (0，1)，所以1＝a (0＋1)(0－1)，解得a ＝－1，所以所求抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －1)，即y ＝－x 2＋1.
方法总结：此题也可设y ＝a (x －h )2＋k ，因为与x 轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y 轴．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 探究点二：二次函数解析式的综合运用
如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (－4，－3)，与y 轴交于点B ，对称轴是x ＝－3，
请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若和x 轴平行的直线与抛物线交于C ，D 两点，点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求△BCD 的面积．
解析：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，根据对称轴是x ＝－3，求出b ＝6，即可得出答案；
(2)根据CD ∥x 轴，得出点C 与点D 关于x ＝－3对称，根据点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，求出点C 的横坐标和纵坐标，再根据点B 的坐标为(0，5)，求出△BCD 中CD 边上的高，即可求出△BCD 的面积．
解：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴－b
2
＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋6x ＋5；
(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴△BCD 的面积＝1
2
×8×7＝28.
方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及利用解析式分析二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计
教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.。